专题10角精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦平面几何入门核心“角”，系统梳理角的静态与动态定义、四种表示方法、度分秒换算、直角平角周角区分、大小比较、和差运算及角平分线等知识点，为相交线、平行线学习筑牢基础，构建知识支架。 资料以“必背”“高频易错”标注强化重点，16类题型（如钟面角、方向角）结合实际培养几何直观与应用意识，解题思路与易错点指导提升运算能力和推理意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题10角精讲学案 核心立意 本节是平面几何的入门核心。理解角的两种定义，熟练掌握角的表示方法、度‑分‑秒换算、角的大小比较、角的和差运算与角平分线；区分直角、平角、周角。为本章后续内容以及相交线、平行线的学习筑牢基础。 角的定义【必背】 ① 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点叫作顶点，两条射线叫作角的两边。 ② 动态定义：一条射线绕它的端点，从一个位置旋转到另一位置形成的图形。旋转开始的射线叫始边，旋转终止的射线叫终边。 ③ 核心性质：角的大小只由两边张开的程度决定，与边的长短无关。角的两边是射线，可以无限延长。 角的四种表示方法【必背 · 高频易错】 ① 三个大写字母：AOB。顶点字母必须写在中间。 ② 一个大写字母：O。仅限顶点处只有一个角时使用。若顶点处有多个角，禁止使用这种写法。 ③ 阿拉伯数字： 1。 ④ 小写希腊字母：。 角的度量与单位换算【必背 · 高频考点】 ① 度量工具：量角器。 ② 单位：度（）、分（'）、秒（''）。 ③ 换算关系：160',1'=60''。六十进制，不是十进制。 ④ 转换方法：度 → 分 → 秒，乘 60；秒 → 分 → 度，除以 60。 直角、平角、周角【必背】 ① 直角：90。 ② 平角：射线旋转至两边成一条直线，1平角=180。平角不是直线，它有顶点和两条边。 ③ 周角：射线旋转一周回到起始位置，1周角=360。周角不是射线，它有两条重合的边。 ④ 数量关系：1周角=2平角=4直角。 角的大小比较【必背】 ① 度量法：用量角器量出两个角的度数，直接比较度数大小。 ② 叠合法：顶点重合，一条边重合，两个角的另一条边放在重合边的同一侧，根据另一边的位置判断大小。 角的和与差【必背 · 高频考点】 ① 若射线 OB 在AOC 的内部： AOC=AOB+BOC AOB=AOC-BOC BOC=AOC-AOB ② 运算规则：度、分、秒分别加减；满 60 向上进 1；不够减时，从上一级借 1 当作 60。 角平分线【必背 · 高频考点】 ① 定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的角平分线。 ② 几何语言：如果 OC 平分AOB，那么 AOC=BOC= AOB,AOB=2AOC=2BOC ③ 关键点：角平分线是射线，不是直线、不是线段。 作一个角等于已知角【拓展】 ① 度量法（教材要求）：量出已知角的度数，画一条射线，用量角器画出度数相等的角。 ② 尺规作图（课外拓展）：只用无刻度直尺、圆规完成作图。 重点辨析 ① 直线没有顶点；平角有顶点、两条边。直线 ≠ 平角。 ② 射线只有一条边；周角有两条重合的边。射线 ≠ 周角。 ③ 单字母表示角有严格限制：顶点处多角时，O 无法区分，严禁使用。 ④ 延长角的两边，只延长射线，不会改变张开程度，角的大小不变。 ⑤ 度‑分‑秒是六十进制，不能用小数点直接拆分。例如 0.330'。 ⑥ 角平分线是射线，不能说成“平分角的线段或直线”。 1. 用三字母表示角时，顶点字母没有放在中间。 2. 顶点处存在多个角，仍用一个大写字母表示角。 3. 将平角等同于直线，将周角等同于射线，忽略顶点。 4. 度、分、秒换算误用十进制，乘除 10。 5. 度分秒加法忘记进位，减法忘记借位。 6. 误认为延长角的两边，可以改变角的大小。 7. 把角平分线当成线段或者直线。 8. 使用角平分线时，漏掉“射线”这一关键条件。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★★ 题型七 角的单位与角度制 ★★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型十四 角平分线的有关计算 ★★★ 题型十五 角 n 等分线的有关计算 ★★★★ 题型十六 尺规作一个角等于已知角 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：角的概念理解 解题思路：①回忆角的静态、动态定义。②抓住两个条件：公共端点、两条射线。③逐一检验选项。④排除把直线、线段当作角的错误选项。 1．如图，小于平角的角共有（    ）    A．11个 B．12个 C．14个 D．15个 【答案】C 【分析】本题考查平角的定义，熟记平角是，数形结合，即可得到答案，熟记平角定义是解决问题的关键． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故选：C． 2．下列说法中正确的是（    ） A．平角就是一条直线 B．小于平角的角是钝角 C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是 【答案】C 【分析】根据平角，周角的概念进行判断即可得． 【详解】解：A、一条射线绕它的端点旋转半周后，两条射线刚好在一条直线上，这个角就是平角，选项说法错误，不符合题意； B、小于平角的角是钝角或直角或锐角，选项说法错误，不符合题意； C、平角的两条边在同一条直线上，选项说法正确，符合题意； D、周角的终边与始边重合，所以周角的度数是，选项说法错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了了平角，周角，解题的关键是掌握平角，周角． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 题型二：角的表示方法 解题思路：①数出顶点处的射线数量。②顶点只有一个角时，可用三字母、单字母、数字、希腊字母表示。③顶点有多个角时，禁止只用一个大写字母。④三字母表示时，顶点字母写在中间。 4．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 【详解】解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 5．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 6．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 题型三：角的分类 解题思路：①熟记各类角的度数范围。②将已知角度与范围对比。③确定角的类别。④注意：90、180 是直角、平角，不是钝角。 7．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 【答案】10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 8．一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点睛】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 9．下列说法中，正确的有________个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 题型四：钟面角 解题思路：①钟面一圈为 360，每大格 30。②记住转速：分针 6/分，时针 0.5/分。③分别算出时针、分针转过的角度。④求角度差。⑤若差大于 180，用 360减去差值，取小角。 10．小张家里的挂钟指向，此时该挂钟的时针与分针所夹的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出钟面每个大格对应的度数，再确定时针与分针的间隔大格数，计算即可得到结果． 【详解】解：∵钟面一圈为，平均分为12个大格， ∴每个大格对应的度数为， ∵时，分针指向6，时针从8点位置向9点方向移动了半个大格，此时时针与分针间隔2个大格加上时针从8点走的角度所对应的大格数，即个大格， ∴时针与分针的夹角为． 11．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．发射时刻，钟面上的分针和时针组成的最小角是_________度． 【答案】 【分析】0时整时针与分针重合，钟面上分针每分钟转动，时针每分钟转动，计算23分钟后两者的转动角度差即可得到最小夹角． 【详解】解：∵钟面一圈为，分针60分钟转完一圈， ∴分针每分钟转动， ∵时针12小时转完一圈，即60分钟转动， ∴时针每分钟转动， ∵0时整时针与分针重合，经过23分钟后，分针转动的总角度为，时针转动的总角度为， ∴两者的夹角为， ∵， ∴分针和时针组成的最小角为． 12．如图，当时钟指向上午时，时针与分针较小的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，先得出 9点整时时针与分针的夹角，再得出分针转动的角度，最后减时针转动的角度即可得出答案． 【详解】解：∵时针与分针的夹角因为时钟一圈为，且被平均分成12个大格， ∴每一个大格的角度为． 在9点整时，时针指向9，分针指向12，它们之间间隔3个大格， ∴此时时针与分针的夹角是． ∵分针转动的角度已知分针每分钟转，从9点整到9点10分经过了10分钟， ∴分针转动的角度为． ∵时针转动的角度因为时针每分钟转0.5°，同样从9点整到9点10分经过了10分钟，所以时针转动的角度为． ∴时，时针与分针较小的夹角是， 故选：D 题型五：方向角的表示 解题思路：①画出十字方向标。②以正北、正南为基准边。③确定东西方向的偏角。④按“北偏东/西、南偏东/西 ××°”书写。⑤45 可简写为东北、西北、东南、西南。 13．如图，射线表示的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查方向角，解题的关键是掌握方向角的定义：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角．据此判断即可． 【详解】解：如图，射线表示的方向是南偏东． 故选：C． 14．如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 【答案】 北偏东 800 【分析】先求出，，得到科技馆在小方家北偏东方向处，即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴科技馆在小方家北偏东方向处． 15．如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】A 【分析】本题考查了方位角．由方位角可得，进而得到，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 的方向是北偏东， 故选：A． 题型六：与方向角有关的计算题 解题思路：①画出方向标，标出观测点。②标注已知角度。③利用正北方向平行，找出相等的角。④用平角、直角求角度和差。⑤列式算出结果。 16．如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 【答案】C 【分析】利用角的和差求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C ． 17．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，． 18．如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把换成，结合图形，角度的和差计算即可求解． 【详解】解：， ∴ ． 题型七：角的单位与角度制 解题思路：①记住换算：1=60'，1'=60''。②度化分、秒：乘 60。③分、秒化度：除以 60。④进位、借位用六十进制，不用十进制。 19．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 20．_______° _______； 【答案】 26 52 【分析】根据1度分，即，1分秒，即进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算． 【详解】． 故答案为：①26，②52． 【点睛】考查了度分秒的换算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 21．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 题型八：角的度数大小比较 解题思路：①统一角度单位。②比较换算后的数值。③用不等号或等号写出结论。 22．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 23．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】取格点E，作射线，则．由图可得，，进而可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则． 由图可得，， ． 24．若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：， 故， 故选C． 题型九：角的比较 解题思路：①选用度量法或叠合法。②度量法：量出两个角的度数，直接比较。③叠合法：顶点重合。④叠合法：一条边重合。⑤叠合法：根据另一边的位置判断大小。 25．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 26．已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 【答案】A 【分析】根据利用叠合法比较角的大小的方法逐项判断即可． 【详解】解：由题意，将的顶点与的顶点重合，边与重合，与在重合边同侧， 射线在的外部， . 27．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 题型十：三角板中角度计算问题 解题思路：①记住三角板角度：30,60,90；45,45,90。②判断目标角是和还是差。③列出算式。④计算结果。 28．如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征判断和的度数，利用角的和差关系求解． 【详解】解：由图可知，， ∴． 29．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 30．将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 题型十一：几何图形中角度计算问题 解题思路：①标注图中已知角度。②找出隐藏的直角、平角。③分析角的和差关系。④关系复杂时，设未知角为 x。⑤列方程。⑥解方程得到角度。 31．如图，已知，， ，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即． 32．如图，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”．若，且射线是的“平衡线”，则的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差．分①，②，③，④四种情况，再根据角的和差进行计算即可得． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“平衡线”， ， ； ②当时，射线是的“平衡线”， ， ∴； ③当时，射线是的“平衡线”， ， 解得； ④当时，射线是的“平衡线”， ， ， 解得； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或 33．如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的数量关系，本题关键是利用角度的倍数关系与和差关系，通过设未知数消元，简化计算过程，进而求出目标角度差． 【详解】解：设． 由，可得． ，且， ． ， ． ， ． ， ． 故选：B 题型十二：角度的四则运算 解题思路：①加法：度、分、秒分别相加，从低位满 60 进位。②减法：度、分、秒分别相减，低位不够就借 1 当 60。③乘法：度、分、秒分别相乘，从低位满 60 进位。④除法：依次除度、分、秒，余数转化为下一级单位。⑤按要求保留精度。 34．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的加法运算，熟练掌握度分秒之间“满60进1”的换算规则是解题的关键．度、分、秒分别相加，满60向高一级单位进1． 【详解】解： ， 故答案为：． 35．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算与角度运算，依据的换算关系，对每个选项逐一计算验证即可． 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：，故D正确； 故选：D． 36．_____；__________；_______________；_______________． 【答案】 114 25 28 51 36 158 46 40 【分析】根据，逐个计算即可解答．注意：高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【详解】解： ； ； ； ， 故答案为：；114；25；28；51；36；158；46；40． 【点睛】此题主要考查了度、分、秒的换算，此类题是进行度、分、秒的加、减、乘、除计算，注意以60为进制即可． 37．已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可． 【详解】解：当射线在内部时，   ； 当射线在外部时，   ． 的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论． 题型十三：实际问题中角度计算问题 解题思路：①画出几何示意图。②标注已知点、线、角度。③把文字条件转化为数学条件。④寻找直角、平角、等角关系。⑤利用和差或者方程求解。 38．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 【答案】A 【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．　 【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°， 所以入射光线与反射光线的夹角是100° ． 入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°， 此时入射光线与反射光线的夹角为60°． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°． 故选：A． 【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键． 39．如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝_____度． 【答案】85 【分析】利用方位角、角度和差的性质计算，即可完成求解． 【详解】∵OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向 ∴∠AOB＝180°-41°-54°＝85° 故答案是：85． 【点睛】本题考查了角度的知识；解题的关键是熟练掌握方位角、角度和差的性质，从而完成求解． 40．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 题型十四：角平分线的有关计算 解题思路：①标出角平分线分出的两个等角。②写出数量关系：AOC=BOC=AOB。③梳理各个角的和差关系。④复杂问题设未知数 x。⑤列方程求解。⑥不确定射线位置时，分类讨论。 41．如图，O是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键．先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 42．一副三角尺如图所示叠放，已知，，，平分，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和与差．根据角平分线的定义可知，再根据求出结果． 【详解】解：，平分， ， ， ． 故答案为：． 43．如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，掌握角的计算，角平分线定义是解题的关键． 根据题意，可设，由，即可得出，求出x的值，即可得出的度数，进而得出的度数，再根据平分平分，由角平分线定义可得出：，，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 又∵平分平分， ∴，， ∴． 故选：A． 题型十五：角 n 等分线的有关计算 解题思路：①理解 n 等分就是平均分成 n 份。②单份角度 = 原角度 n。③数出所求角包含的份数。④单份角度乘份数得到结果。⑤留意射线的多种位置。⑥多解时分类计算。 44．，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 45．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______． 【答案】或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，注意分类讨论． 分情况讨论，即或时，分别讨论即可． 【详解】解：根据射线是的三等分线，可分情况讨论， 如图，当时， ， ， 如图，当时， ， ， 故答案为：或． 46．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 题型十六：尺规作一个角等于已知角 解题思路：①画一条射线作为新角的一边。②以已知角顶点为圆心画弧，交两边于两点。③以新射线端点为圆心，相同半径画弧。④截取弧长，确定第二个交点。⑤过交点画出第二条射线。⑥得到所作的角。 47．下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出，使 B．用三角板画出，使 C．用三角板画 D．借助没有刻度的直尺和圆规作，使 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图的定义，根据尺规作图是指仅借助没有刻度的直尺和圆规完成的作图，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A选项用量角器作图，不符合尺规作图定义； B选项用三角板作图，不符合尺规作图定义； C选项用三角板作图，不符合尺规作图定义； D选项借助没有刻度的直尺和圆规作角，符合尺规作图定义． 故选：D． 48．用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线；②以点为圆心，以为半径画弧交于点；③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；④过点作射线，即为所求作的角；⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点．则下列排序正确的是（   ） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角的步骤，熟练掌握尺规作图的基本原理和顺序是解题的关键． 先回忆尺规作一个角等于已知角的完整步骤，再对照题目给出的五个步骤进行逻辑排序． 【详解】解：①作射线； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点； ④过点作射线，即为所求作的角． ∴正确排序为：①③②⑤④， 故选：． 49．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故B选项正确； ∴， ∴，，故选项A、D正确； ∵，，而和的关系不确定， ∴和的关系不确定，故C选项错误． 解答题 1．度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 2．一副三角板（含、、、角）可以作为测量工具，利用它们已有角度进行的组合与分割可以测量更多的角度．若与均是可用三角板通过组合或分割测量的角，且满足（为正整数）． 根据上述规定完成下面问题： (1)若，则___________； (2)若，求的度数和的值，并在虚框中画出（可利用三角板的组合或分割方式画出）； (3)列出的所有可能值，及其对应的度数． 【答案】(1) (2)，；可由画出 (3)时；时；时；时 【分析】本题考查角度的和差计算，关键是利用三角板的基础角度()及其和差得到的整数倍角度，结合方程思想求解角度与参数． （1）直接代入已知角度，通过等式计算未知角度； （2）代入已知角度解方程求未知角度，再求比例系数，并说明角度的画法； （3）通过等式变形得到角度与的表达式，结合三角板角度的特征(的整数倍)，分析的所有可能值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，且， ∴，解得． 又∵， ∴． 如图，可通过三角板的角减去角得到： （3）解：∵，且， ∴，∴． ∵与均为三角板通过组合或分割测量的角(即角度为的整数倍)，且为正整数， ∴必须是的整数倍． 设(为正整数)，则，∴． ∵为正整数，∴，即． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 综上，的所有可能值为，对应的度数分别为． 3．如图，轮船在灯塔的北偏东的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上． (1)求从灯塔看两轮船的视角（即）为多少度？ (2)若轮船在的角平分线上，通过计算说明轮船在灯塔的什么方位？ 【答案】(1) (2)北偏东的方向 【分析】本题考查方位角的概念，角的和差计算，角平分线的定义，准确转换方位角是解题关键． （1）利用南北方向线构建平角，通过平角减去两个已知方位角，直接求出两轮船间的视角； （2）先由角平分线求出平分后的角，再与已知的北偏东角度相加，从而确定新的方位角． 【详解】（1）解：由题可知：，， 故． 答：． （2）解：由（1）可得：， 平分， ， ． 答：轮船在灯塔的北偏东的方向上． 4．若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有关角的计算，明确题意，准得到角与角之间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据题意可得，再由“幸运角”的定义可得，即可求解； （2）根据补角的性质可得：，再由“幸运角”的定义可得，然后根据，可得，即可求解； 【详解】（1）， ， 与互为“幸运角”， ， ， （2）与互补， ， 与互为“幸运角”， ， ， 射线在内部，且满足， ， ， ， 。 5．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10角精讲学案 核心立意 本节是平面几何的入门核心。理解角的两种定义，熟练掌握角的表示方法、度‑分‑秒换算、角的大小比较、角的和差运算与角平分线；区分直角、平角、周角。为本章后续内容以及相交线、平行线的学习筑牢基础。 角的定义【必背】 ① 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点叫作顶点，两条射线叫作角的两边。 ② 动态定义：一条射线绕它的端点，从一个位置旋转到另一位置形成的图形。旋转开始的射线叫始边，旋转终止的射线叫终边。 ③ 核心性质：角的大小只由两边张开的程度决定，与边的长短无关。角的两边是射线，可以无限延长。 角的四种表示方法【必背 · 高频易错】 ① 三个大写字母：AOB。顶点字母必须写在中间。 ② 一个大写字母：O。仅限顶点处只有一个角时使用。若顶点处有多个角，禁止使用这种写法。 ③ 阿拉伯数字： 1。 ④ 小写希腊字母：。 角的度量与单位换算【必背 · 高频考点】 ① 度量工具：量角器。 ② 单位：度（）、分（'）、秒（''）。 ③ 换算关系：160',1'=60''。六十进制，不是十进制。 ④ 转换方法：度 → 分 → 秒，乘 60；秒 → 分 → 度，除以 60。 直角、平角、周角【必背】 ① 直角：90。 ② 平角：射线旋转至两边成一条直线，1平角=180。平角不是直线，它有顶点和两条边。 ③ 周角：射线旋转一周回到起始位置，1周角=360。周角不是射线，它有两条重合的边。 ④ 数量关系：1周角=2平角=4直角。 角的大小比较【必背】 ① 度量法：用量角器量出两个角的度数，直接比较度数大小。 ② 叠合法：顶点重合，一条边重合，两个角的另一条边放在重合边的同一侧，根据另一边的位置判断大小。 角的和与差【必背 · 高频考点】 ① 若射线 OB 在AOC 的内部： AOC=AOB+BOC AOB=AOC-BOC BOC=AOC-AOB ② 运算规则：度、分、秒分别加减；满 60 向上进 1；不够减时，从上一级借 1 当作 60。 角平分线【必背 · 高频考点】 ① 定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的角平分线。 ② 几何语言：如果 OC 平分AOB，那么 AOC=BOC= AOB,AOB=2AOC=2BOC ③ 关键点：角平分线是射线，不是直线、不是线段。 作一个角等于已知角【拓展】 ① 度量法（教材要求）：量出已知角的度数，画一条射线，用量角器画出度数相等的角。 ② 尺规作图（课外拓展）：只用无刻度直尺、圆规完成作图。 重点辨析 ① 直线没有顶点；平角有顶点、两条边。直线 ≠ 平角。 ② 射线只有一条边；周角有两条重合的边。射线 ≠ 周角。 ③ 单字母表示角有严格限制：顶点处多角时，O 无法区分，严禁使用。 ④ 延长角的两边，只延长射线，不会改变张开程度，角的大小不变。 ⑤ 度‑分‑秒是六十进制，不能用小数点直接拆分。例如 0.330'。 ⑥ 角平分线是射线，不能说成“平分角的线段或直线”。 1. 用三字母表示角时，顶点字母没有放在中间。 2. 顶点处存在多个角，仍用一个大写字母表示角。 3. 将平角等同于直线，将周角等同于射线，忽略顶点。 4. 度、分、秒换算误用十进制，乘除 10。 5. 度分秒加法忘记进位，减法忘记借位。 6. 误认为延长角的两边，可以改变角的大小。 7. 把角平分线当成线段或者直线。 8. 使用角平分线时，漏掉“射线”这一关键条件。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★★ 题型七 角的单位与角度制 ★★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型十四 角平分线的有关计算 ★★★ 题型十五 角 n 等分线的有关计算 ★★★★ 题型十六 尺规作一个角等于已知角 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：角的概念理解 解题思路：①回忆角的静态、动态定义。②抓住两个条件：公共端点、两条射线。③逐一检验选项。④排除把直线、线段当作角的错误选项。 1．如图，小于平角的角共有（    ）    A．11个 B．12个 C．14个 D．15个 2．下列说法中正确的是（    ） A．平角就是一条直线 B．小于平角的角是钝角 C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 题型二：角的表示方法 解题思路：①数出顶点处的射线数量。②顶点只有一个角时，可用三字母、单字母、数字、希腊字母表示。③顶点有多个角时，禁止只用一个大写字母。④三字母表示时，顶点字母写在中间。 4．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 5．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 6．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 题型三：角的分类 解题思路：①熟记各类角的度数范围。②将已知角度与范围对比。③确定角的类别。④注意：90、180 是直角、平角，不是钝角。 7．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 8．一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 9．下列说法中，正确的有________个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 题型四：钟面角 解题思路：①钟面一圈为 360，每大格 30。②记住转速：分针 6/分，时针 0.5/分。③分别算出时针、分针转过的角度。④求角度差。⑤若差大于 180，用 360减去差值，取小角。 10．小张家里的挂钟指向，此时该挂钟的时针与分针所夹的角是（   ） A． B． C． D． 11．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．发射时刻，钟面上的分针和时针组成的最小角是_________度． 12．如图，当时钟指向上午时，时针与分针较小的夹角是（   ） A． B． C． D． 题型五：方向角的表示 解题思路：①画出十字方向标。②以正北、正南为基准边。③确定东西方向的偏角。④按“北偏东/西、南偏东/西 ××°”书写。⑤45 可简写为东北、西北、东南、西南。 13．如图，射线表示的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 14．如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 15．如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 题型六：与方向角有关的计算题 解题思路：①画出方向标，标出观测点。②标注已知角度。③利用正北方向平行，找出相等的角。④用平角、直角求角度和差。⑤列式算出结果。 16．如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 17．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 18．如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型七：角的单位与角度制 解题思路：①记住换算：1=60'，1'=60''。②度化分、秒：乘 60。③分、秒化度：除以 60。④进位、借位用六十进制，不用十进制。 19．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 20．_______° _______； 21．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型八：角的度数大小比较 解题思路：①统一角度单位。②比较换算后的数值。③用不等号或等号写出结论。 22．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 23．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 24．若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 题型九：角的比较 解题思路：①选用度量法或叠合法。②度量法：量出两个角的度数，直接比较。③叠合法：顶点重合。④叠合法：一条边重合。⑤叠合法：根据另一边的位置判断大小。 25．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 26．已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 27．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 题型十：三角板中角度计算问题 解题思路：①记住三角板角度：30,60,90；45,45,90。②判断目标角是和还是差。③列出算式。④计算结果。 28．如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 29．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 30．将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 题型十一：几何图形中角度计算问题 解题思路：①标注图中已知角度。②找出隐藏的直角、平角。③分析角的和差关系。④关系复杂时，设未知角为 x。⑤列方程。⑥解方程得到角度。 31．如图，已知，， ，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 32．如图，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”．若，且射线是的“平衡线”，则的度数为___________． 33．如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（   ） A． B． C． D． 题型十二：角度的四则运算 解题思路：①加法：度、分、秒分别相加，从低位满 60 进位。②减法：度、分、秒分别相减，低位不够就借 1 当 60。③乘法：度、分、秒分别相乘，从低位满 60 进位。④除法：依次除度、分、秒，余数转化为下一级单位。⑤按要求保留精度。 34．计算：______． 35．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 36．_____；__________；_______________；_______________． 37．已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 题型十三：实际问题中角度计算问题 解题思路：①画出几何示意图。②标注已知点、线、角度。③把文字条件转化为数学条件。④寻找直角、平角、等角关系。⑤利用和差或者方程求解。 38．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 39．如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝_____度． 40．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 题型十四：角平分线的有关计算 解题思路：①标出角平分线分出的两个等角。②写出数量关系：AOC=BOC=AOB。③梳理各个角的和差关系。④复杂问题设未知数 x。⑤列方程求解。⑥不确定射线位置时，分类讨论。 41．如图，O是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 42．一副三角尺如图所示叠放，已知，，，平分，则_____． 43．如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型十五：角 n 等分线的有关计算 解题思路：①理解 n 等分就是平均分成 n 份。②单份角度 = 原角度 n。③数出所求角包含的份数。④单份角度乘份数得到结果。⑤留意射线的多种位置。⑥多解时分类计算。 44．，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 45．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______． 46．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 题型十六：尺规作一个角等于已知角 解题思路：①画一条射线作为新角的一边。②以已知角顶点为圆心画弧，交两边于两点。③以新射线端点为圆心，相同半径画弧。④截取弧长，确定第二个交点。⑤过交点画出第二条射线。⑥得到所作的角。 47．下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出，使 B．用三角板画出，使 C．用三角板画 D．借助没有刻度的直尺和圆规作，使 48．用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线；②以点为圆心，以为半径画弧交于点；③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；④过点作射线，即为所求作的角；⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点．则下列排序正确的是（   ） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 49．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 2．一副三角板（含、、、角）可以作为测量工具，利用它们已有角度进行的组合与分割可以测量更多的角度．若与均是可用三角板通过组合或分割测量的角，且满足（为正整数）． 根据上述规定完成下面问题： (1)若，则___________； (2)若，求的度数和的值，并在虚框中画出（可利用三角板的组合或分割方式画出）； (3)列出的所有可能值，及其对应的度数． 3．如图，轮船在灯塔的北偏东的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上． (1)求从灯塔看两轮船的视角（即）为多少度？ (2)若轮船在的角平分线上，通过计算说明轮船在灯塔的什么方位？ 4．若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 5．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $