重庆市永川中学校2027届高三上学期第一次数学周测试题

永川中学高2027届高三（上)第一次数学周测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={-1,0,2,8,B={x3=x},则AnB=() A.{-1 B.0} C.{-1,0} D.{2,8} 2.已知4，b,c∈R,且a>b,c>1,则() A.a-c>b-1 B.a(c-1)>b(c-1) c88 D.ac>b 3设a)”6-图们”.c=ga.则() 3 A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b a,a>b 4.若a6eR,记maa}-{么.a≤b,则函数f()=mx3-r+4号的最小值为（） A.0 B.1 C.3 D.12 5.已知函数f(x)=n+x,则() 1-x A.f(x)在(-1,1)上是减函数，且曲线y=f(x)存在对称轴 B.∫(x)在(-1,1)上是减函数，且曲线y=f(x)存在对称中心 C.f(x)在(-1,1)上是增函数，且曲线y=f(x)存在对称轴 D.f(x)在(-1,1)上是增函数，且曲线y=f(x)存在对称中心 6.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：g/L)与时间t(单位：h)的关系 为P=:,其中，？，k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么要消除90%的污染物，至少需要的时 间是()h.(参考数据：lg3≈0.477) A.45 B.76 C.109 D.118 7.已知x,y为正实数，且x+=1,则+2+1的最小值为（) A.2W2+1 B.2W2-1 C.2W6+5 D.2W6-5 8.设定义在R上的可导函数f()的导函数为f(),且满足了〔x)+了()f0=-2,若不等式(>太-k有 且只有一个整数解，则实数k的取值范围为() 11 「11 21 A.2e'2e) B.2ef'2c C.3et'2e3 D 21 3e4’2e3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列选项中，正确的是() A.不等式-2x2+x≤-3的解集为{xx≤-1或x≥) B.不等式21的解集为-35<2} 试卷第1页 C.不等式x-2≥1的解集为{x1≤x≤3} n.P加关于的不等式me0的解头为（网U+o0小：则压+c≥0的新年是国小得 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=∫(2-x),且y=f(x+4)为奇函数.当x∈(0,2]时，f(x)=2-1.则 下列说法正确的是() A.f(6)=-3 B.∫(x)的周期为6 C.f(x)的图象关于(-6,0)中心对称 D.f(2026)+f(4)=3 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=(x2-3)e,则() A.f(-1)=-2e B.f(x)的零点个数为3 C.f(x)的极值点个数为2 D.若方程f(x)=t有三个实数根，则t的取值范围是(-2e,-3)U(3,2e) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12定义在R上的函数/，若f0-l,则0-2026/四- -△x 13.已知定义在R上的函数f(x)=√R+2+1(k为常数).若f(2026)=-2024,则f(-2026)= 14.“3>b>0,4+心>。+36是假命慰，则实数2的最大值为 a-b 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f)-专-a+写aeR,且满足广（②=0 (1)求实数a的值： (2)求函数y=f(x)在区间-3,3上的最大值和最小值. (共2页) 16.(15分)已知二次函数f(x)满足：①对任意实数x,都有f(x)≥x;②fI)=1.③f(-1)=0 (1)求函数f(x)的解析式： (②若对任意的实数x∈Q,+,有f)x>青恒成立，求加的取值范园 17.(15分)己知函数f(x)=x-(2a+1)x+anx,a∈R (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程 (2)若f(x)在x=1处取得极值，求∫(x)的极值， (3)若f(x)在[1，e]上的最小值为-2a,求a的取值范围. 18.(15分)设函数f(x)=x+nx(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若a=1且函数y=f(x)-2x+m有两个不同的零点为1,5，且x1<x2, ①求实数m的取值范围； ②证明：+1、上+1 53 19.(17分)设函数f(x)=sinx. (1)当x>0时，证明：f(x)<x: (2)已知函数g()=付()-e-血(c+1)+1在区间0，内存在极值点a. ①求k的取值范围： ②是否存在B∈(0，π)，使g(B)=0？若存在，比较B与2的大小；若不存在，请说明理由. 试卷第2页（共2页） 第一次数学周测参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 O 10 11 答案■ C B AC D C ABD AD BC 1.C【详解】B={xx3=x}={0,-1,1},故A⌒B={-1,0},故选：C 2.B【详解】对于A,当a=3,b=2,c=2时，a-c=1=b-1=1,故A错误：对于B,:c>1,.c-1>0, 又：a>b,a(c-1)>b(c-1),故B正确；对于C,当a=1,b=-1,c=2时，符合a>b,c>1,但=-2<C=2,故C b 错误；对于D,当a=-1,b=-2,c=3时，ac=-3<b=-2,故D错误.故选：B. 3A详e1限为0目)-1.0<a1,又6-)月 =1,0<sin3<1,所以c=l1og:(sin3)<log51=0 3 所以c<a<b.故选：A 4.C【详解】fo)=maxB-2+形=B3+4，= 3x,3x>-x2+4, 3x,x(-1或x1, -x2+4,3x≤-x2+4,-x2+4,}3xs-x2+4,-x2+4,-1≤x≤1 则f(x)=max3x,-x2+4的图象如下：.当x=-1或x=1时，有最小值3.故选：C. -5 5.D【详解】因为x∈（-1,1)，f(-x)= +(刘-nx-n+:-寸)，所以y=f)为奇函数， 1-(-x) 1+x 1-x 又奇函数的图象关于原点对称，所以曲线y=f(x)存在对称中心：令g(回=t,1=1+r=-1-9)+2 1+2 1-x1-x 1-x 因为t=-1+ 在定义域内为增函数，g)=山t在定义域内为增函数，所以了x)=n+x在定义域内为增函数，综 1-x 1-x 上，f(x)在(-1,1)上是增函数，且曲线y=∫(x)存在对称中心.故选：D, 6.C【详解】设要消除90%的污染物，至少需要的时间t小时， 0.9=pe sk,[-5k=1n0.9 t In0.1 5 5 由题意得 0.1B=6e9 -H=n0.15=i 0.9,t=5g0.1 lg0.91-lg91-2lg3 08.7,故选：C. 7.C【详解】因为x+y=1,则+2V+1_+2y+x+y-2x+3y23 由于2+3-+2+3-2+3+2+3y-3y+2+5≥2B2+5-26+5, y x y xx y Vx y 3y-2x x=3-6 当且仅当xy,即 时，等号成立，所以+2y+1的最小值为26+5，故选：C x+y=1y=-2+V6 30y 8.C【详解】由已知得e(f()+f'()=l,即[ef(x)]=1,令ef(x)=x+c,其中c为常数， 又0=2，代入可得c=2,放=2，-。2e0,解得， e2x 了)e-2列e3<0,解得>3，所以)在(，3)上单调递增，在(6，m)上单调道减， e2x ex 作出函数y=f(x)和y=a:-k的图象，由图可知3是唯一的整数解， y=f(x) 收图#车00子 3eisks I 2e3 1/234 9.ABD【详解】不等式-2x2+x≤-3即2x2-x-3≥0，解得x≤-1或x≥ 2 故不等式-2x2+x≤-3的解集为{xx≤-1或x≥。)，A正确： 不等式2x+1s1即2x+1-1≤0，即x+3 x-2 ≤0，即x十-，解得-3≤x<2,故不等式2x+1 x-2 ≤1的解集为 x-2 x-2≠0 {x-3≤x<2},B正确： 答案第1页 不等式x-2≥1即x-2≥1或x-2≤-1，解得x≥3或x≤1，即不等式x-2≥1的解集为{x|x≥3或x≤1}，C错误； 由关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-0,1)U(5,+o)知，方程2+bx+c=0有两个实数根为1和5，且a<0, 6=1+5 由韦达定理得} a ,可得b=-6a,c=5a,故x+c>0,即-6+5a>0,即6x-5>0,∴.x> =1x5 6 la 即bc+c>0的解集是，D正确 10.AD【详解】由f(x+2)=f(2-x),得f(x)关于直线x=2对称，即f(4-x)=∫(x), 由y=∫(x+4)是奇函数，得f(-x+4)=-∫(x+4),即f(4-x)=-f(x+4),所以f(x)关于点(4,0)中心对称，且 f(4)=0,由f(x)=f(4-x),f(4-x)=-f(x+4),所以f(x+4)=-f(x),得到f(x+8)=-f(x+4)=(x),周期 T=8,已知x∈(0,2]，f(x)=2-1,A选项：由f(x+4)=-f(x),令x=2得f(6)=-f(2)=-3,A正确： B选项：(x)的周期是T=8,B错误：C选项：由f(x)=f(4-x)得f(-x)=(4+x),由f(4-x)=-f(4+x), f(x)=f(4-x),得f(x)=-f(-x),即f(-x)=-f(),所以f(x)是奇函数，因为函数f(x)的一个对称中心为(0,0)， 且周期为8，故函数f(x)的一组对称中心为(8,0)（∈Z),又因为函数f(x)的一个对称中心为(4,0），且周期为8， 故函数f(的一组对称中心为(81+4,0)(neZ),所以函数f(x)的对称中心为(4k,0)keZ),令4k=-6,得k=-3eZ, 不符合，所以(-6,0)不是对称中心，C错误：D选项：f(x)的周期T=8,2026=8×253+2, 2e 所以f(2026)=f(2)=22-1=3,f(4)=0,所以f(2026)+f(4)=3,D正确. 11.BC【详解】由题，f(x)为奇函数，且x>0时f(x)=(x2-3)e. A选项：f(-1)=-f()=-[(1-3)e]=2e,故A错误；B选项：当x>0,令(x2-3)e=0得x=V月 由奇函数的性质，x<0时零点为-√3，且f(0)=0,共3个零点，B正确： 1 C选项：x>0时，f"()=(x2+2x-3)e=(x+3)(x-1)e,在(0,1)上f(x)<0,f(x)单调递减，) 3 在Q,+o)上f"()>0,f(x)单调递增，故x=1为极小值点；由奇函数对称性，x=-1为极大值点， 且x=0处导数不为0，不是极值点，因此极值点共2个，C正确： -2e D选项：在坐标平面内作出函数f(x)的图象，如图 观察图象得当且仅当t的取值范围为(-2e,-3)U(3,2eU0}时，函数的图象与直线有3个交点，因此D错误。 12.2026【详解11mf1-2026ax）-f@=20261im/0-20264f02026fY2026. △x0 -△x 公40-2026上 13.2026【详解】设g(x)=Wx+2,则g(x)+g(-x)=rV2+2-√R+2=0, 所以f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+2=2,所以f(-2026)=2-f(2026)=2-(-2024)=2026 14.6【详解】因3a>b>0,d+心>①+36是假命愚，故命题的否定为a>b>0,4+6s+30为真命题， a-b a-b ad+36 。 -a a)2 +3 分离参数可得：元≤a-b +3b2 令g-1=1>0,所以≤+1旷+3_P+1+4442,所 b2 ab-b2 a-1 以：4234：6，当且议当：=草1=2时等号设立 即当a=3b时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以元的最大值为6. 15【详解】)因为)-写式-m+号所以(y)--a,由f(②-0，则2-a=0,解得a=4: 3 2由1)知，f)=4+行所以倒=-4，令g=0,即2-4=0，解得=2. 列表如下： (共3页) x -3 (-3,-2) -2 （-22) 2 (2,3) 3 f(x) 0 0 f() 10 17 -5 3 3 3 当x∈(-3，-2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(-2,2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(2,3)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以倒有极大位(-)-号fe)有极小值f2)=-5,又-3列-号)=等 所以函致了国在区间[-3到上的段大值为}最小值为-5 16.【详解】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 由m1且-=0.行侣分80解得b-号放a+c=片即c}a [a+b+c=1 又对任意实数x,都有f(✉)2，可得a2一*c20对任意实数x恒成立， a(.. a>0 故 1 111 .1.1 ∴= 2x+4 对任意的实数x∈0，+0，有f)-u>恒成立，即+x+4m>对任意的实数xe0,士 ,1） 即号+？mK>0对任意的实数xeO,+0)恒成立，因为x>0,所以x+(2-4m>0对任意的实数xe心 4 即2加>列作意的安数0可恒成，数2加≥0，解得烈分即司引 17.【详解】(1)若a=0,则f(x)=x2-x,则f(x)=2x-1,故f(2)=2,f'(2)=3, 故曲线y=f(x)在点P(2,∫(2)处的切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0: (2)f()=r-(2a+1)x+ala∈R定义域为(0，+o),则f'(x)=2x-(2a+1)+a 1 由于f(x)在x=1处取得极值，故f"(1)=2-(2a+1)+a=0,∴.a=1, 则f(x)=2x-3+1=2x2-3x+1-(2x-1(x-) 令了)0，则0<该x>1,函数)在0》0+网)上均单调造塔， 令)0，则}<1，函数/)在仔上单调道减。 故当-，k股人付子时子b2,当1时，fk骏小国=i-32 24. (3)由于f)=2-(a+14g2--@xed, 当a<1时，f'(x)≥0，仅在a=1,x=1时等号取得，f(x)在1，e]上单调递增，则f(x)n=f0)=-2a,符合题意； 当l<a<e时，则l<x<a时，f'(x)<0,∫(x)在[1，a]上单调递减，a<x<e时，'(x)>0,∫(x)在[a,e]上单调递增， 故f(x)=f@)<f0)=-2a,不符合题意： 当a≥e时，f'(x)<0,f(x)在[1，e]上单调递减，故f(x)m=f(e)<f)=-2a,不符合题意； 答案第2页 综上，可知a的取值范围为(-o,] 【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论α与区间[l,©]的位置关 系，从而确定最值，求得参数范围 y=h(x) 18.