广东深圳市宝安区航城学校2026-2027学年 九年级第一学期第1周数学练习

**基本信息** 覆盖一元二次方程与四边形核心知识，融入故宫窗棂文化情境和“友好方程”新定义探究，基础题与能力题梯度分明，适配九年级起始周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|一元二次方程定义、菱形性质|结合图形推理（如菱形对角线计算）| |填空题|5/15|方程求解、根的判别式|矩形中线段计算（如AQ=AD求AP）| |解答题|7/61|解方程、新定义探究、几何综合|“友好方程”概念探究（创新意识）、调价问题（应用意识）|

2026-2027学年航城学校九年级第一学期第1周数学练习 命题人：吴欣佳 审题人：朱月 班级： 姓名： 一、选择题（共8小题，共24分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2＝2 B． C．x2+2y＝1 D．mx2+2x＝3 2．已知关于x的方程：3x2+5x+m﹣1＝0的一个根是x＝﹣2，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．把一元二次方程2x（x﹣1）＝5化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　） A．﹣2，2，5 B．2，﹣2，﹣5 C．1，4，﹣5 D．﹣2，﹣2，﹣5 4. 如图所示的推理过程中，①②③④处可以填上条件“对角线垂直”的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②③ 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AD于点F，连接OF，若CD＝5，AC＝8，则OF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 6．小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． 7. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为OC、BC的中点．若AD＝6，∠AOD=120° 则EF的长为（　　） A．6 B．3 C．3 D．2 8. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上， 且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG若BE＝1，CE＝2，则EG的长为（　　） A．2 B． C． D． 二．填空题（共5小题，共15分） 9. 方程x2﹣4x＝0的解是 . 10．若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是 . 11. 已知a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则代数式a2+5a+3b＝ 　 　 ． 12．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝　 　 ． 13．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　 　 ． 2026-2027学年航城学校九年级第一学期第1周数学练习 命题人：吴欣佳 审题人：朱月 班级： 姓名： 一、选择题（共8小题，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二．填空题（共5小题，共15分） 9． , 10． , 11． , 12． , 13． . 三．解答题（共7小题，共61分） 14.（9分）用适当的方法解方程 （1）x2﹣9＝8x （2）6（x﹣2）＝2x（x﹣2） （3）（2 - x）（2x+3）=3 15. （9分）如图是边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上． （1）在图1中，仅用无刻度尺过点作线段的平行线； （2）在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得； （3）在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得． 16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1x2+ x1+x2＝﹣1，求k的值． 17．（8分）如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACFD是菱形； （2）若AB＝5，，则四边形ACFD的面积为 ． 18. （8分）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 19．（12分）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”． 【示例】如2x2+7x﹣3＝0的“友好方程”是﹣3x2+7x+2＝0． （1）（1分）写出一元二次方程12x2﹣7x+1＝0的“友好方程”是 　 　 ． 【探究】（2）（3分）已知一元二次方程12x2﹣7x+1＝0的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】．（3）（3分）当Δ＝b2﹣4ac≥0时，方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为 　 　 ．（ac≠0，a≠c） 【证明】 ∵方程ax2+bx+c＝0的两根为，； 方程cx2+bx+a＝0的两根为， ①　 　 ； … （4）（2分）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）（3分）已知关于x的方程2026x2+bx﹣c＝0的两根是x1＝﹣1，，请利用上述结论，直接写出关于x的方程c（x﹣1）2﹣bx+b＝2026的两根为 . 20．（9分）问题发现 （1）（3分）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）（3分）如图2，在矩形中，为常数），点、、、分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）（3分）如图3，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $