嵌套与抽象函数专题讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦嵌套与抽象函数这一高频考点，按“概念辨析-方法突破-易错规避-真题应用”逻辑架构，通过考点梳理（区分两类函数、归纳嵌套形态）、方法指导（拆结构步骤、赋值三步法）、真题训练（2021甲卷等详解），帮助学生构建解题框架，突破难点。 讲义创新“拆-赋结合”教学法，如嵌套函数通过命名整体函数翻译奇偶性（例1），抽象函数用赋值三步法推周期（例2），培养数学思维与数学语言能力。设置易错警示和分层真题演练，保障复习效果，助力学生高效解题，为教师提供精准复习路径。

目录 一、引言 2 二、概念辨析：嵌套函数与抽象函数 2 （一）嵌套函数 2 （二）抽象函数 2 （三）两类问题的入口区分 3 三、嵌套函数的处理：拆结构 3 （一）三种常见嵌套形态 3 （二）条件的主语 3 （三）例题 1（2021 全国甲卷第 12 题） 3 四、抽象函数的处理：赋值三步法 5 （一）关系式类型与可挖信息 5 （二）赋值三步法 6 （三）例题 2（2026 全国II卷第 8 题） 6 五、常见易错点 8 （一）只代值，不求通式 8 （二）赋值忽略定义域与对称中心 8 （三）条件性质不联立 8 六、解题路径与小结 9 （一）三步判断路径 9 （二）方法小结 9 七、真题演练 9 （一）高考真题 9 （二）参考解答 10 2027届高考数学一轮复习：嵌套与抽象函数专题 元维逻辑 一、引言 “没有解析式”的函数题是新高考数学的一大高频考点，主要包括嵌套函数与抽象函数两类。总的处理策略可概括为：能拆结构就拆，拆不动就赋值。对抽象函数而言，稳定的入手方式是赋值，但赋值并非机械地代入数字，通常分三步进行：先求特殊值，再凑目标量，最后把多元（常见为二元）关系式逐次压成单变量推出性质。 本文面向新高考一轮复习阶段的学生，针对函数选填题中的中高档难度题目，系统讲解“没有解析式的函数”（即嵌套函数与抽象函数）的识别方法与解题路径。完成本文的学习后，能够： 准确区分嵌套函数与抽象函数两类题型； 掌握抽象函数赋值三步法； 识别并规避三个高频易错点。 二、概念辨析：嵌套函数与抽象函数 （一）嵌套函数 嵌套函数的解析式通常是存在的，只是存在多层“套”的结构，例如 、、。其解题难点在于“拆层次”：由内向外换元、平移、更换自变量。见2021 全国甲卷第 12 题（详见XXX），题设给出 为奇函数、 为偶函数，表面未给出解析式，实则考查平移后奇偶性的还原，本质属于拆解嵌套。 （二）抽象函数 抽象函数自始至终不给出解析式，只给一个函数方程（如 ），并附加一至两条性质（奇偶性、周期性）。其解题难点在于“从关系式中提取信息”。 （三）两类问题的入口区分 两种题型的解题入口完全不同：给出解析式（含隐式嵌套），应“拆”；只给出函数方程，应“赋”。嵌套依靠结构，抽象依靠赋值，两条路径不可混淆。 三、嵌套函数的处理：拆结构 （一）三种常见嵌套形态 高考中最常见的嵌套形态可归纳为下表： 表1 高考常见嵌套形态 形态 例 本质 拆法 平移嵌套 、 自变量整体加减常数，图像左加右减 换元 ，对称轴或中心相应平移 伸缩嵌套 、 自变量被压缩或拉伸，可能伴随翻转 先归一化为 ，再分步还原 自身或复合嵌套 、 内层函数值作为外层输入 有解析式则直接代入，无解析式则逐层翻译 （二）条件的主语 处理嵌套时需特别注意条件的“主语”。题设称“ 为奇函数”，其主语是 这一整体，而非 。正确的做法是先命名、再翻译： 记 ，由 为奇函数，得： ，即 ； 故 关于点 中心对称，而非关于原点对称。 若常数“1”的位置写错，对称中心将由 变为 ，整题随之出错。同理， 为偶函数时，，即 关于直线 轴对称。 （三）例题 1（2021 全国甲卷第 12 题） 题设：已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）。 A. B. C. D. 题型定位：这是一道嵌套函数题（解析式存在，只是被平移嵌套），按“给式就拆” 的路径处理，关键易错点就是先弄清楚：条件的主语是谁。 解题过程： 第一步：翻译嵌套奇偶性（先命名，再翻译） 令，为奇函数，则 ，所以： 故关于点中心对称。（不是关于原点！“1”的位置写错整题皆错。） 令 ，为偶函数，则 ，所以： 故关于直线 轴对称。 第二步：由对称性推周期（详见站内文章《专题一：函数性质性质讲义》） 由中心对称式换元令，得： 由轴对称式： 联立两式： 递推： 故周期 。 第三步：挖掘隐含条件（求的关键） 由 令 得； 由 令 得 。 两式联立：，故。 因为，代入解析式： 即。 第四步：由 求 由，令 ，得。 由，得。 代入条件： 得，从而 。 第五步：计算 由中心对称 ，令 ： ，代入解析式： 故： 最终答案：D. 四、抽象函数的处理：赋值三步法 （一）关系式类型与可挖信息 历年高考试题中的函数方程可归为以下几类： 表2 历年真题常见关系式类型 类型 代表关系式 赋值可挖出 原型函数 加性 、奇函数 乘性 或 指数型 、恒正 对数型 递推型 迭代求值 奇偶联动 周期型 周期 三角类 需注意：上述原型函数仅用于预判性质，解题时不能默认 即该具体函数；尤其在判断选项时，原型只提示“可能是谁”。 （二）赋值三步法 第一步：赋特殊值，先求 、。 0 与 1 是关系式中最“干净”的取值，代入后可使多数项化为 0 或保持本身。 第二步：让目标量向已知量靠拢。 当目标值无法直接求出时，利用递推关系逐步迭代，将任意 向已知值逼近。 第三步：降维。 把多元（常见为二元）关系式逐次压成单变量，进而推出性质。 （三）例题 2（2026 全国II卷第 8 题） 题设：已知 为定义在 上的偶函数，且 ，当 时，，则（ ） A. B. C. D. 【题型定位】 嵌套+递推型函数。题设给出 （递推）和 为偶函数，已知 上的二次解析式。按“能拆就拆”：先由递推拆出周期，再联立奇偶性得到中心对称，最后利用对称点处的函数值条件列方程求参数。 【解题过程】 第一步：由递推式推出周期 由 ，得 。 递推：，故 ，周期 。 第二步：联立奇偶性，推出中心对称 由 （将 替换为 ），及 ： 即 ，故 关于点 中心对称。 第三步：利用对称点求 由中心对称，令 ：，故 。 第四步：由 得到 上的表达式 当 时，，由 ： 第五步：代入 列方程 ……① 第六步：利用中心对称 列第二个方程 由 关于 中心对称，令 ：。 在 上： 在 上： 由 ： 代入①：。 【易错点提醒】 本题联立了三个条件：递推式（给周期）、偶函数（给轴对称）、已知区间解析式。根据易错点之三“条件性质不联立”——若只用递推式求周期而忽略偶函数，就难以推出关于 的中心对称，也就得不到 这个关键方程。因此必须列出全部条件、逐一确认已使用。 答案：D. 五、常见易错点 （一）只代值，不求通式 处理抽象函数时，代入等特殊值求出，只是第一步探路。真正决定能否解题的是第二步：对函数方程做自变量整体替换、递推或降维，从中推出周期、奇偶性、单调性等函数整体性质，即 “通式”。 只代值不求通式，就好比拿到了钥匙却不去开门。当题目要求 这类大自变量值、多项求和，或判断函数性质时，仅凭几个特殊点的值根本无法作答，必须靠周期把自变量折回已知区间，或靠一个周期内的和为零来化简。 （二）赋值忽略定义域与对称中心 处理嵌套函数的奇偶性条件时，最常见的错误是把条件的主语搞错。如文中例题 1（2021 全国甲卷第 12 题），“为奇函数” 说的是这个整体是奇函数，不是是奇函数。通过正确的翻译，得出关于点中心对称，而非关于原点对称。 常数的位置一旦写错，比如把对称中心写成、把对称轴写成，后续推导的周期、函数值全部偏移，整题皆错。此外，赋值时新变量必须落在定义域内，平移后的自变量若超出定义域，赋值本身就无效。避坑方法是先命名整体函数，再严格按定义翻译条件，不凭直觉跳步。 （三）条件性质不联立 抽象函数题通常同时给出函数方程和若干性质条件（如奇偶性、特殊值），这些条件必须全部联立使用，缺一不可。如文中例题 2（2004 全国卷 IV 第 12 题），奇函数条件绝非摆设，它能提供和两条信息，往往是消元求解的关键。 如果只盯着函数方程代值，而不把奇偶性、周期性等条件代入联立，就会缺少方程、卡住未知量。所以高三复习备考时一定要养成“列出全部条件、逐一确认已使用”的习惯，有效避免此类考题的失分。 六、解题路径与小结 （一）三步判断路径 遇到此类题，可按序提出三个问题： 第一，先分路：给出解析式，还是只给条件？给出解析式则拆层次（换元、平移还原、复合展开）；只给平移或伸缩嵌套条件（如 为奇函数）则先拆结构、翻译对称；只给函数方程则进入赋值。 第二，题目要求什么？求值则特殊值加迭代凑目标；判断性质则逐次降维，将多元关系式压成单变量，考察奇偶、周期、单调。 第三，结论能否反用？赋值法推出的是“必要性”。2023 新高考 I 卷第11题（见本文真题演练第4题），“ 是极小值点”即为错误结论，因可构造 反例。排除选项时构造反例更快；要使结论对所有函数成立，每一步必须是等价变形。 （二）方法小结 赋值并非随意代入几个数字，而是有章法的三步：先求特殊值，再凑目标量，最后把多元关系式逐次压成单变量。嵌套题拆结构，抽象题走赋值；赋值有边界，反例来补全。 口诀： 给式就拆，无式就赋；先特殊，再凑数；降维去，性质出；推到头，反例补。 七、真题演练 （一）高考真题 1、（2022 新高考 I 第 12 题，多选） 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2、（2022 新高考 II 第 8 题，单选） 若函数 的定义域为 ，且 ，，则 （ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 3、（2023 新高考 I 第 11 题，多选） 已知函数 的定义域为 ，，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 （二）参考解答 第1题（2022 新高考 I 第 12 题，多选） 【题型定位】 嵌套函数题。题设称 、 均为偶函数，条件的主语是“整体”而非 、 本身。按“先命名、再翻译”的路径处理，关键是把嵌套奇偶性还原为 、 的对称性。 【解题过程】 第一步：翻译 为偶函数 令 ，由 为偶函数，： = 令 ，得 = ，故 关于直线 对称。 第二步：翻译 为偶函数 令 ，由 为偶函数： ，故 关于直线 对称。 第三步：由 f 的对称性推出 g 的中心对称 关于 对称，即 = 。两边对 求导： = - 故 关于点 中心对称。 第四步：逐项判断选项 A. ： 关于 对称只能推出 ，无法确定 。可构造 满足所有条件但 。不成立。 B. ：由 关于 对称，；由 关于 中心对称，，故 。再由 关于 对称，。成立。 C. ：由 关于 对称，令 得 ，则 。成立。 D. ：由 关于 对称，；由中心对称 。而 （中心对称），（轴对称）。可构造 验证：，，不相等。不成立。 【易错点提醒】 本题核心易错点是“条件的主语”—— 为偶函数说的是这个整体是偶函数，不能直接等同于 为偶函数。必须先命名 ，再按 翻译，才能得到正确的对称轴 。常数位置写错，整题皆错。 答案：BC 第2题（2022 新高考 II 第 8 题） 【题型定位】 抽象函数题。只给出函数方程 和 ，无解析式。按 “无式就赋”路径，用赋值三步法处理。原型预判为余弦型函数（），但解题时不能默认即该函数。 【解题过程】 第一步：赋特殊值，求 令 ： 即 ，故 对所有 成立。 若 ，则 ，与 矛盾。故 。 令 ：，故 ， 为偶函数。 第二步：凑目标量，建立整数递推 令 ： 即 （二阶递推）。 第三步：计算一个周期，发现周期性 故周期 。一个周期内 。 第四步：求和 ，故： 【易错点提醒】 本题易错点即为典型的“只代值，不求通式”：若只算出 、 就停手，根本无法求 项和。必须通过递推发现周期 ，再利用“一个周期内和为零”化简求和，即“靠周期把自变量折回已知区间”。 答案：A. -3 第3题（2023 新高考 I 第 11 题，多选） 【题型定位】 抽象函数题。函数方程 ，无解析式。用赋值三步法处理。 【解题过程】 第一步：赋特殊值 令 ： ，故 A 成立。 令 ： 故 ，B 成立。 第二步：降维，推奇偶性 令 ： 由 ，得 。 令 ： 故 ， 为偶函数，C 成立。 第三步：判断 D——构造反例 D 称 为 的极小值点。赋值法推出的是“必要性”，要使结论对所有满足条件的函数成立，每一步必须等价。此处可构造反例： 设 验证满足函数方程（代入可证），且 、、为偶函数。 当 时，（ 时），故 附近 ， 是极大值点而非极小值点。 甚至 也满足所有条件，但 不是极值点。故 D 不成立。 【易错点提醒】 根据判断路径的第三条 “结论能否反用？”，赋值法推出的是必要性，排除选项时构造反例更快。本题 D 选项极具迷惑性—— 且为偶函数，容易直觉判断 是极值点，但通过构造反例验证其是否对所有满足条件的函数成立。 答案：ABC 1 学科网（北京）股份有限公司 $