第一章 空间向量与立体几何 单元测试基础巩固卷-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 高二选择性必修一空间向量与立体几何单元复习卷，基础巩固与能力提升结合，融入《九章算术》“阳马”文化素材，体现空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量平行垂直判断、线面角计算（如正方体中与平面所成角）|注重基础概念辨析| |多选题|3/18|法向量应用、基底判断（如向量组作为空间基底）|考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|点到直线距离（正方体中点到直线距离）、向量线性表示|强化空间几何直观| |解答题|5/77|向量运算、二面角余弦值（三棱柱中二面角）、点到平面距离|结合复杂模型提升综合应用能力|

2026-2027学年高二选择性必修一数学单元自测（人教B版专 用) 第一章空间向量与立体几何基础巩固卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知正方体ABCD-A,B,CD1的棱长为1，若E是底面正方形A1BC1D1的中心，则AC与 A.重合 B.平行但不重合C.垂直 D.相交但不垂直 2.在正方体ABCD-A1B,CD1中，BD与平面AC1D所成角的正弦值是( A.3 B.V6 C 2 D.1 3 3 3.已知a=(1,2,-2,b=(-3,-6,6, c=(2,4,4) 则(. A.allb B.aLb d//c D aLe 4.如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N,P分别是BC,MN的中点： 1/9 设OA=a,OB=b,oC=c,用a,i,c表示O2,则() A0P=10+161s 4a+b+ 4e B.0P=a+6+8 4 5a+b+ 3 cor-+38+8 D.or=a+26+ 4 =3a+4b+4 5.已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),则点C到直线AB的距离为() √6 A. B.V6 C.V3 3 3 2 3 D. 2 6.在棱长为1的正方体ABCD-A1BCD1中，M和N分别为A1B和BB的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是). A 2 B D.V10 10 7我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于 E 底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马， PA上平面ABCD,且PE=4PC,若AB=a,AD=8,0=C,则BE-( 2/9 A.、50 4c n86 4 4c c3a-183 b- 4-46-4 3子字 b+ 404C 8在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=号A,点O,D分别是AC,PC的中点，OP⊥底 面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为 A.21 B.8V3 C.210 D.V210 6 3 60 30 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知平面a,B的法向量分别是0=2，-12日=240？直线1的方向向量为8=1,41，则( ) A.a⊥B B.1//a C日，m,可以作为空间的一个基底 D.n在a上的投影向量的模长为3V2 10.已知空间中三点A(0,1,1),B(2,2,1),C(2,1,0),则( A. AC=V5 BG丽方向上的年位向量是0，号受 319 n=1,-2,2是平面ABC的-个法向量 C.3 D.BC在AC上的投影向量的模为 5 11.关于空间向量，以下说法正确的是( A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若对空间中任意一点0，有0P-0A+0B+号0C,则P,A,B,C四点共面 6 3 2 C.已知向量。。组是空间的一个基底，则。。C也是空间的一个基底 a,b,c a,b,c+a D若ā-6<0：则日，B是钝角 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E是CC1的中点，则点B到直线AE的距离 为 13.在三棱锥O-ABC中，M,N分别为OA,BC的中点，设OA=a,OB=b,OC=c,则MN= 419 M 14.如图，在长方体ABCD-A,B,CD1中，AD=AA1=2,AB=3,若E为AB中点，则点B到 平面D1EC的距离为 D 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题15分) 已知A(1,01?B(2,2,-1a=AB6=(4,-2,4}=3,m,n 5/9 （1求cos<ar6≥： (2若2a-6/2求实数m,n的值. 16.(本小题15分) 已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设à=AB,i=AC (1)若C=3且1/BC,求向量c (2)已知向量ka+6与6互相垂直，求k的值， (3若点P(1,-1,m在平面ABC内，求m的值. 6/9 17.(本小题15分) 如图，在平行六面体ABCD-AB,C1D1中，AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90□°， ∠BAA,=∠DAA1=60,E是CC,的中点，设AB=ā，AD=b,AA1=c D C B1 A (1)用。i,表示A (2)求AE的长. D 18.(本小题15分】 如图所示，在三棱柱ABC-A1BC1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1⊥AB, AB=3,BC=5. (1)求证：AA1⊥BC C (2求二面角A,-BC,-B,的余弦值 719 19.本小题17分) 如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别是A1B和B,C1的中点. (1)求AC到平面BEF的距离； (2求平面ACC1A,与平面BEF的夹角的余弦值. Al Dy E B C1 ! A D B 8/9 6/6 2026-2027学年高二选择性必修一数学单元自测(人教B版专用) 第一章 空间向量与立体几何 基础巩固卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知正方体的棱长为，若是底面正方形的中心，则与(    ) A. 重合 B. 平行但不重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】C  【解析】以为坐标原点，，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，所以故选C． 2.在正方体中，与平面所成角的正弦值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】 本题考查直线与平面所成角的向量求法，属于基础题． 【解答】 解：不妨设正方体棱长为， 建系如图： ，，， ，设平面的法向量为， 则有，不妨设，则有， ． 3.已知，，，则． A. B. C. D. 【答案】A  4.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】 本题考查了空间向量的基本定理，属基础题． 根据空间向量的线性运算求解即可． 【解答】 解： ， 故选D． 5.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】 本题考查了空间向量法求点、线距离，属基础题． 根据空间向量的点线距离公式求解即可． 【解答】 解：依题意得，， 则点到直线的距离为 ． 故选A． 6.在棱长为的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是． A. B. C. D. 【答案】B  7.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图，，所以，又， 则． 故选：． 8.在三棱锥中，，，点，分别是，的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值为    ． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】因为平面，，，所以，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，因为，所以，所以，，所以由条件可得平面的一个法向量，所以设与平面所成的角为，则． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，则(    ) A. B. C. 可以作为空间的一个基底 D. 在上的投影向量的模长为 【答案】ACD  【解析】 本题考查利用空间向量判断线面的垂直、平行关系，面面的垂直、平行关系，空间向量的基底和投影向量，属于基础题． 利用空间向量中线线垂直、平行的判定条件，面面垂直、平行的判定条件，投影向量的概念，对选项逐个判断即可． 【解答】 解：对于，因为，即，则，故A正确； 对于，因为，则，则或，故B错误； 对于，设存在实数，，使得，即， 则，该方程组无解，即，，不共面， 故可以作为空间的一个基底，故C正确； 对于，在上的投影向量为， 则在上的投影向量的模长为，故D正确． 故选：． 10.已知空间中三点，则(    ) A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】ACD  【解析】 本题考查空间向量的投影向量，空间向量的模，单位向量，平面的法向量，属于基础题． 根据空间向量的运算逐项判断即可． 【解答】 解：由题意得，，． 对于，，故 A正确； 对于，，即方向上的单位向量是，故 B错误； 对于，因为 ， 所以 ，，故是平面的一个法向量，故 C正确； 对于，，故 D正确． 故选：． 11.关于空间向量，以下说法正确的是(    ) A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 【答案】ABC  【解析】 本题考查了向量共面、基底、数量积，属于基础题． 根据空间任意两个向量一定共面，即可判断出正误；由，即可判断出，，，四点共面；由空间基底定义即可判断出正误；由，则是钝角或平角，即可判断出正误． 【解答】 解：空间中的三个向量，若有两个向量共线， 由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确； B.对空间中任意一点，有， 由，则，，，四点共面，正确； C.向量组是空间的一个基底， 若，则也是空间的一个基底，由空间基底定义可知正确； D.，则是钝角或平角，因此不正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在棱长为的正方体中，是的中点，则点到直线的距离为          ． 【答案】  【解析】解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，故点到直线的距离． 故答案为：． 13.在三棱锥中，，分别为，的中点，设，，，则           【答案】  【解析】 本题主要考查了空间向量加法减法的运算，属于基础题． 根据题意设，，，根据向量的加减运算求解． 【解答】 解：因为，，， 所以 故答案为． 14.如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为          ． 【答案】  【解析】 本题考查空间距离的坐标表示，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解． 【解答】 解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，， ，，． 设平面的法向量为，则，即 令，得，  点至平面的距离为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，，，． 求， 若，求实数，的值． 【答案】 解：，， ，， ； 因为，所以设， 即， 故， 解得． 16.本小题分 已知空间中三点，，，设，． 若，且，求向量 已知向量与互相垂直，求的值 若点在平面内，求的值． 【答案】 解：易知， 因为， 所以， 又， 故，即， 所以或． 易知，，因为与互相垂直，所以，即，故，所以． 因为点在平面内，所以存在，使得， 又， 所以 解得 故． 17.本小题分 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，． 用，，表示； 求的长． 【答案】解：根据向量的三角形法则得到： ． ， ，即的长为． 18.本小题5分 如图所示，在三棱柱中，是边长为的正方形，， 求证：； 求二面角的余弦值 【答案】证明：是边长为的正方形，， 又，，且，平面， 平面，而平面， ． 解：在中，有，， 分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的法向量为， 则 取，得， 同理得平面的法向量， 设二面角的平面角为， 则． 故二面角的余弦值为．  19.本小题分 如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点． 求到平面的距离； 求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】解：如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系， 依题意，得，，，， ，， 则，，， 又平面，平面，平面， 到平面的距离等于点到平面的距离， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，是平面的一个法向量， 又，所以点到平面的距离为： ． 平面，是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为．  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $