精品解析：吉林延边州敦化市实验中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

敦化市实验中学校2025~2026学年度高一下学期期末考试 数学试题 考生注意: 出题教师:数学组.审题人:常晶. 第Ⅰ卷（选择题） 一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 向量，，若，则（ ） A. B. ， C. ， D. ， 3. 对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（ ） A. 互斥事件 B. 独立事件 C. 对立事件 D. 以上选项均不正确 4. 已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 5. 已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标为 B. 当时，可作为平面内的一组基底 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，则在上的投影向量为 7. 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ） A. B. 12 C. D. 18 8. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A. 该样本的极差为5分 B. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C. 该样本的分位数为8分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. ，则面积的最大值是 D. 若，且有两解，则b的取值范围是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，F为侧面正方形内一动点（包括边界），且满足平面，则（ ） A. 动点F的轨迹是一条线段 B. 直线与的夹角为60° C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 二面角的平面角的余弦值为 第ⅠⅠ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为__________． 13. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为120，80，40.现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽出的6名同学分别用，，，，，表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作； （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2名同学不在同一年级”，求事件发生的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17. 在中，角所对的边分别是，已知，． （1）求角的大小； （2）若，是上的点，平分，求的长． 18. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 19. 如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敦化市实验中学校2025~2026学年度高一下学期期末考试 数学试题 考生注意: 出题教师:数学组.审题人:常晶. 第Ⅰ卷（选择题） 一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】复数， 所以z的虚部为. 2. 向量，，若，则（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的倍数关系，即可求解. 【详解】由可得存在实数使得， 故，因此， 解得，，， 故选：C 3. 对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（ ） A. 互斥事件 B. 独立事件 C. 对立事件 D. 以上选项均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】利用概率加法公式求出，再结合互斥、对立、独立事件的定义逐一判断选项即可. 【详解】根据概率加法公式，对任意事件有， 将代入上式，得. 因为，所以事件互斥，故选项A正确； ，所以事件不独立，故选项B错误； 因为，所以事件不对立，故选项C错误；因此选项D错误. 4. 已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面之间的位置关系判定即可. 【详解】 对于A项，可能相交，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故A错误； 对于B项，有的可能，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故B错误； 对于C项，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故C错误； 对于D项，因为，又，所以，故D正确； 故选：D 5. 已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】中边长为的边所对的角最大，设其为， 由余弦定理得， 因为，所以． 6. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标为 B. 当时，可作为平面内的一组基底 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断选项A；利用向量平行的坐标表示判断选项BC；根据投影向量定义求向量在上的投影向量判断选项D． 【详解】与方向相同的单位向量是，A选项错误； 当时，向量，，，，不能作为平面内的一组基底，B选项错误； 当时，，与的夹角为，C选项错误； 当时，，，则在上的投影向量为，D选项正确. 故选：D. 7. 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ） A. B. 12 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B 8. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图: 记，在平面上的射影为点，则在上，连接． 由平面，，可得. 又是线段的中垂线，所以在上，即，因为三棱锥外接球的表面积为，所以该球的半径为. 又，所以； 因为为的中点，为的中点，所以为的重心. 所以，，. 所以三棱锥的体积． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A. 该样本的极差为5分 B. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C. 该样本的分位数为8分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 【答案】ABD 【解析】 【详解】将样本数据从小到大排序：5，6，6，6，7，7，7，8，8，10， 选项A，极差=最大值-最小值，，所以A正确； 选项B， 样本均值，用样本均值估计总体均值，所以B正确； 选项C，百分位数位置：，因为为整数，所以分位数是第9项和第10项数据的平均值，即分位数是，所以C错误； 选项D，样本方差，所以D正确． 10. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. ，则面积的最大值是 D. 若，且有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、三角形的面积公式和基本不等式，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，正确； 对于B，因为，所以，则， 所以或，即或，错误； 对于C，由余弦定理，得， 当且仅当时取等号，因此面积的最大值为，正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，F为侧面正方形内一动点（包括边界），且满足平面，则（ ） A. 动点F的轨迹是一条线段 B. 直线与的夹角为60° C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于，过作一个平面，使得该平面与平面平行，该平面与正方体左侧面的交线段即为动点的轨迹；对于，平移使其与位于同一平面，或其补角为异面直线与的夹角，在三角形中求角即可；对于C，由知点到平面的距离为定值，又的面积为定值，进而体积为定值；对于D，取的中点，连接，找出二面角的平面角，求解即可. 【详解】A，如图： 分别取的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以平面，同理可得：平面， 且平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，正确； C，由A可知的轨迹为线段，平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积是定值，不会随点的运动而变化，错误； B，如图： 连接，，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角为异面直线与的夹角， 因为为正方体，，都为面对角线，所以， 所以为等边三角形，所以，正确； D，如图： 中点H连接，由，所以， 又，所以为二面角的平面角， 易求得，又，， 由余弦定理可得，正确． 第ⅠⅠ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为. 故答案为：19. 13. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据铁球与正四棱台铁锭的体积相等列方程，即可求得铁锭的高. 【详解】依题意，正四棱台形状的铁锭的体积等于铁球的体积， 设正四棱台形状的铁锭的高为，则得， 解得. 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为120，80，40.现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去某敬老院参加献爱心活动. （1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽出的6名同学分别用，，，，，表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作； （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2名同学不在同一年级”，求事件发生的概率. 【答案】（1）从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人； （2）（i），，，，，，，，，，，，，，，共15种. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样定义，直接按比例抽取即可得解； （2）（i）分别列出从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果即可； （ii）由（i）可得抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的结果，由概率公式即可得解. 【小问1详解】 由已知，甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取6名同学， 因此应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人. 【小问2详解】 （i）从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 ，，，，，，，，，，，，，，，共15种. （ii）由（i），不妨设抽出的6名同学中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级的是，则从抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为，，，，共4种. 所以，事件发生的概率为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）连接，交于点，连接， 由条件可知为中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 （2）因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，是的中点． 则，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，通过即可求证； （2）通过面面垂直得到，通过等腰三角形得到，即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在中，角所对的边分别是，已知，． （1）求角的大小； （2）若，是上的点，平分，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知，由余弦定理可得， 因为，代入得，所以， 所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积公式可得，， 所以，可得． 18. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 【答案】（1）合理分数为分；平均分为70.2分 （2）总平均数是62，总方差是26． （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求解计算即可. （2）根据平均数和方差公式计算即可. （3）根据独立事件的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． 【小问3详解】 记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 19. 如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵在平行四边形中，， ，． 设，则，，， ，即． 平面，平面，， 平面． 平面， ． 又平面，平面，， 平面． （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）勾股定理证明，然后通过证明线面垂直来证明，即可证明平面；（2）过作，通过证明平面找出线面角的平面角，求出对应边长即可直接求正弦值；（3）方法一：利用线面平行的性质，构造辅助平面，转化为线线平行；方法二：构造平行平面，利用面面平行的性质进行证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为， 由（1）知平面，且平面， ∴平面平面． ∵平面平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角． 设，则，， 中，，解得． . 【小问3详解】 方法一： 存在，当时，平面． 连接并延长交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． 取中点，连接，由于是中点，是中点， 是的中位线，是的中位线． ． 为靠近的四等分点． 为靠近的四等分点，即． 方法二： 存在，当时，平面． 过作，交于点，连接， 平面，平面， 平面． 又平面，平面，平面，， ∴平面平面． ∵平面平面，平面平面， ． 为中点，为中点，即靠近的四等分点． 为靠近的四等分点，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $