三角函数中有关w的求解 教学设计-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦三角函数中参数ω的求解，覆盖对称轴、单调区间、最值存在性、零点个数四大高频考点，以换元法为核心构建统一解题框架。通过“导—学—议—展—讲—检”六环节，结合典型例题与变式训练，帮助学生系统掌握转化策略，突破含参问题难点。 教案突出整体换元与数形结合思想，通过动态观察正弦函数区间图象（如例3判断最值点覆盖）培养直观想象，在零点问题分类讨论中发展逻辑推理。设置例题变式即时巩固，分层训练确保针对性，助力学生高效构建解题模型，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

三角函数中有关w的求解（解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 例1．已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性可得出，解出的表达式，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】因为函数图象的一条对称轴是， 则，解得， 当时，， 因为函数在上有且仅有两个对称中心，则，解得， 故，所以， . 故选：B. 变式1．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用整体代入法，求出当时，范围，由正弦函数图象特征确定满足的临界条件，解不等式即可求解. 【详解】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图： 故必满足，解得. 故选：A 例2．已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设有，进而求得、，再求函数值. 【详解】由题设或，， 所以或，则（舍）或， 所以，，又，则， 所以，故. 故选：A 变式2．已知函数在上单调，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点及单调性得周期，求得，然后由零点求出后再求值． 【详解】法一：∵在上单调，且，注意， ∴，则， ，，∵，∴ ∴，． 故选：D. 法二：在上单调，且，注意. 因为在上单调，所以，又因为，所以，故。同上。 【点睛】本题考查由函数性质求函数解析式，解题关键是确定函数的周期． 例3．已知函数在区间上存在最大值和最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化相位为整体变量，再结合正弦曲线，根据题意可得到不等式求范围. 【详解】因为，，所以． 画出的图象，如图．    由图，得或，解得或． 故选:C． 变式3．已知函数，的值域为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由的取值范围，求得的取值范围，结合函数的值域，求得的取值范围. 【详解】由于，所以，由于，所以，解得.故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数值域，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题. 例4．设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得从左到右的零点依次为：，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 令，即或， 解得的正零点为或， 所以函数从左到右的零点依次为：， 为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 变式4．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简得到，由，得到，由函数零点个数列出不等式组，求出的取值范围. 【详解】法一：因为， 所以 ， 因为，所以， 因为在上恰有3个零点， 所以，解得． 故选：B． 法二：令. ，注意. 由得或，即或，故或. 因为在上恰有3个零点，,解得． 试卷第1页（共3页） 答案第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三专题复习 三角函数中有关的求解   一、教学内容 本节课为高三数学二轮专题复习课，聚焦三角函数中参数的求解问题. 主要内容包括： 1. 核心方法：通过换元法将含的三角函数问题转化为正弦函数的图象与性质问题，利用方程或不等式求解的取值范围或具体值. 2. 题型覆盖：对称轴（中心）个数问题、单调区间问题、最值存在性问题、零点个数问题四大类高频考点. 3. 思想渗透：整体代换思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 本节课以“导—学—议—展—讲—检”六环节模式组织教学，精选四道典型例题及对应变式，由浅入深，引导学生从“列方程或不等式”这一含参问题共性出发，系统掌握的求解策略.   二、学情分析 1. 知识基础：学生已系统学习三角函数的图象与性质（定义域、值域、周期性、对称性、单调性等），对的图象变换有基本认识，具备初步的含参问题处理能力. 2. 能力现状： (1) 优势：学生对正弦函数的基本图象与性质掌握较好，能独立完成常规三角函数题目. (2) 不足：当以参数形式出现在函数解析式中时，学生往往思维定势于“解出” ，而未能建立“将整体换元为，进而利用图象列式”的转化意识；面对不同题型时，缺乏统一的解题框架统领，容易陷入机械套公式. 3. 心理特点：高三二轮复习阶段，学生已具有一定的综合解题能力，但面对含参问题往往信心不足. 学生对专题化、方法化的复习有较高期待，适当的方法提炼和规律总结能有效激发其学习成就感.   三、教学目标 1. 数学抽象 (1) 能从具体的三角函数解析式中抽象出“换元法”这一数学工具，将含的问题转化为标准的函数模型； (2) 能抽象概括出含参问题的本质——“列出方程或不等式”，体会“变中寻不变”的抽象思维过程. 2. 逻辑推理 (1) 能根据题目条件（对称性、单调性、最值、零点个数等）进行合理推理，准确列出关于的方程或不等式； (2) 能对“恰有”“存在”“唯一”等关键词进行逻辑辨析，判断不等式端点的取等情形； (3) 在零点问题的分类讨论中，能根据两个三角函数零点的位置关系进行有条理的演绎推理. 3. 数学建模 (1) 能将不同背景下的三角函数含参问题（对称中心、对称轴、单调区间、最值存在性、零点个数等）统一纳入“换元→利用图象列式求解”的模型框架中； (2) 能建立“区间长度”与“半个周期”之间的数量关系模型，用于快速判断对称轴（中心）的个数. 4. 直观想象 (1) 能借助正弦函数的图象，直观感知变化对函数图象的影响，将代数条件转化为图象上的位置关系； (2) 能在“区间内最高（低）点能否取到”“零点何时进入区间”等问题中，借助动态图象直观确定临界位置，辅助列式求解； (3) 在变式3最值存在性问题中，能通过整体换元后观察区间内曲线段覆盖范围，建立直观判断依据. 5. 数学运算 (1) 能熟练进行换元运算，准确将的范围转化为的范围； (2) 能正确求解含的不等式（组），并处理端点取值问题； (3) 能在零点问题中，通过解三角方程准确求出零点的表达式，并进行不等式的精确求解. 6. 数据分析 (1) 能从题目给出的对称轴数值、零点数值中识别重复数字及其结构特征，提取与周期相关的关键信息； (2) 能从多道例题及变式的对比中，归纳出不同题型下列式的共性规律与差异性策略； (3) 能对变式3中值域为特定区间（如）时范围的临界数据进行精确分析.   四、教学重难点 教学重点： 1. 运用换元法将含的三角函数问题转化为的基本问题； 2. 利用正弦函数图象列出关于的方程或不等式； 3. 归纳不同题型（对称性、单调性、最值、零点）下列式的共性与差异. 教学难点： 1. 换元后“的范围”与“的范围”之间的对应关系（即的位置从函数解析式迁移到区间上的变化）； 2. 根据题目中“恰有”“存在”“唯一”等关键限定词，准确把握临界条件，正确列出不等式端点的取等号问题； 3. 零点问题中，当函数可化为两个三角函数之和（差）时，两个三角函数零点间的对应与合并处理.   五、教学过程 （1） 导入课题、点明方向 本节课我们聚焦三角函数中有关的求解问题. 含问题的本质是含参问题，在不同的知识框架下均有体现——导数中含参讨论、圆锥曲线中由位置关系确定参数、三角函数中、的求解，其本质均为含参问题. 由此可提炼出含参问题的核心策略：列出方程或不等式，将条件转化为关于参数的数学结构，从而完成求解. 设计意图：引导学生从“含参问题”这一更高视角审视本节课的学习内容，明确解题的通用策略——列方程或不等式，为后续具体题型的探究提供统一的认知起点. （2） 学生展示、教师讲解 以下通过四道典型例题及对应变式，由浅入深，逐步积累解题经验，总结方法规律. 1. 对称性背景下的求解——整体换元，图象列式 学生展示并讲解： 例1．已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性可得出，解出的表达式，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】因为函数图象的一条对称轴是， 则，解得， 当时，， 因为函数在上有且仅有两个对称中心，则，解得， 故，所以， . 故选：B. 教师点评：学生通过例1的讲解，引出了本节课的核心解题思路——联系角与自变量，联系角与函数值. 具体操作体现为“令，则的取值范围由的范围确定”. 在此过程中有“变”与“不变”：变化的是——作为整体变量，从函数解析式中“迁移”到了区间表示之中；不变的是——无论形式如何变化，最终都回归到利用的图象来解决问题. 这一“变中寻不变”的思路贯穿全课. 学生练习并展示： 变式1．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用整体代入法，求出当时，范围，由正弦函数图象特征确定满足的临界条件，解不等式即可求解. 【详解】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图： 故必满足，解得. 故选：A 设计意图：通过例1及变式1，让学生初步体验“整体换元→借助正弦函数图象列式”的操作流程. 例1侧重已知对称轴求解析式（列方程），变式1侧重对称轴与对称中心同时出现时列不等式组求范围，两者共同帮助学生建立对称性背景下求解的基本思路，渗透数学抽象与直观想象素养. 2. 单调性背景下的求解——捕捉重复数字，发现隐含条件 学生展示并讲解： 例2．已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设有，进而求得、，再求函数值. 【详解】由题设或，， 所以或，则（舍）或， 所以，，又，则， 所以，故. 故选：A 教师点评：本例引导学生关注题目中重复出现的数字. 观察到在条件中反复出现，应联想到它可能对应正弦函数图象上的对称位置（如同一周期内的对称轴或对称点）. 由于与的图象横向比例保持不变（周期不变），重复数字的出现往往暗示了对称轴的位置. 以此为突破口，可顺利求出关键信息，进而完成后续求解. 因此，审题时需敏锐捕捉重复出现的数值，思考其几何意义. 学生练习并展示： 变式2．已知函数在上单调，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点及单调性得周期，求得，然后由零点求出后再求值． 【详解】法一：∵在上单调，且，注意， ∴，则， ，，∵，∴ ∴，． 故选：D. 法二：在上单调，且，注意. 因为在上单调，所以，又因为，所以，故. 同上. 【点睛】本题考查由函数性质求函数解析式，解题关键是确定函数的周期． 教师点评：变式2从另一角度展示了数字间的运算联系——求均值（两零点或两对称轴的中点）与作差（半周期）都有明确的结构结论. 关键在于从已知数值中识别出“对称中心”或“对称轴”的位置，进而利用均值确定相位、利用差值确定半周期. 这提示我们：做题时不仅要看数字本身，更要关注数字之间的运算关系，往往隐藏着周期的关键信息. 设计意图：例2及变式2侧重培养学生的数据分析与逻辑推理素养——从重复数值和运算关系中提取隐含的对称信息，建立周期与之间的方程. 同时让学生体会：同一类问题可从不同角度切入（对称轴角度、零点均值角度），解法灵活但核心一致——列方程. 3. 最值存在性背景下的求解——动态观察，整体把握 学生展示并讲解： 例3．已知函数在区间上存在最大值和最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化相位为整体变量，再结合正弦曲线，根据题意可得到不等式求范围. 【详解】因为，，所以． 画出的图象，如图．    由图，得或，解得或． 故选:C． 教师点评：例3通过换元将问题转化为对正弦函数在区间上图象的观察. 解题时需要运用动态思维——想象函数图象（或区间）从起点出发逐渐向右平移，关注区间内是否包含图象的最高点（取到最大值）和最低点（取到最小值），尤其要注意最高、最低点是否在区间内（即“实心”，能取到）. 因此，解决此类问题要建立整体观念——将目光聚焦于左右端点之间整段曲线，判断其是否覆盖了最大值点和最小值点对应的自变量位置. 学生练习并展示： 变式3．已知函数，的值域为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由的取值范围，求得的取值范围，结合函数的值域，求得的取值范围. 【详解】由于，所以，由于，所以，解得.故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数值域，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题. 设计意图：例3及变式3重点发展学生的直观想象素养——借助图象动态观察区间内曲线段是否覆盖最值点. 同时引导学生从“整体覆盖”的角度思考问题，避免局部细节干扰，建立“区间长度决定值域能否取全”的几何直觉. 4. 零点个数背景下的求解——化归统一，分层计数 学生展示并讲解： 例4．设，已知函数在区间恰有6个零点，则$\omega$的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得从左到右的零点依次为：，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 令，即或， 解得的正零点为或， 所以函数从左到右的零点依次为：， 为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 教师点评：例4的核心策略是将函数变形为两个熟悉的三角函数之差（或和），将问题转化为两个三角函数零点个数的叠加. 具体操作是：分别求出两个函数的所有正零点，按从小到大排序，再根据题目要求的零点总数，确定右端点应落在哪两个相邻零点之间（即“第6个零点和第7个零点之间”）. 这体现了一种化归与计数的思想——将复合零点问题拆解为基本零点问题的组合，再通过排序统一计数. 学生练习并展示： 变式4．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简得到，由，得到，由函数零点个数列出不等式组，求出的取值范围. 【详解】法一：因为， 所以 ， 因为，所以， 因为在上恰有3个零点， 所以，解得． 故选：B． 法二：令. ，注意. 由得或，即或，故或. 因为在上恰有3个零点，,解得． 教师点评：（法二）进一步展示了角与角之间的运算联系在零点问题中的关键作用. 将两个三角函数的零点统一到“角. ”的框架下，两个零点序列合并后恰好对应的等间隔分布（如 ）. 这种合并统一的策略，避免了分别计数再相加的繁琐，使列式更为简洁. 这提示我们：当函数可化为多个三角函数之和（差）时，关注角与角之间的运算关系，往往能找到统一的零点序列，实现一步列式. 设计意图：例4及变式4侧重培养学生数学运算与逻辑推理素养——通过三角恒等变换将复杂函数分解为基本三角函数，再将零点合并统一计数. 同时让学生体会“化归”的力量：将不熟悉的问题转化为熟悉的基本问题，是解决复杂零点问题的有效路径. （3） 课堂小结 教师引导学生结合板书，回顾本节课所学内容，形成如下知识结构： 核心问题：含参（）问题 → 列方程或不等式. 核心方法：换元法 → 借助 的图象分析. 核心认知：变的是的位置（从解析式迁移到区间），不变的是始终利用的图象统一求解. 四个题型：对称性、单调性、最值存在性、零点个数——背景各异，方法归一. 引导学生课后对照笔记自主梳理，进一步内化本节课所构建的解题框架.   六、板书设计 三角函数中有关的求解 1.问题：含参→列方程/不等式 2.思路： 例：令 则 变化：的位置：函数→区间 不变：的图象 3. 注意 (1) 题目关联：重复数字/运算联系 (2) 整体观念：关注左右端点间的曲线段 (3) 重根错配：关注两个三角函数图象点的对应关系   七、教学反思 （1） 优点 1． 专题聚焦，方法统领：本节课以“含参问题→列方程或不等式”为统领线索，将四类不同题型统一在换元法框架下，有效帮助学生建立了结构化的解题认知。从课堂反馈看，学生能主动说出“遇到ω问题先换元、再看图象”这一核心策略，说明方法提炼产生了实际效果。 2． 学生主体，活动充分：四道例题均由学生自主讲解、变式由学生板演展示，教师以点评补充的方式介入，“讲”环节控制在关键处点拨，未重复学生已表达清楚的内容，体现了“六环节”中“展”与“讲”的有机结合。课堂气氛活跃，参与面广，多位平时较为沉默的学生在本节课上也积极举手回答。 3． 变式跟进，即时巩固：每道例题后均配有对应变式练习，当堂完成并展示，实现了“学以致用、即学即评”的闭环。从当堂检测的正确率来看，学生对前三类题型的掌握程度较好，零点问题因综合性较强，部分学生仍需课后进一步消化。 4． 思想渗透，素养落地：本节课在换元法、数形结合、转化化归等思想方法的渗透上较为自然。六大核心素养中，“直观想象”通过图象分析得以充分落实，“数学抽象”通过“变中寻不变”的提炼得以体现，“逻辑推理”在零点问题的分类讨论中得到训练。 （2） 不足与改进 1． “议”的环节有所弱化：本节课虽然设置了学生展示和变式练习，但小组讨论（“议”）的时间偏少，学生之间的互动交流不够充分。课堂主要以师生对话的形式推进，生生对话的深度有待加强。建议在变式练习环节，先安排2-3分钟的同桌互议或小组交流，再由学生展示，使“议”真正成为“展”的前置环节。 2． 知识根源的点明可以更突出：正如反思中提到的，本节课对“与周期的内在联系”（）的强调不够。在例2单调性问题中，若能先引导学生回顾“正弦函数一个单调区间长度为半个周期”，再自然引出“/区间长度”的结论，学生对方程来源的理解会更通透。建议将此“源头”置于导入之后、例题之前，作为本节课的第一块理论基石来呈现。 （3） 总结 本节课基本达成了预设的教学目标，学生通过四类题型的探究，初步建立了“换元→利用图象→列方程或不等式”的统一解题框架，核心素养的渗透在各环节中有所体现。后续教学中，将在小组合作（“议”）、知识根源铺垫、时间精准把控等方面持续优化，进一步提升课堂效率与学生获得感。 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数中有关w的求解 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 例1．已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2．已知函数在上单调，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数在区间上存在最大值和最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．已知函数，的值域为，则的取值范围是 A． B． C． D． 例4．设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $