26.4　实际问题与二次函数 第2课时　最大利润问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决最大利润问题，通过商品售价调整（涨价、降价）的实际情境导入，引导学生分析价格与利润关系，搭建从二次函数基础到实际应用的学习支架，梳理数量关系到函数模型的构建脉络。 以真实问题驱动教学，通过建筑材料代销例题解析利润计算，培养数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识），课堂训练结合童装销售案例提升数学眼光（抽象能力）。助力学生掌握建模方法，为教师提供清晰流程与实用例题，提升教学效果。

26.4　实际问题与二次函数 第2课时　最大利润问题 教学目标 1.能够根据具体实际问题情境建立二次函数的数学模型，解决最大利润问题. 2.通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式，并体会二次函数的意义，能根据变量的变化趋势进行预测. 3.通过对实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义，建立合作意识和提升探索能力，激发学生对学习数学的兴趣和欲望. 重点难点 重点：用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题. 难点：通过问题中的数量变化关系列出函数解析式、建立二次函数模型. 教学过程 情景导入 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数），每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元.请你帮忙解决：（1）题中调整价格的方式有哪些？（2）如何表示价格和利润之间的关系？（3）如何确定x的取值范围？（4）如何定价才能使每星期的销售利润最大？ 探究新知 探究点　利润最大值问题 【例】经销店为某工厂代销（指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）一种建筑材料.当每吨售价为260元时，月销售量为45t.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加7.5t.综合考虑各种因素，每售出1t建筑材料共需支付厂家及其他费用共100元.设每吨售价为x（单位：元），该经销店的月利润为y（单位：元）. （1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要想获得最大月利润，建筑材料的每吨售价应定为多少元？ （4）嘉琪说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为她的说法对吗？请说明理由. 【解析】本题属于市场营销问题，月利润＝（每吨售价－每吨其他费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚，再用二次函数的性质解决最大利润问题. 【解】（1）由题意，得45＋×7.5＝60（t）. （2）由题意，得y＝（x－100）， 化简，得y＝－x2＋315x－24000. （3）y＝－x2＋315x－24000＝－（x－210）2＋9075. 该经销店要想获得最大月利润，建筑材料的每吨售价应定为210元. （4）我认为嘉琪的说法不对.理由如下： 方法一：当月利润最大时，x＝210. 月销售额W＝x＝－（x－160）2＋19200， ∴当x＝160时，月销售额W最大， ∴当x＝210时，月销售额W不是最大， ∴嘉琪的说法不对. 方法二：当月利润最大时，x＝210，此时，月销售额为210×（45＋×7.5）＝17325（元）； 而当x为200元时，月销售额为200×（45＋×7.5）＝18000（元）. ∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额不是最大， ∴嘉琪的说法不对. 【方法总结】解这类问题的一般步骤： （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 课堂训练 1.某服装店将进价为每件100元的服装按x元/件的价格出售，每天可销售（200－x）件.若想获得最大利润，则x应定为（　　） A.150　 B.160　 C.170　 D.180 2.某服装店购进进价为每件30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于30元，不高于60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件. （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？ （3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 板书设计 第2课时　最大利润问题 1.利润问题. 公式：总利润＝单件利润×数量 2.二次函数的最值. 利用公式求出最值. 当a＞0时，函数有最小值； 当a＜0时，函数有最大值； 当x＝－时，y＝. 课堂小结 本节课我们学习了通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式，并体会了二次函数的意义，会根据变量的变化趋势进行预测. 教学反思 　　通过本节课的学习，学生在情景导入和探究新知中，通过解决实际生活中的利润问题，从而得到解答此类问题的一般方法，学会构建函数模型，明确解答商品经营问题中常用的关系式：销售利润＝（单件售价－单件进价）×销售量.在利用二次函数求实际问题中的最大（小）值时，不一定就是顶点的纵坐标，还要特别注意自变量的取值范围，在自变量的取值范围内结合函数的增减性求最大（小）值. 　　答案 课堂训练 1.A 2.解：（1）由题意，得y＝80＋20×， ∴y＝－2x＋200（30≤x≤60）. （2）由题意，得（x－30）（－2x＋200）－450＝1800， 解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）.故当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元. （3）设每月获得的利润为w元. 由题意，得w＝（x－30）（－2x＋200）－450 ＝－2（x－65）2＋2000. ∵－2＜0，∴当x≤65时，w随x的增大而增大. ∵30≤x≤60，∴当x＝60时，w取得最大值，w最大＝－2×（60－65）2＋2000＝1950. 答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得的利润最大，最大利润是1950元. 学科网（北京）股份有限公司 $