【详解】(1)函数f(,=x+a血r的定义域为0，+)，求导得f')=1+-x+a =1m 当a≥0时，∫'(x)>0,函数f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a<0时，由f'(x)<0,得x∈(0，-a);由f'(x)>0,得x∈(-a,+w), 函数f(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a,+∞)上单调递增， 0 所以当a≥0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a<0时，函数f(x)在(0，-a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增； (2)①当a=1时，fx)=x+lc,函数y=f(x)-2x+m=lnx-x+m有两个不同的零点1，x2, 等价于方程nx-x+m=0一m=x-lnx有两个不同的根x,x?,等价于函数h(x)=x-hx的图象与直线y=m有两个不 同的交点，求导得)=1-二1，当0<X<1时，)<0：当>1时，M)>0, 函数h()在(0,1)上单调递减，在1，+o)上单调递增，h(x)=h)=1, 而当x从大于0的方向趋近于0时，(x)→+o,当x→+0时，(x)→+0，所以m的取值范围为(L,+o) ②不妨令0<名<x,因为5+15+1 Le5+>5+1⊙6-0-)0e0<5<1, 1、 -> 由0知-5-，即1成品，而0s华1o0<1,宽E5山l Inx2 Inx x2 只需证明V书<点生 吃1岭德传得 令t= 臣>1，令0=2->1,求导0=-1京-0-片<0 函数u0在，+o)上单调递减，0<0=0，即r<1-1>1,因此h点< 臣，所以5+15+ 19.【详解】(1)证明：设h(x)=x-sinx,x>0,则H(x)=1-cosx,因为-1≤cosx≤1，所以(x)=1-cosx≥0， 则函数h(x在(0，+o)上单调递增，所以h()>h(O)=0,得当x>0时，x>sinx,即f(x)<x得证. (2)8(x)-()-e'-(x+l)+l=ksinv-e'-I(x+1)+1,g'(x)=kcosx-e*-_1 +1 因为函数g(9在区间0习内存在极值点a,所以g(y在0写到内有变号零点. ①当k≤0时，因为x∈ 所以cosx>0,得g'(y)=kcos-e-1<0恒成立， x+1 得函数g()在0 3 上单调递减，无极值，不合题意， 当k>0时，令m(x)=g(x)=kcosx-e-1 ，则m()=-sinx-e*+,1 (x+1) <0，所以函数m(y在0， 上单调递 x+1 2 减，又m(0)=k-2,m 玩1)<0，若m(0)=k-2≤0，即0<k≤ 则m(<0,得g<0,得画数ge在〔0 上单调递减，无极值，不合题意， 若m0)=-20,k>2,因为函数（在写到上单调送减。且0>0，0 所以存在α∈0， 使得(a)=0,即g'(a)=0, 2 则当x∈(0，a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， (共3页) 当x∈a习时，名(<0，g()单调递减，所以a是（四的极大值点，符合腿意，故k的取值范用为：（2+） ②由①知，当>2时，8)在(0a)上单调道增，在a到上单调道减。 当x(仔小.行c0,则a)ka。0,行g(国经上单时溢减。 故当k>2时，g(x)在(0，a)上单调递增，在(a)上单调递减，而g(0)=sin0-e°-nl+l=0, g(m)=sim-e-h(元+1)+1=1-e”-ln(m+1)<0,而g(a)>g(0)=0, 由零点存在性定理知，存在唯一的零点B∈(a,π)，使得g()=0,即存在唯一的零点B∈(O,),使得g()=0, 接下来比较B与2a的大小， 因为g(2a)in2a-e-n(2a+l+lae(0)由ga)=0,得cosa-e-1=0,得sa=e+。 a+1 +1 则8(2a)=2 sinae“+1） +1 a(a01.令ne-2are+)e-aex41xeo -2e2-2e'(conx+sin-e)+2cosx2sint 2 x+1 2x+1 x+1 (x+1)2 2x+1 令p()=coar+simr-e,得pr)=-snr+cosr-e<0,得p()在0习 上单调递减，得p(x)<p(O)=0, 2cosx 2sinx 2 x+1) 而 2 x+1 (x+122x+1 (x+1)cosx-sinx- (x+1 x+1 )=(x+1)cosx-sing-()-cos-+1)sin-cost 2x+.-6+1 2x+10, 2x+1 (2.x+1)2 (2.x+1了 2<0 得在0上单调避减，得)<q0=0,得1十12x+ 用-少am要等行0，得在0到 上单调递减，得n(x)<(0)=0, 得g(2a)<0,而g(B)=0,得g(2)<g(B), 所以2u∈(0，π)，得2a∈(a,),而B∈(&，π)，而当k>2时，g(x)在(a,)上单调递减，得B<2a. 答案第3页 共3页)