4.5.1.2 函数的零点与方程的解的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数零点与方程解的应用，核心内容包括根据零点所在区间、个数求参数范围及一元二次方程根的分布问题。通过习题讲评式教学，结合零点存在定理，以例1因式分解求零点区间、思维建模总结方法为支架，衔接基础与拓展应用。 其亮点在于习题与思维建模深度融合，通过思维导图梳理直接法、分离参数法等解题策略，数形结合（如例2分段函数图象分析零点个数）、分类讨论（如例3根分布分情况讨论）培养数学思维与推理意识。具体例题解析步骤规范，帮助学生提升抽象能力与问题解决能力，教师可借助系统题型与课时检测优化教学流程。

函数的零点与方程的解的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步应用函数零点存在定理，已知函数零点(方程的解)的情况求参数范围，掌握一元二次方程根的分布情况. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　根据零点所在区间 求参数范围 题型(二)　根据零点个数求参数范围 题型(三)　一元二次方程根的 分布问题 4 课时检测 题型(一)　根据零点所在区间 求参数范围 01 √ [例1]　若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0，1，x0，且x0∈(1，2)，则a的取值范围是 (　 ) A.(-2，0) B.(1，2) C.(2，3) D.(-3，-2) 解析：因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0，1，x0， 所以解得 所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1)，所以x0=-1-a， 又x0∈(1，2)，所以1<-1-a<2，解得-3<a<-2. |思|维|建|模|　　由函数零点所在区间求参数一般有2种方法 (1)利用函数零点存在定理：首先判断函数的单调性，然后利用函数零点存在定理求解. (2)数形结合法：构造两个函数，作出两函数的大致图象，数形结合法求解. 针对训练 1.若方程xlg(x+2)=1的实数根在区间(k，k+1)(k∈Z)上，则k等于 (　 ) A.-2 B.1 C.-2或1 D.0 √ 解析：由题意知x≠0，则原方程即为lg(x+2)=，在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(-2，-1)上，一个在区间(1，2)上，所以k=-2或k=1. 2.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1，+∞)上，则实数a的取值范围 是_______________.  解析：由题意可知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增.又函数f(x)=x-+a的零点在区间(1，+∞)上， ∴f(1)=1-+a<0，即a<-. 题型(二)　根据零点个数 求参数范围 02 [例2]　已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个 不同的零点，则实数k的取值范围是______＿＿＿＿＿＿＿＿.  解析：函数f(x)= 的图象如图所示，函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点，由图知实数k的取值范围是. |思|维|建|模|　 根据函数零点的个数求参数的范围的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围 分离 参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 数形 结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解 针对训练 3.设c∈R，函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(　 ) A.(0，1) B.{0}∪[1，+∞) C. D.{0}∪ √ 解析：画出函数g(x)=的图象如图所示， 函数f(x)=可由g(x)=的 图象分段平移得到，易知当c=0时，函数f(x)恰有一个零点，满足题意；当c<0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意；当c>0时，图象向下平移，当0<2c<1时，f(x)有两个零点；当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪. 4.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是_________.  (0，2) 解析：因为y=f(x)有两个零点，所以|2x-2|-b=0有两个实根，则|2x-2|=b有两个实根.令y1=|2x-2|，y2=b，结合图可知b∈(0，2)时，y1=|2x-2|与y2=b的图象有两个交点. 题型(三)　一元二次方程根的 分布问题 03 [例3]　已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0. (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； 解：设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6. f(x)的大致图象如图1所示， ∴f(2)<0， 即4+4(m-1)+2m+6<0，得m<-1， ∴实数m的取值范围为(-∞，-1). (2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围； 解：f(x)的大致图象如图2所示， ∴ 解得-<m<-， ∴实数m的取值范围为. (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围. 解：方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①只有一个正根或有两个正根，此时如图3， 可得即 ∴-3<m≤-1. ②有一个正根，一个负根，此时如图4，可得f(0)<0，得m<-3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图5， 可得∴m=-3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(-∞，-1]. |思|维|建|模| 一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制. 针对训练 5.已知函数f(x)=2x-4x-m，x∈[-1，1]. (1)当m=-2时，求函数f(x)的零点； 解：当m=-2时，f(x)=2x-4x+2，得2x-4x+2=0. ∴2x=2或2x=-1(舍去)，解得x=1. ∴函数f(x)的零点为x=1. (2)若函数f(x)在[-1，1]上有零点，求实数m的取值范围. 解：f(x)=2x-4x-m=0⇔2x-4x=m，令g(x)=2x-4x，x∈[-1，1]， 函数f(x)有零点等价于方程2x-4x=m有解，等价于m在g(x)的值域内， 设t=2x，∵x∈[-1，1]，∴t∈， 则t-t2=-+，当t=时，g(x)max=， 当t=2时，g(x)min=-2.∴g(x)的值域为. ∴实数m的取值范围为. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若函数f(x)=x2-2x+a在(0，2)上有两个零点，则a的取值范围为 (　 ) A.(0，2) B.(0，1) C.(1，2) D.(-∞，1) √ 解析：函数f(x)=x2-2x+a在(0，2)上有两个零点，函数f(x)的图象的对称轴为x=1，可得即解得0<a<1.则a的取值范围为(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是 (　 ) A.　 B. C.　 D.(-∞，-1)∪ √ 解析：因为函数f(x)=mx+1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，所以f(1)f(2)<0，即(m+1)(2m+1)<0，解得-1<m<-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1，另一个大于2，则a的取值范围是 (　 ) A.(0，3) B.[0，3] C.(-3，0) D.(-∞，1)∪(3，+∞) √ 解析：因为方程-x2+ax+4=0有两根，一个大于2，另一个小于-1，所以函数 f(x)=-x2+ax+4有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，由二次函数的图象可知，即解得0<a<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若关于x的方程x=在区间(0，1)内有解，则实数m的取值范围是(　 ) A.(0，1) B.(1，2) C.(-∞，1)∪(2，+∞) D.(-∞，0)∪(1，+∞) √ 解析：∵函数y=x在区间(0，1)内的值域为(0，+∞)，∴>0，即<0.解得0<m<1.∴实数m的取值范围是(0，1).故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是(　 ) A.(0，+∞) B.(-∞，1) C.(1，+∞) D.(0，1] √ 解析：画出函数f(x)的图象，由图象知，当0<k≤1时，y=k与y=f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)=k有两个不等实根，所以0<k≤1，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)=若F(x)=f(x)-a的零点个数为2，则实数a的取值范围为(　 ) A.(0，1] B.(0，1]∪(2，+∞) C.(0，1) D.(2，+∞) √ 解析：由题知，函数f(x)= 作出f(x)的图象，利用数形结合思想可知，当a∈(0，1]∪(2，+∞)时，f(x)与y=a的图象有两个交点.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若关于x的方程=a+1有解，则a的取值范围是(　 ) A.(0，1] B.(-1，0] C.[1，+∞) D.(0，+∞) √ 解析：关于x的方程=a+1有解，即y=与y=a+1的图象有交点，画出y= 与y=a+1的图象如图，则a+1∈(0，1]，则a∈(-1，0].故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1，e)内，则实数m的取值范围是__________.  (0，1) 解析：由题意，令f(x)=ln x-m=0，得m=ln x， 因为x∈(1，e)，所以ln x∈(0，1)，故m∈(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是___________.  (-12，0) 解析：∵f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，∴即解得-12<a<0，故实数a的取值范围是(-12，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点，则k的取值范围是________.  (-1，1) 解析：令g(x)=f(x)-k=0，可得f(x)=k，作出y=f(x)的图象，如图. 由图可知，当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时，-1<k<1，所以k的取值范围是(-1，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是_________.  (0，1) 解析：因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，故函数不是单调函数，又y=x+1与y=2x的图象交于点(0，1)和(1，2)，画出图象如图所示，由图可知，当0<a<1时，满足题意.即实数a的取值范围是(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0仅有一解，则a的取值范围是________________.  (-1，0)∪(0，+∞) 解析：若a=0，则方程f(f(x))=0有无数个解，故a≠0.∵f(f(x))=0，∴lg f(x) =0或=0(舍去)，∴f(x)=1，∴lg x=1或=1，∴x=10或a=x-1.∵关于x的方程f(f(x))=0仅有一解，∴a=x-1在x≤0上无解，∴a>-1.综上所述，a的取值范围是(-1，0)∪(0，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点，求实数a的取值范围. 解：由f(x)=0得a-1=2|x|-x2， 因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点， 所以函数y=a-1与y=2|x|-x2的图象有四个交点， 画出函数y=2|x|-x2的图象，如图所示， 观察图象可知，0<a-1<1，即1<a<2， 所以实数a的取值范围是(1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1. (1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(8分) 解：函数有两个零点，则方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根， 易知Δ>0，即4+12(1-m)>0，解得m<. 由Δ=0，解得m=；由Δ<0，解得m>. 故当m<时，函数有两个零点； 当m=时，函数有一个零点；当m>时，函数无零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.(2分) 解：由题意知，0是方程-3x2+2x-m+1=0的根， 故有1-m=0，解得m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)若在定义域内存在实数x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0. (1)判断函数f(x)=是否有漂移点，并说明理由；(4分) 解：假设函数f(x)=有漂移点 x0，则=+2， 即+x0+1=0，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f(x)=没有漂移点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求证：函数f(x)=x2+3x在(0，1)上存在漂移点；(5分) 解：证明：令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3， 所以h(0)=-1，h(1)=5.所以h(0)h(1)<0. 又h(x)在(0，1)上连续， 所以h(x)=0在(0，1)上至少有一个实根x0， 即函数f(x)=x2+3x在(0，1)上存在漂移点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)若函数f(x)=lg在(0，+∞)上有漂移点，求实数a的取值集合.(6分) 解：若f(x)=lg在(0，+∞)上有漂移点x0，所以lg=lg+lg a成立， 即=·a，a>0，整理得a==， 由x0>0，得0<<1，则0<a<1. 则实数a的取值集合是{a|0<a<1}. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $