26.4　实际问题与二次函数 第1课时　最大高度与几何图形面积问题 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决实际问题，核心为最大高度与几何图形面积最值。通过“12m木料做矩形窗户”情境导入，衔接二次函数性质，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 资料以情境驱动，例1沙包轨迹、例2篱笆围花园等实例，培养抽象能力与模型意识。引导学生用数学眼光观察、思维推理，提升应用能力，为教师提供清晰教学流程，助力高效课堂。

26.4　实际问题与二次函数 第1课时　最大高度与几何图形面积问题 教学目标 1.掌握寻找高度、图形面积问题中的相等关系的方法，并会应用函数关系式求高度与图形面积的最值. 2.会应用二次函数的性质解决实际问题. 3.通过将二次函数的最值的知识灵活运用于实际，让学生体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣. 重点难点 重点：用二次函数的知识分析解决有关高度、面积的实际问题. 难点：通过图形的面积关系建立二次函数的数学模型. 教学过程 情景导入 如图，用12m长的木料，做一个有一条横档的矩形窗户.为了使透进的光线最多，你能帮忙计算出此时的窗户的长、宽应各是多少吗？ 探究新知 探究点一　最大高度问题 【例1】 如图，小明在玩掷沙包游戏，沙包的运动轨迹是条抛物线.在图中建立平面直角坐标系，小明在点O处，沙包在距离地面1.6m处被抛出，在离原点水平距离8m处落地，相关数据如图所示.有下列结论：①沙包运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝－0.1x2＋0.6x＋1.6.②小华跳起时最高能摸到2.1m.若小华距离小明6m，他能在原地接住沙包.③沙包在运动过程中的最大高度为3m.其中正确的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】由图可知，（0，1.6），（1，2.1），（8，0）三点均在抛物线上，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋1.6（a≠0）. 将（1，2.1），（8，0）代入，得解得∴沙包运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝－0.1x2＋0.6x＋1.6，故结论①正确.当x＝6时，y＝－0.1×62＋0.6×6＋1.6＝1.6.∵1.6＜2.1，∴小华能在原地接住沙包，故结论②正确.∵y＝－0.1x2＋0.6x＋1.6＝－0.1（x－3）2＋2.5，∴沙包在离小明水平距离3m处达到最大高度，最大高度为2.5m，故结论③错误. 【答案】C 探究点二　几何图形的最大面积问题 【例2】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边）.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）.求花园面积S的最大值. 【解析】解题思路：①建立面积S关于AB长度x的二次函数；②确定自变量x的取值范围；③在自变量的取值范围内，根据函数的增减性求面积S的最大值. 【解】设AB＝xm，则BC＝（28－x）m. 由题意可知，解得6≤x≤13. 由题意可得S＝AB·BC＝x（28－x）＝－x2＋28x＝－（x－14）2＋196. ∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大， ∴当x＝13时，S取得最大值，S最大值＝195， 即花园面积S的最大值为195m2. 【解题思路】在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，所得到的几何图形的面积也不同.利用二次函数求几何图形的最大（小）面积的一般步骤： （1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求问题相关的量； （2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式，注意自变量的取值范围； （3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值. 课堂训练 1.如图所示的虚线部分为围墙材料，其长度为20m.要使所围的矩形面积最大，长和宽分别为（　　） A.10m，10m　　　　　　　　 B.15m，15m C.16m，4m　　　　　　　　　 D.17m，3m第1题图第2题图 2.图①所示的是甘肃一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，因渭水绕灞陵通长安而得名.如图②，桥拱截面OBA可以看作抛物线y＝－（x－h）2＋k的一部分.已知桥拱内的水面OA宽约24m，则桥拱顶点B到水面的距离约为　　　　m. 3.如图，在一面靠墙的空地上，用长为24m的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃.设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2. （1）求S与x的函数解析式及自变量的取值范围； （2）当x取何值时所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ （3）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积. 板书设计 第1课时　最大高度与几何图形面积问题 解面积问题的一般步骤： （1）表示与面积相关的量； （2）利用面积公式列函数解析式，并进行整理； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用公式求出最值. 当a＞0时，函数有最小值； 当a＜0时，函数有最大值； 当x＝－时，y＝. 课堂小结 本节课我们学习了用图形的面积关系列出函数解析式；并学会了用二次函数的知识解决有关高度和面积的实际问题，学会了利用顶点坐标解决最大值（或最小值）的方法. 教学反思 　　本节课主要讲的是用二次函数性质解决实际问题中的最值问题，课堂上学生可以体会到数学能够广泛应用于生活中的多个领域.通过本节课的学习，学生知道本节课的重点是建立二次函数模型，应用二次函数求实际问题中的最值，进一步培养学生的数学应用意识.在解题中学生应注意：（1）一般地，面积问题中常把面积作为函数，边长作为自变量；（2）确定自变量的取值范围；（3）求最值问题可选用公式法或将函数解析式由一般式化为顶点式. 答案 课堂训练 1.A　2.8 3.解：（1）∵AB＝xm， ∴BC＝（24－4x）m， ∴S＝AB·BC＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0＜x＜6）. （2）由（1）可知S＝－4x2＋24x＝－4（x－3）2＋36. ∵0＜x＜6， ∴当x＝3时，S取最大值，S最大值＝36. 故当x＝3时，所围成的花圃面积最大，最大面积是36m2. （3）由题意，得 ∴4≤x＜6. 又∵当4≤x＜6时，S随x的增大而减小， ∴当x＝4时，S取最大值，S最大值＝32. 故围成花圃的最大面积为32m2. 学科网（北京）股份有限公司 $