4.5.1.2 函数的零点与方程的解的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数零点与方程的解的应用核心知识点，系统梳理根据零点所在区间、零点个数求参数范围及一元二次方程根的分布问题，在函数零点存在定理基础上，通过例题解析与方法总结，搭建从定理应用到综合问题解决的学习支架。 该资料采用习题讲评式教学，以“例题-思维建模-针对训练-课时检测”闭环设计，培养数学思维与数学眼光。如通过数形结合分析函数图象交点，助力理解零点个数与参数关系，课中提升教学效率，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第2课时　函数的零点与方程的解的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　进一步应用函数零点存在定理,已知函数零点(方程的解)的情况求参数范围,掌握一元二次方程根的分布情况. 题型(一)　根据零点所在区间求参数范围 [例1]　若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取值范围是 (　 ) A.(-2,0) B.(1,2) C.(2,3) D.(-3,-2) 解析:选D　因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0,1,x0,所以解得所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1-a,又x0∈(1,2),所以1<-1-a<2,解得-3<a<-2. |思|维|建|模| 　　由函数零点所在区间求参数一般有2种方法 (1)利用函数零点存在定理:首先判断函数的单调性,然后利用函数零点存在定理求解. (2)数形结合法:构造两个函数,作出两函数的大致图象,数形结合法求解. 　　[针对训练] 1.若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于 (　 ) A.-2 B.1 C.-2或1 D.0 解析:选C　由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象,如图所示, 由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k=-2或k=1. 2.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由题意可知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增.又函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上, ∴f(1)=1-+a<0,即a<-. 答案: 题型(二)　根据零点个数求参数范围 [例2]　已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:函数f(x)=的图象如图所示, 函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,由图知实数k的取值范围是. 答案: 　　|思|维|建|模|　 根据函数零点的个数求参数的范围的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围 分离 参数法 先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决 数形 结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解 　　[针对训练] 3.设c∈R,函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞) C. D.{0}∪ 解析:选D　画出函数g(x)=的图象如图所示,函数f(x)=可由g(x)=的图象分段平移得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c<0时,代表图象向上平移,显然没有零点,不符合题意;当c>0时,图象向下平移,当0<2c<1时,f(x)有两个零点;当2c≥1时,f(x)恰有一个零点,满足题意,即c≥.综上,c的取值范围是{0}∪. 4.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.  解析:因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根,则|2x-2|=b有两个实根.令y1=|2x-2|,y2=b,结合图可知b∈(0,2)时,y1=|2x-2|与y2=b的图象有两个交点. 答案:(0,2) 题型(三)　一元二次方程根的分布问题 [例3]　已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0. (1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围; (2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围; (3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围. 解:设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6. (1)f(x)的大致图象如图1所示, ∴f(2)<0, 即4+4(m-1)+2m+6<0, 得m<-1, ∴实数m的取值范围为(-∞,-1). (2)f(x)的大致图象如图2所示, ∴ 解得-<m<-, ∴实数m的取值范围为. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能的情况, ①只有一个正根或有两个正根,此时如图3, 可得即 ∴-3<m≤-1. ②有一个正根,一个负根,此时如图4, 可得f(0)<0,得m<-3. ③有一个正根,另一根为0,此时如图5, 可得 ∴m=-3. 综上所述,当方程至少有一个正根时,实数m的取值范围为(-∞,-1]. |思|维|建|模| 　　一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况,先将函数草图上下平移,确定根的个数,用判别式限制,再左右平移,确定对称轴有无超过区间,或是根据根的正负问题,用根与系数的关系进行限制. 　　[针对训练] 5.已知函数f(x)=2x-4x-m,x∈[-1,1]. (1)当m=-2时,求函数f(x)的零点; (2)若函数f(x)在[-1,1]上有零点,求实数m的取值范围. 解:(1)当m=-2时,f(x)=2x-4x+2,得2x-4x+2=0. ∴2x=2或2x=-1(舍去),解得x=1. ∴函数f(x)的零点为x=1. (2)f(x)=2x-4x-m=0⇔2x-4x=m, 令g(x)=2x-4x,x∈[-1,1], 函数f(x)有零点等价于方程2x-4x=m有解,等价于m在g(x)的值域内, 设t=2x,∵x∈[-1,1],∴t∈, 则t-t2=-+, 当t=时,g(x)max=, 当t=2时,g(x)min=-2. ∴g(x)的值域为. ∴实数m的取值范围为. [课时检测] 1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围为 (　 ) A.(0,2) B.(0,1) C.(1,2) D.(-∞,1) 解析:选B　函数f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有两个零点,函数f(x)的图象的对称轴为x=1,可得即解得0<a<1.则a的取值范围为(0,1). 2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是 (　 ) A.　B. C.　D.(-∞,-1)∪ 解析:选B　因为函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,且此函数是连续函数,所以f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解得-1<m<-. 3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1,另一个大于2,则a的取值范围是 (　 ) A.(0,3) B.[0,3] C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 解析:选A　因为方程-x2+ax+4=0有两根,一个大于2,另一个小于-1,所以函数 f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,由二次函数的图象可知,即解得0<a<3. 4.若关于x的方程x=在区间(0,1)内有解,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:选A　∵函数y=x在区间(0,1)内的值域为(0,+∞),∴>0,即<0.解得0<m<1.∴实数m的取值范围是(0,1).故选A. 5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是 (　 ) A.(0,+∞) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(0,1] 解析:选D　画出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时,y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k≤1,故选D. 6.已知函数f(x)=若F(x)=f(x)-a的零点个数为2,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(0,1] B.(0,1]∪(2,+∞) C.(0,1) D.(2,+∞) 解析:选B　由题知,函数f(x)= 作出f(x)的图象,利用数形结合思想可知,当a∈(0,1]∪(2,+∞)时,f(x)与y=a的图象有两个交点.故选B. 7.若关于x的方程=a+1有解,则a的取值范围是 (　 ) A.(0,1] B.(-1,0] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 解析:选B　关于x的方程=a+1有解,即y=与y=a+1的图象有交点,画出y=与y=a+1的图象如图,则a+1∈(0,1],则a∈(-1,0].故选B. 8.(5分)已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由题意,令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x, 因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1). 答案:(0,1) 9.(5分)若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:∵f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内, ∴即解得-12<a<0,故实数a的取值范围是(-12,0). 答案:(-12,0) 10.(5分)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是　　　　.  解析:令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,作出y=f(x)的图象,如图. 由图可知,当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时,-1<k<1,所以k的取值范围是(-1,1). 答案:(-1,1) 11.(5分)已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,由图可知,当0<a<1时,满足题意.即实数a的取值范围是(0,1). 答案:(0,1) 12.(5分)已知f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0仅有一解,则a的取值范围是　　　　.  解析:若a=0,则方程f(f(x))=0有无数个解,故a≠0.∵f(f(x))=0,∴lg f(x)=0或=0(舍去),∴f(x)=1,∴lg x=1或=1,∴x=10或a=x-1.∵关于x的方程f(f(x))=0仅有一解,∴a=x-1在x≤0上无解,∴a>-1.综上所述,a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 答案:(-1,0)∪(0,+∞) 13.(10分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点,求实数a的取值范围. 解:由f(x)=0得a-1=2|x|-x2, 因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点, 所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点, 画出函数y=2|x|-x2的图象,如图所示, 观察图象可知,0<a-1<1,即1<a<2, 所以实数a的取值范围是(1,2). 14.(10分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1. (1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;(8分) (2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.(2分) 解:(1)函数有两个零点,则方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根, 易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,解得m<. 由Δ=0,解得m=;由Δ<0,解得m>. 故当m<时,函数有两个零点; 当m=时,函数有一个零点; 当m>时,函数无零点. (2)由题意知,0是方程-3x2+2x-m+1=0的根, 故有1-m=0,解得m=1. 15.(15分)若在定义域内存在实数x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数有“漂移点”x0. (1)判断函数f(x)=是否有漂移点,并说明理由;(4分) (2)求证:函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点;(5分) (3)若函数f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移点,求实数a的取值集合.(6分) 解:(1)假设函数f(x)=有漂移点 x0, 则=+2, 即+x0+1=0,由此方程无实根,与题设矛盾,所以函数f(x)=没有漂移点. (2)证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3, 所以h(0)=-1,h(1)=5.所以h(0)h(1)<0. 又h(x)在(0,1)上连续, 所以h(x)=0在(0,1)上至少有一个实根x0, 即函数f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移点. (3)若f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移点x0, 所以lg=lg+lg a成立, 即=·a,a>0, 整理得a==, 由x0>0,得0<<1,则0<a<1. 则实数a的取值集合是{a|0<a<1}. 学科网（北京）股份有限公司 $