课时精练66 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦事件独立性、条件概率与全概率公式，通过概念辨析、实际应用等题型，系统训练概率公式的推理与应用，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（3,6,11）|以充要条件、对立事件等形式考查概念本质|从独立事件定义到条件概率公式推导，构建概念间逻辑链| |基础计算|5题（1,2,4,8,12）|直接应用概率公式求解，覆盖公式基本形态|从简单运算到全概率公式分步应用，强化公式记忆与直接应用| |实际应用|4题（5,9,14,15）|结合动态平衡、抽奖等情境，体现概率模型价值|从数学问题到现实情境，培养用数学语言表达实际问题的能力| |综合问题|3题（7,10,13）|多事件结合、含参数分析，考查综合推理能力|整合独立事件、条件概率与全概率公式，形成知识网络与方法体系|

[课时精练66]　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1．已知事件A和B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，则P(A∪B)等于(　　 ) A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.6 2．盒中装有3个红球和1个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出1个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为(　　 ) A. B． C． D． 3．已知P>0，P>0，则“P(B|A)＝P”是“A与B相互独立”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．考虑一个游戏：玩家先掷一枚均匀的骰子，如果出现1或2则从甲盒中抽球，甲盒有2个红球和1个蓝球；如果出现3、4、5、6则从乙盒中抽球，乙盒有1个红球和2个蓝球．那么抽到红球的概率为(　　 ) A． B． C． D． 5．某校共有1 500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10%的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为(　　 ) A．700 B．800 C．900 D．1 000 6．(多选)有甲，乙两个袋子，甲袋中有大小和质地相同的2个红球，2个黑球，乙袋中有大小和质地相同的2个红球、1个黑球．现从甲、乙两个袋子中各随机一次取出2个球，设事件A1＝“甲袋中取出2个红球”，A2＝“甲袋中取出1个红球、1个黑球”，B1＝“乙袋中取出2个红球”，B2＝“乙袋中取出1个红球、1个黑球”，C＝“甲、乙两个袋子中取出3个红球、1个黑球”．下列说法正确的是(　　 ) A．事件A1与A2是对立事件 B．事件B1与B2是对立事件 C．事件A2与C相互独立 D．事件B2与C相互独立 7．(多选)某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为1，2，3的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为5∶6∶9，三个箱子中白球所占的比例分别为90%，95%，96%，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件Ai＝“此球来自编号为i的箱子”(i＝1，2，3)，事件B＝“顾客获奖”，则(　　 ) A．P＝ B．P(B)＝0.058 C．P＝0.25 D．P＝ 8．现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球、2个黑球，2号罐子中装有2个红球、3个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 ． 9．错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识．某班级数学老师在班级发起错题重做挑战赛．甲和乙两人组成“精英队”参加挑战赛．每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响． (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“精英队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“精英队”在两轮比赛中做对3题的概率． 10．(多选)一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回．下列说法正确的是(　　 ) A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．第三次摸出黄球的概率为 11．(多选)已知一批乒乓球出厂的次品率为α(0<α<1)，乒乓球出厂时，要求检验员不放回地抽取两次，每次抽取一个，贴上验收标签．记“第一次抽到的乒乓球检测为次品”为事件A，“第二次抽到的乒乓球检测为次品”为事件B，则下列说法正确的有(　　 ) A．P(A)＝α B．P(B)<α C．P(B|A)<α D．P(AB)<α2 12．现有n(n>2，n∈N*)个箱子，每个箱子均有个小球，第k(k＝1，2，3，…，n)个箱子中有个白球，其余为黑球，在这n个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则n＝ ． 13．人工智能是用于研究模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能地摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率). (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率． ②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 14．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有n个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件Ai，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则P是(　　 ) A．与n有关的常量 B．与n有关的变量 C．与n无关的定值，且为 D．与n无关的定值，且为 15．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲选择之外的一个空箱子，记为X号箱． (1)求X＝1的概率； (2)求X的方差； (3)若X＝1，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？ 参考答案 [课时精练66]　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1．已知事件A和B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，则P(A∪B)等于(　　 ) A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.6 解析：选A.由于A和B相互独立，有P(A∩B)＝P(A)P(B)＝0.6×0.5＝0.3. 由加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.6＋0.5－0.3＝0.8. 2．盒中装有3个红球和1个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出1个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为(　　 ) A. B． C． D． 解析：选C.记事件A：两人取出的球颜色相同，事件B：两人取出的球同为蓝色，则B⊆A，则n＝3×3＋1×1＝10，n＝n＝1×1＝1，由条件概率公式可得P＝＝. 3．已知P>0，P>0，则“P(B|A)＝P”是“A与B相互独立”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为P(B|A)＝＝P，所以P＝PP，即A与B相互独立； 若A与B相互独立，则P＝PP，所以P(B|A)＝＝P. 综上，“P(B|A)＝P”是“A与B相互独立”的充要条件． 4．考虑一个游戏：玩家先掷一枚均匀的骰子，如果出现1或2则从甲盒中抽球，甲盒有2个红球和1个蓝球；如果出现3、4、5、6则从乙盒中抽球，乙盒有1个红球和2个蓝球．那么抽到红球的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.设事件A为“抽到红球”，事件B1为“掷出1或2”，事件B2为“掷出3或4或5或6”． 则P(B1)＝＝，P(B2)＝＝. 且P(A|B1)＝，P(A|B2)＝. 由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝. 5．某校共有1 500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10%的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为(　　 ) A．700 B．800 C．900 D．1 000 解析：选C.当时间足够长时，食堂人数的流动会达到动态平衡，稳定后每天楼上食堂的人数会保持不变．设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为x，则楼下食堂用午餐的学生数大约为1 500－x，原本在楼上食堂且留下的学生数大约为(1－10%)x＝0.9x， 从楼下食堂转来的学生数大约为0.15，所以x＝0.9x＋0.15，解得x＝900.所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为900. 6．(多选)有甲，乙两个袋子，甲袋中有大小和质地相同的2个红球，2个黑球，乙袋中有大小和质地相同的2个红球、1个黑球．现从甲、乙两个袋子中各随机一次取出2个球，设事件A1＝“甲袋中取出2个红球”，A2＝“甲袋中取出1个红球、1个黑球”，B1＝“乙袋中取出2个红球”，B2＝“乙袋中取出1个红球、1个黑球”，C＝“甲、乙两个袋子中取出3个红球、1个黑球”．下列说法正确的是(　　 ) A．事件A1与A2是对立事件 B．事件B1与B2是对立事件 C．事件A2与C相互独立 D．事件B2与C相互独立 解析：选BC.P(A1)＝＝，P＝＝＝，P＝＝，P＝＝， C＝“甲、乙两个袋子中取出3个红球、1个黑球”，所以C包含的基本事件为：甲袋中取出2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黑球或甲袋中取出1个红球，1个黑球，乙袋中取出2个红球，P＝·＋·＝×＋×＝. 对于A，甲袋中取球可能为2个红球，1个红球、1个黑球或2个黑球，所以事件A1与A2不是对立事件，故A错误； 对于B，乙袋中取球可能为2个红球，1个红球、1个黑球，因此B1∪B2为必然事件，所以事件B1与B2是对立事件，故B正确； 对于C，事件A2C表示甲袋中取出1个红球，1个黑球，乙袋中取出2个红球，所以P＝·＝×＝，P＝，P＝，＝×，所以P＝P·P，所以事件A2与C相互独立，故C正确． 对于D，事件B2C表示甲袋中取出2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黑球，所以P＝·＝×＝，P＝，P＝，P≠P·P，所以事件B2与C不相互独立，所以D错误． 7．(多选)某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为1，2，3的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为5∶6∶9，三个箱子中白球所占的比例分别为90%，95%，96%，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件Ai＝“此球来自编号为i的箱子”(i＝1，2，3)，事件B＝“顾客获奖”，则(　　 ) A．P＝ B．P(B)＝0.058 C．P＝0.25 D．P＝ 解析：选BCD.对于A，由题意可知P＝1－95%＝5%，故A错误； 对于B，P(B)＝P(A1)P＋PP＋PP＝×10%＋×5%＋×4%＝0.058，故B正确； 对于C，P(A1)＝＝0.25，故C正确； 对于D，P＝＝ ＝＝，故D正确． 8．现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球、2个黑球，2号罐子中装有2个红球、3个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 ． 解析：设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”，事件B1表示“从1号罐子中取出的球是红球”，事件B2表示“从1号罐子中取出的球是黑球”，P＝，P＝，P＝，P＝， 则P＝PP＋PP＝×＋×＝. 答案： 9．错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识．某班级数学老师在班级发起错题重做挑战赛．甲和乙两人组成“精英队”参加挑战赛．每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响． (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“精英队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“精英队”在两轮比赛中做对3题的概率． 解：(1)设“甲第i轮做对”为事件Ai，“乙第i轮做对”为事件Bi，i＝1，2，则P＝，P＝， “精英队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为P1＝P＝P(A1)PPP＝. 情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为P2＝P＝PPPP＝. 情况三：甲做对1题，乙做对1题， 甲做对1题的概率为P＋P＝P(A1)P＋PP＝， 乙做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝， 所以甲做对1题，乙做对1题的概率为P3＝×＝. 因为这三种情况互斥，所以“精英队”在两轮比赛中做对2题的概率为P＝＋＋＝. (2)设“甲第i轮做对”为事件Ai，“乙第i轮做对”为事件Bi，i＝1，2， 则P(A1)＝，P＝，P＝，P＝，且各事件相互独立． “精英队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题， 甲做对2题的概率为P＝P(A1)P＝， 乙做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝， 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为×＝. 情况二：甲做对1题，乙做对2题， 甲做对1题的概率为P＋P＝P(A1)P＋PP＝， 乙做对2题的概率为P＝PP＝， 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为×＝. 由于这两种情况互斥，所以“精英队”在两轮比赛中做对3题的概率为＋＝. 10．(多选)一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回．下列说法正确的是(　　 ) A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．第三次摸出黄球的概率为 解析：选ABD.对于A，第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为×＝； 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为×＝， 可得第二次摸出红球的概率为＋＝，所以选项A正确； 对于B，设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件B， 由选项A的分析可知P＝，P＝×＝， 根据条件概率公式P＝＝＝，所以选项B正确； 对于C，由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为×＝，所以选项C错误； 对于D，第三次摸出黄球的概率为＝，所以选项D正确． 11．(多选)已知一批乒乓球出厂的次品率为α(0<α<1)，乒乓球出厂时，要求检验员不放回地抽取两次，每次抽取一个，贴上验收标签．记“第一次抽到的乒乓球检测为次品”为事件A，“第二次抽到的乒乓球检测为次品”为事件B，则下列说法正确的有(　　 ) A．P(A)＝α B．P(B)<α C．P(B|A)<α D．P(AB)<α2 解析：选ACD.对于A选项，由于第一次抽样时，乒乓球的次品率为α，所以P(A)＝α，故A正确； 对于B选项，设出厂时的乒乓球总数为N(N>1)，由全概率公式得，P(B)＝PP＋PP＝α·＋·＝α，故B错误； 对于C选项，P(B|A)＝＝α＋，因为0<α<1，所以－1<α－1<0，则<0，所以P(B|A)<α，故C正确； 对于D选项，P(AB)＝PP＝α·＝α2＋，因为0<α<1，所以0<α2<α<1，则α2－α<0，得<0，所以P(AB)<α2，故D正确． 12．现有n(n>2，n∈N*)个箱子，每个箱子均有个小球，第k(k＝1，2，3，…，n)个箱子中有个白球，其余为黑球，在这n个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则n＝ ． 解析：记“选到第k个箱子”为事件Ak(k＝1，2，3，…，n)，“从箱子中依次选出3个小球且第3个小球是黑球”为事件B，则P＝， 每个箱子均有个小球，第k个箱子中有个白球和个黑球， 又因为从箱子中依次选出3个小球，每次选到黑球的概率相等， 所以第3次选出的小球恰为黑球和第1次选出的小球为黑球的概率都是P＝， 由全概率公式得P＝P(B|Ak)＝(·)＝＝＝，解得n＝9. 答案：9 13．人工智能是用于研究模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能地摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率). (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率． ②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 解：设试验一次，“选到甲袋”为事件A1，“选到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2. (1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝×＋×＝. 所以试验一次结果为红球的概率为，即首次试验结束的概率为. (2)①因为B1，B2是对立事件，P(B2)＝1－P(B1)＝， 所以P(A1|B2)＝＝＝＝， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. ②由①得P(A2|B2)＝1－P(A1|B2)＝1－＝， 所以方案一中取到红球的概率为P1＝P(A1|B2)P(B1|A1)＋P(A2|B2)P(B1|A2)＝×＋×＝， 方案二中取到红球的概率为P2＝P(A2|B2)P(B1|A1)＋P(A1|B2)P(B1|A2)＝×＋×＝， 因为>，所以方案二中取到红球的概率更大． 即选择方案二第二次试验结束的概率更大． 14．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有n个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件Ai，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则P是(　　 ) A．与n有关的常量 B．与n有关的变量 C．与n无关的定值，且为 D．与n无关的定值，且为 解析：选C.依题意可得P＝＝，P(A1)＝＝，P＝＝， 若A0发生，则乙袋中有n个红球，5黑球，此时P(B|A0)＝， 若A1发生，则乙袋中有n＋1个红球，4黑球，此时P＝， 若A2发生，则乙袋中有n＋2个红球，3黑球，此时P＝， P＝PP＝×， 所以P＝PP＋PP(A1)＋P(B)P＝， 所以P＝＝＝，即P(A2|B)是与n无关的定值，且为. 15．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲选择之外的一个空箱子，记为X号箱． (1)求X＝1的概率； (2)求X的方差； (3)若X＝1，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？ 解：(1)设A1，A2，A3，A4分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品， 设B1，B2，B3，B4分别表示主持人打开1，2，3，4号箱子， 则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥． 由题意可知，事件A1，A2，A3，A4的概率都是，P(B1|A4)＝，P(B1|A2)＝，P(B1|A3)＝，P(B1|A1)＝0. 由全概率公式，得P(B1)＝(Ai)P(B1|Ai)＝(＋＋)＝. (2)依题意可得X＝1，3，4，P(X＝1)＝，同理可得P(X＝3)＝P(X＝4)＝， 故X的分布列为： X 1 3 4 P 所以E(X)＝＋3×＋4×＝， D(X)＝(1－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝. (3)在主持人打开1号箱的条件下，4号箱、2号箱、3号箱里有奖品的概率分别为P(A4|B1)＝＝＝， P(A2|B1)＝＝＝， P(A3|B1)＝＝＝， 通过概率大小比较，甲应该改选4号或3号箱． 1 学科网（北京）股份有限公司 $