专题5第2章有理数运算中压轴题专题2——数轴上的问题 【专题训练+难点突破+分层精练+思维拓展】 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦数轴压轴问题，以点的运动、图形变换、动态相遇为主线，构建从基础操作到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点的平移|2题|含方向与距离的分步运动计算|基于数轴基本性质，构建数与形的对应关系| |中点与折叠|5题|对称点确定、中点公式应用|延伸至图形变换，强化对称思想与方程计算| |规律运动|2题|周期性运动、中点跳动规律|结合数列规律，提升抽象与推理能力| |图形平移/滚动|4题|长方形、圆、正方形滚动与数轴对应|整合几何图形性质，发展空间观念| |相遇追击及分类讨论|4题|动态点的追及、相遇及距离分类|运用方程思想解决运动问题，培养分类意识| |和差倍分与方程思想|2题|线段关系与新定义问题|深化代数模型构建，提升综合应用能力|

专题5 第2章有理数运算中压轴题专题2——数轴上的问题 类型一 数轴上点的平移 1．将数轴上一点A沿数轴向左平移7单位到点B，再由B向右平移6个单位到点C，而C为数轴上表示2的点，则点A表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点的位置如图②． (1)第____________次按键后，点所在的位置正好是原点； (2)第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是多少？ 类型二 数轴上的中点与数轴的折叠 3．已知点A、B在数轴上对应的数为5和9，点C对应的数为c．点A关于点B的对称点为D，点E为线段的中点，当时，C的值为（    ） A．或11 B．或29 C．29 D．11 4．如图，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B表示的数互为相反数，数轴的单位长度为1，则图中点C对应的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．阅读材料，回答下列问题： 平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____________． A．B．C．D． ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是_____________． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2025的点与表示__________的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2026（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则点表示_________，点表示_________． 6．根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：_____，B：_____； (2)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数_____表示的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：_____，N：_____． (4)如图在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点(不与A、B重合)，以点C为折点，将此数轴向右对折，且线段，则C点表示的数是______． 类型三 数轴上点的规律运动 7．如图，数轴上两定点、对应的数分别为和14，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从、同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒个单位和个单位，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒……，按如此规律，则它们第一次相遇共需爬行（    ）次．    A．19 B．20 C．22 D．28 8．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 类型四 数轴上图形的平移或滚动 9．如图，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为，边长为4，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为8，则点表示的数为（   ） A．4 B． C．2或 D．4或8 10．如图，数轴上分别有一个小圆与一个大圆，它们都有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．    (1)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）： ，，，，， ①第______次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远； ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少?此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少?（结果保留） (2)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．（结果保留） 11．如图，边长为1的正方形，沿数轴顺时针连续滚动．起点和重合，则滚动2026次后，点在数轴上对应的数是______． 12．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．    (1)平移运动． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________； A．  B．  C．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位长度，紧接着第2次向右跳2个单位长度，第3次向左跳3个单位长度，第4次向右跳4个单位长度，…，依此规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是__________； (2)翻折变换． ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示__________的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为200（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A，B两点经折叠后重合，则A点表示__________，B点表示__________； ③设①折痕为点C，电子蚂蚁P从点A出发，以每秒4单位向右爬行，何时到B，C的距离和是到点A的距离的倍？ 类型五 数轴上相遇追击问题及分类讨论 13．如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是，4．请回答以下问题： (1)A与B之间距离为 ，A，B中点对应的数为 ． (2)若点C对应的数为，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法． (3)若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动： ①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？ ②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？ 14．如图，数轴上有、、、四点，点是原点， ， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 15．如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90． (1)请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数为 ___________； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道点C对应的数是多少吗？ (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？ 16．如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b满足，． (1)直接写出a、b的值，a=___________，b=___________； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右运动，设运动时间为秒，请用含的式子表示点P___________，点Q___________以及线段PQ长度；（PQ就是点P与点Q之间的距离） (3)在（2）的条件下，若点M在A点以每秒6个单位向左与P、Q同时运动，当M点与P点或者Q点相遇时，则立即改变运动方向，以原速度向相反方向运动．当P，Q两点相遇时，三个点均停止运动．试探求下列问题： ①当M点与点P第一次相遇时，求M点运动的时间t； ②当M点与点Q第一次相遇时，求M点所在的位置； ③求M点运动的总路程． 类型六 数轴上的和差倍分与方程思想 17．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 18．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（），M为线段的中点，给出如下定义：若，则称A是B的“正比点”；若，则称A是B的“反比点”，例如，时，A是B的“正比点”；时，A是B的“反比点”． (1)若，则M对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）； ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”； ③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”． (2)若，且M是A的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 第2章有理数运算中压轴题专题2——数轴上的问题 类型一 数轴上点的平移 1．将数轴上一点A沿数轴向左平移7单位到点B，再由B向右平移6个单位到点C，而C为数轴上表示2的点，则点A表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离距离计算，根据题意可得点C向左平移6个单位得到点B，点B向右平移7个单位得到点A，据此求解即可． 【详解】解：∵由B向右平移6个单位到点C，而C为数轴上表示2的点， ∴点B表示的数为， ∵点A沿数轴向左平移7单位到点B， ∴点A表示的数为， 故选：D． 2．如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点的位置如图②． (1)第____________次按键后，点所在的位置正好是原点； (2)第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是多少？ 【答案】(1)3 (2)18 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点间距离，根据题意列出点M、N表示的数是解题的关键． （1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是，因为点M正好到达原点，所以，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少． 【详解】（1）解：∵每次点向右平移2个单位长度， 又∵， 第3次按键后，点M正好到达原点； （2）解：第6次按键后．点表示的数为，点表示的数为． ， ∴第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是18． 类型二 数轴上的中点与数轴的折叠 3．已知点A、B在数轴上对应的数为5和9，点C对应的数为c．点A关于点B的对称点为D，点E为线段的中点，当时，C的值为（    ） A．或11 B．或29 C．29 D．11 【答案】B 【分析】本题考查数轴的性质，利用数形相结合是解题的关键．理解题意，根据题中所给条件分别求出相应的对应点，结合线段的和差即可得解． 【详解】解：∵点、在数轴上对应的数为和，点关于点的对称点为， ∴点表示的数为，， ∵， ∴， 如图，当在的右侧时，表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴， 如图，当在的左侧时，表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴， ∴的值为或， 故选：B． 4．如图，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B表示的数互为相反数，数轴的单位长度为1，则图中点C对应的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的性质，数轴的数形结合．理解题意，掌握数轴中的数形结合思想是解题的关键，因为点A、B表示的数互为相反数，所以找出点A、B的中点，即可求解． 【详解】解：因为A、B表示的数互为相反数，所以点A、B的中点是原点， 所以原点向右第一个点是C， 所以点C表示的数是1． 故选：C． 5．阅读材料，回答下列问题： 平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____________． A．B．C．D． ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是_____________． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2025的点与表示__________的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2026（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则点表示_________，点表示_________． 【答案】(1)①D；②； (2)①；②，1014． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的特征，相反数的意义，折叠的性质，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）①利用正负数的意义列式解答即可； ②利用正负数的意义列式解答即可； （2）①利用折叠的性质求得折痕对应的数字，再利用对称性解答即可； ②利用对称性和数轴上点的特征解答即可． 【详解】（1）解：先向负方向移动3个单位长度记作，再向正方向移动2个单位长度记作， 笔尖的位置表示的数为， 故答案为：D． ②从原点O开始，第1次向左跳1个单位记作，紧接着第2次向右跳2个单位记作，第3次向左跳3个单位记作，第4次向右跳4个单位记作， 第2025次向左跳2025个单位， 当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是： 故答案为：； （2）解：① 表示的点与表示3的点重合， 折痕对应的数为1， ， ， 表示2025的点与表示的点重合． 故答案为：； ②，A在B的左侧，且折痕与①折痕相同，A、B两点经折叠后重合， A点表示，B点表示1014． 故答案为：，1014． 6．根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：_____，B：_____； (2)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数_____表示的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：_____，N：_____． (4)如图在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点(不与A、B重合)，以点C为折点，将此数轴向右对折，且线段，则C点表示的数是______． 【答案】(1)1； (2)2 (3)； (4)或 【分析】本题考查数轴的应用，熟练掌握数轴上点的表示和对称是解题的关键， （1）根据数轴概念直线读数即可； （2）判断出对称点进行分析即可； （3）根据对称点为进行分析即可； （4）设点表示的数为，根据折叠后点在点的左侧和右侧，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可以判断出：点表示的数为：1，点表示的数为：， 故答案为：1；． （2）解：∵经过折叠，A点与表示的点重合， ∴数轴是在处对折， ∴关于的对称点为2， 故答案为：2． （3）解：由题可知：数轴是在处对折， ∴点关于对称， ∵， ∴点距的长度为，点距的长度为， ∴点表示的数为：；点表示的数为：， 故答案为：；． （4）解：设点表示的数为， 当折叠后点在点的左侧时，则， ∴， 解得：， 当折叠后点在点的右侧时，则， ∴， 解得：， ∴C点表示的数为：或， 故答案为：或． 类型三 数轴上点的规律运动 7．如图，数轴上两定点、对应的数分别为和14，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从、同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒个单位和个单位，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒……，按如此规律，则它们第一次相遇共需爬行（    ）次．    A．19 B．20 C．22 D．28 【答案】A 【分析】根据两点间的距离，可得的长，根据爬行的规律，可得以后每两次可以前进，可得爬行的总次数． 【详解】解：之间的距离为， 第一次相向爬行1秒后，两只蚂蚁相距， 以后每两次可以前进， ∴， 则它们第一次相遇共需爬行次， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，根据爬行的规律得出前进的速度，爬行的总次数是解题关键． 8．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 类型四 数轴上图形的平移或滚动 9．如图，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为，边长为4，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为8，则点表示的数为（   ） A．4 B． C．2或 D．4或8 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，分类讨论当长方形向左平移时和向右平移时两种情况，求出的长度即可求解； 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为4， ∴； 当长方形向左平移时， 由题意得 ：， ∴， 则点表示的数为2； 当长方形向右平移时， 同理可得， ∵， ∴， ∴， 则点表示的数为； 故选：C 10．如图，数轴上分别有一个小圆与一个大圆，它们都有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．    (1)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）： ，，，，， ①第______次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远； ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少?此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少?（结果保留） (2)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．（结果保留） 【答案】(1)①4；②， (2)同向时，小圆与数轴重合的点所表示的数为，大圆与数轴重合的点所表示的数为，或小圆与数轴重合的点所表示的数为，大圆与数轴重合的点所表示的数为；反向时，小圆与数轴重合的点所表示的数为，大圆与数轴重合的点所表示的数为，或小圆与数轴重合的点所表示的数为，大圆与数轴重合的点所表示的数为 【分析】（1）①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较即可；②总路程与方向无关，把每次的移动的距离相加即可得到答案； （2）分同向和反向两种情况讨论，同向路程之差为，反向路程之和为，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数即可得到答案． 【详解】（1）解：①第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：， 第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：， 第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：， 第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：， 第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：， 第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：， 第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远， 故答案为：4； ②总路程为：， 此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：； （2）解：当它们同向运动时，秒， 小圆与数轴重合的点所表示的数为，大圆与数轴重合的点所表示的数为，或小圆与数轴重合的点所表示的数为，大圆与数轴重合的点所表示的数为； 当它们反向运动时，秒， 小圆与数轴重合的点所表示的数为，大圆与数轴重合的点所表示的数为，或小圆与数轴重合的点所表示的数为，大圆与数轴重合的点所表示的数为． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 11．如图，边长为1的正方形，沿数轴顺时针连续滚动．起点和重合，则滚动2026次后，点在数轴上对应的数是______． 【答案】2024 【分析】滚动2次点C第一次落在数轴上，再滚动（2026-2）次，得出点C第506次落在数轴上，进而求出相应的数即可． 【详解】解：将起点A和-2重合的正方形，沿着数轴顺时针滚动2次，点C第1次落在数轴上的原点．以后每4次，点C会落在数轴上的某一点，这样滚动2026次，点C第（2026-2）÷4=506次落在数轴上，因此点C所表示的数为2024， 故答案为：2024． 【点睛】本题是利用规律求解问题.解题的关键是要找到规律“正方形ABCD沿着数轴顺时针每滚动一周，B、C、D、A依次循环一次”，同时要注意起点是－2，起始循环的字母为点A． 12．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．    (1)平移运动． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________； A．  B．  C．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位长度，紧接着第2次向右跳2个单位长度，第3次向左跳3个单位长度，第4次向右跳4个单位长度，…，依此规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是__________； (2)翻折变换． ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示__________的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为200（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A，B两点经折叠后重合，则A点表示__________，B点表示__________； ③设①折痕为点C，电子蚂蚁P从点A出发，以每秒4单位向右爬行，何时到B，C的距离和是到点A的距离的倍？ 【答案】(1)①D；② (2)①；②，；③秒或秒或秒 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离以及一元一次方程的应用； （1）①根据有理数的加法法则即可判断； ②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是1，即可解决问题； ②由对称中心是1，AB=200，可得A点表示-99，B点表示101； ③分电子蚂蚁在点C左侧，电子蚂蚁在点BC之间，电子蚂蚁在点B右侧三种情况，列方程求解． 【详解】（1）解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为． 故选：D． ②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…， ∴当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是． 故答案为：； （2）①∵表示的点与表示的点重合，对称中心是， ， 表示的点与表示的点重合； 故答案为：． ②对称中心是，， ， 则点表示，点表示， 故答案为：，； ③由题意可得：点表示的数为， 设秒后，电子蚂蚁到，的距离和是到点的距离的倍， 当电子蚂蚁在点左侧时， ， 解得： ； 当电子蚂蚁在之间时， ， 解得： ； 当电子蚂蚁在点右侧时， ， 解得：， 综上：秒或秒或秒后，电子蚂蚁到，的距离和是到点的距离的倍． 类型五 数轴上相遇追击问题及分类讨论 13．如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是，4．请回答以下问题： (1)A与B之间距离为 ，A，B中点对应的数为 ． (2)若点C对应的数为，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法． (3)若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动： ①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？ ②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)6，1 (2) 点C对应的数为， 当C点移动到位置时，A点到B、C两点的距离相等，都是6； 当C点移动到1位置时，C点到B、A两点的距离相等，都是3； 当C点移动到10位置时，B点到A、C两点的距离相等，都是6； (3)①3秒；②秒或秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离以及数轴上的动点问题． （1）利用数轴上两点间距离的知识即可求解； （2）分情况讨论C点的运动，再根据距离来判断符合题意的可能情况； （3）设点P运动t秒，应用一元一次方程，分情况解决所有的可能即可． 【详解】（1）解： A、B分别表示的数是，4． A与B之间距离为， A，B中点对应的数为1， 故答案为：6，1； （2）略 （3）①设点P运动t秒时，点P和点Q重合， 根据题意，得， 解得：（秒）， 点P运动3秒时，点P和点Q重合； ②设点P运动t秒时，点P和点Q之间的距离为3个单位长度， P，Q之间的距离为3个单位长度有两种可能， 当Q在P的右边时， 根据题意得， 解得：（秒）， 当Q在P的左边时， 根据题意得， 解得：（秒）， 当点P运动秒或秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度． 14．如图，数轴上有、、、四点，点是原点， ， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1) (2)①，；②当秒时，恰为线段的中点；③点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度 【分析】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． （1）根据已知条件求得的长度，即可写出点表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出，，再根据线段的中点定义可得，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据可得，根据线段的和差关系可得到点表示的数； ②当在原点的左侧，根据题意得方程即可得到结论；当在原点的右侧，根据题意得方程即可得到结论； ③根据，，求得，于是得到点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵在左侧， ∴∴点A表示的数为：． 故答案为：． （2）①由题意得：，， 如图所示： 为中点， ， 在数轴上点表示的数是， 点在上，，， 在数轴上点表示的数是． ②原点恰为线段的中点时，点表示的数与点表示的数互为相反数， 即，解得： 当秒时，恰为线段的中点． ③，， ， 点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 答：点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度． 15．如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90． (1)请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数为 ___________； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道点C对应的数是多少吗？ (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？ 【答案】(1)40 (2)30 (3)35秒或65秒 【分析】（1）根据中点公式可列式算得答案； （2）设两只电子蚂蚁经过t秒相遇，根据相遇时P，Q表示的数相同列方程可得t的值，从而可得C表示的数； （3）设运动时间为秒，可得P表示的数是，Q表示的数是，列方程可解得的值． 【详解】（1）解：M点对应的数为， 故答案为：40； （2）解：设两只电子蚂蚁经过t秒相遇， 根据题意得，P表示的数是，Q表示的数是， ∴ 解得， ∴， 答：点C对应的数是30； （3）解：设运动时间为秒，则P表示的数是，Q表示的数是， ∴， 解得或， 答：经过35秒或65秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距30个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示P，Q说表示的数． 16．如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b满足，． (1)直接写出a、b的值，a=___________，b=___________； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右运动，设运动时间为秒，请用含的式子表示点P___________，点Q___________以及线段PQ长度；（PQ就是点P与点Q之间的距离） (3)在（2）的条件下，若点M在A点以每秒6个单位向左与P、Q同时运动，当M点与P点或者Q点相遇时，则立即改变运动方向，以原速度向相反方向运动．当P，Q两点相遇时，三个点均停止运动．试探求下列问题： ①当M点与点P第一次相遇时，求M点运动的时间t； ②当M点与点Q第一次相遇时，求M点所在的位置； ③求M点运动的总路程． 【答案】(1)， (2)，， (3)①，②，③84 【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性可以得解； （2）根据数轴的正方向及数轴上两点间的距离公式解答； （3）①根据M点运动距离+P点运动距离=AC列出关于t的方程解答； ②设M点与P相遇后经过x秒与Q相遇，列出关于x的方程并求出x后可得解； ③分别求出M与P相遇前、与P相遇后与Q相遇前及M与Q相遇后直至停止所走的三段路程可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）∵，且点A表示的数为5， ∴点C所表示的数为， 由题意可得：，，则点P在数轴上所表示的数为； 点Q在数轴上所表示的数为， ∴； （3）①由（1）（2）可得：点P在数轴上所表示的数为， 点Q在数轴上所表示的数为，点A表示的数为5， 则当点M与点P表示第一次相遇前，所表示的数为 当点M与点P第一次相遇时，，解得. ②由①知，此时，点M在处，并且改变运动方向， 当点M与点Q表示第一次相遇前，此时M所表示的数为 当点M与点Q第一次相遇时，解得t= ∴点M所在的位置，； ③由题意可知，点M一直以6个单位每秒的速度运动，当P、Q两点相遇时，M点停止运动，即点M运动时间为点P与点Q相遇的时间， ∴，解得， ∴M点运动的总路程：. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间的距离公式和利用一元一次方程求解是解题关键． 类型六 数轴上的和差倍分与方程思想 17．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 【答案】(1)；1；7 (2)点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度 【分析】（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0成为解题的关键； （2）本题主要考查了数轴上的动点问题，先求出点Q表示的数是，进而得到，然后分当点P在和上两种情况解答即可；掌握数轴上的动点问题成为解题的关键． 【详解】（1）解：因为b是最小的正整数，所以． 因为，所以，． 故答案为；1；7． （2）解：因为点Q运动到的位置恰好是线段的中点， 所以点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； 所以点P运动的时间为， 所以点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， 所以点P的运动时间是， 所以点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度． 18．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（），M为线段的中点，给出如下定义：若，则称A是B的“正比点”；若，则称A是B的“反比点”，例如，时，A是B的“正比点”；时，A是B的“反比点”． (1)若，则M对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）； ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”； ③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”． (2)若，且M是A的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，求的值． 【答案】(1)2；③ (2) (3)或 【分析】（1）由得，由M为线段的中点得M表示的数为．①由，得A不是M的“正比点”，故①不正确．②由，得A不是M的“反比点”，故②不正确．③由，得B是M的“正比点”，故③正确．④由，得B不是M的“反比点”，故④不正确． （2）由M为线段的中点，得．由M是A的“正比点”，得，故，再计算即可． （3）利用定义可得，得，分两种情况：①，得，解方程即可求解；②，得，解方程即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． ∵M为线段的中点， ∴M表示的数为． ①∵， ∴A不是M的“正比点”， ∴①不正确． ②∵， ∴A不是M的“反比点”； ∴②不正确． ③∵， ∴B是M的“正比点”， ∴③正确． ④∵， ∴B不是M的“反比点”， ∴④不正确． 故答案为：2，③． （2）∵M为线段的中点， ∴． ∵M是A的“正比点”， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：． （3）∵， ∴a，b异号， ∵M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”， ∴或， 化简都得出：， ∴， 分两种情况：①， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或， ∴； ②， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，非负数的性质，线段的中点，绝对值方程等知识，利用“正比点”和“反比点”是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $