3.4 函数的应用(一)-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，涵盖一次、二次、分段函数模型，通过实际问题情境导入，以“问题分析—建模—求解—还原”为学习支架，衔接函数概念与性质，引导学生从具体问题中抽象数学模型。 其亮点是采用习题讲评式教学，结合电信收费、海鲜加工等实例，通过“思维建模”总结方法，培养数学眼光（抽象模型）、数学思维（推理运算）、数学语言（符号表达）。学生提升实际问题解决能力，教师可高效开展教学。

3.4 函数的应用(一) [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.体会学习过的一次函数、二次函数、幂函数等一些基本函数模型的广泛运用. 3.体会利用常见的函数模型解决一些简单实际问题的过程与方法. 解决实际问题的具体步骤 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　一次函数模型的应用 题型(二)　二次函数模型的应用 题型(三)　分段函数模型的应用 4 课时检测 题型(一)　一次函数模型的应用 01 [例1]　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； 解：由题图可设y1=k1x+30(k1≠0)，y2=k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1=k1x+30，y2=k2x，得k1=，k2=. ∴y1=x+30(x≥0)，y2=x(x≥0). (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 解：令y1=y2，即x+30=x，则x=90. 当x=90时，y1=y2，两种卡收费一致； 当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜. |思|维|建|模| 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. 针对训练 1.温州瓯(ōu)柑声名远播，某经销商欲将仓库的120吨瓯柑运往A，B两地销售，运往A，B两地的瓯柑(吨)和每吨的运费如表.设仓库运往A地的瓯柑为x吨，且x为整数. 项目 瓯柑(吨) 运费(元/吨) A地 x 20 B地   30 (1)设仓库运往A，B两地的总运费为y元. ①将表格补充完整；②求y关于x的函数表达式； 解：①将表格补充完整为 ②y关于x的函数表达式为y=30(120-x)+20x=-10x+3 600(0≤x≤120，x∈N). 项目 瓯柑(吨) 运费(元/吨) A地 x 20 B地 120-x 30 (2)若仓库运往A地的费用不超过运往A，B两地总费用的，求总运费的最小值. 解：依题意有20x≤(-10x+3 600)，解得x≤. ∵y=-10x+3 600，y随x的增大而减少， 又x是整数且0≤x≤120， ∴当x=51时，ymin=3 090. 因此，总运费的最小值为3 090元. 题型(二)　二次函数模型的应用 02 [例2]　据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点. (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； 解：由题意，设y=a(x-15)2+17.5(a≠0)， 将x=10，y=20代入上式，得20=25a+17.5， 解得a=0.1.所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25). (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润? 解：设月利润为Q(x)，则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25). 所以月产量为23吨时，可获得最大利润为12.9万元. |思|维|建|模|　利用二次函数求最值的方法及注意点 方法 根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题 注意点 取得最值时的自变量与实际意义是否相符 针对训练 2.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y1=-5x2+900x-16 000，y2=300x-2 000，其中x为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为 (　 ) A.11 000元 B.22 000元 C.33 000元 D.40 000元 √ 解析：设两个店分别销售出x与110-x辆电动车，则两店月利润L=-5x2+900x-16 000+300(110-x)-2 000=-5x2+600x+15 000=-5(x-60)2+33 000，所以当x=60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元. 3.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，求这两个正三角形面积之和的最小值. 解：设一段长为x cm，则另一段长为(12-x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2，0<x<12.则S=+=(x-6)2+2，当x=6时，Smin=2. 题型(三)　分段函数模型的应用 03 [例3]　某超市引进A，B两类有机蔬菜.在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，B类有机蔬菜的纯利润为5元/千克.若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，B类蔬菜的亏损为3元/千克.已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完.假设该超市A，B两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货x(x∈N，30≤x≤70)千克，假设A，B类有机蔬菜进货当天可售完的重量均为50千克. (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利f(x)(单位：元)的表达式； 解：当x∈N，30≤x≤50时，f(x)=3x+50×5-3(100-x-50)=6x+100； 当x∈N，50<x≤70时，f(x)=50×3+5×(100-x)-1×(x-50)=700-6x. 故f(x)= (2)若f(x)≥322，求x的取值范围. 解：当x∈N，30≤x≤50时，由6x+100≥322，解得x≥37； 当x∈N，50<x≤70时，由700-6x≥322，解得x≤63. 故x的取值范围是{x∈N|37≤x≤63}. |思|维|建|模| (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 针对训练 4.某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元.甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算. (1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲，y乙与购买台数x之间的函数关系式. 解：由题意，得y甲=y乙=5 100x(x∈N). (2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算? 解：当x≤10时，显然y甲>y乙；当x>10时，令y甲>y乙， 即4 200x+18 000>5 100x，解得x<20. 故当购买的台数小于20台时，应选择乙公司； 当购买的台数超过20台时，应选择甲公司； 当购买的台数为20台时，选择甲、乙公司均可. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 1.若拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)(元)决定，其中m>0，{m}是大于或等于m的最小整数，(如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 (　 ) A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元 √ 解析：由已知得{5.5}=6.由f(m)=1.06·(0.5·{m}+1)，得f(5.5)= 1.06(0.5·{5.5}+1)=1.06×(0.5×6+1)=4.24元，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 2.已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为 (　 ) A.16元 B.18元 C.20元 D.22元 √ 解析：由已知得7小时20分钟按8小时计算，所以停车费为5+(8-3)×3 =20元.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 3.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q=100-5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为 (　 ) A.15元 B.13元 C.11元 D.10元 √ 解析：设每天获利y元，则y=(100-5x)·(x-6)-100=-5(x-13)2+145.由x>0，Q=100-5x≥0，得0<x≤20.故当x=13时，每天获利最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数.若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　 ) A.15 B.40 C.25 D.130 √ 解析：令y=60.若4x=60，则x=15>10，不合题意；若2x+10=60，则x=25，满足题意；若1.5x=60，则x=40<100，不合题意.故拟录用25人. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 5.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用 x小时后血液中的残留量为y毫克，如图为函数 y=f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240 毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为 (　 ) A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：由题图知，当0≤x≤4时，设直线y=ax，把点(4，320)代入得a=80，所以y=80x；当4<x≤20时，设y=f(x)=kx+b，将点(4，320)和(20，0)代入得解得此时y=f(x)=-20x+400.所以f(x)=当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4；当4<x≤20时，令y=-20x+400≥240，解得4<x≤8.所以3≤x≤8.故第二次服药最迟的时间应为8小时后，即下午4：00. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 6.如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距离地面的高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距离地面的高度为 (　 ) A.0.5 m B.0.6 m C.0.7 m D.0.8 m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：若以距离小明较近的那棵树的树根为原点、以水平线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则抛物线的对称轴为x=1.设抛物线方程为y= ax2-2ax+2.5.当x=0.5时，y=0.25a-a+2.5=1，∴a=2，y=2(x-1)2+0.5. ∴绳子的最低点距地面的高度为0.5 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 7.(5分)生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2-75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为_____.  50 解析：设安排生产x台，则获得利润f(x)=25x-y=-x2+100x=-(x-50)2+2 500，故当x=50时，获利润最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 8.(5分)某人开汽车从A地出发，以60 km/h的速度，经2 h到达B地，在B地停留1 h，若汽车离开A地的距离y(单位：km)是时间t(单位：h)的 函数，则该函数的解析式是____________________.  y= 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 9.(5分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过______年.  7 解析：由题图知函数关于直线x=6对称，设y=a(x-6)2+11.又函数过点(4，7)，代入函数解析式，可得a=-1.所以y=-(x-6)2+11.令y≥0，得6-≤ x≤6+，所以有营运利润的时间为2.又6<2<7，故有营运利润的时间不超过7年. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 10.(10分)经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用f(x)表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分)，实验结果表明f(x)与x有如下关系：f(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中?能维持多长时间?(5分) 解：由题意得，当0<x<10时，f(x)=5x+9，此时函数单调递增；当10≤x≤16时，函数f(x)取得最大值，此时f(x)=59；当16<x≤30时，f(x)=-3x+107，此时函数单调递减.所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题?(5分) 解：当0<x<10时，令f(x)≥55，即5x+9≥55，解得9.2≤x<10，集中注意力的时间共10-9.2=0.8(分钟)；当10≤x≤16时，f(x)=59≥55，集中注意力的时间共6分钟；当16<x≤30时，令f(x)≥55，即-3x+107≥55，解得16<x≤，则集中注意力的时间共-16=(分钟).因为0.8+6+= <10，所以不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 11.(15分)牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(5分) 解：根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为，故空闲率为1-.由此可得y=kx(0<x<m). 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)求羊群年增长量的最大值；(5分) 解：由(1)得y=-=-+.即当x=时，y取得最大值. (3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.(5分) 解：由题意知，为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0<x+y<m. 因为当x=时，ymax=，所以0<+<m，解得-2<k<2. 又k>0，所以0<k<2.故k的取值范围为(0，2). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $