25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第1课时） 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系这一核心知识点，通过具体方程引导学生观察根与系数的关系，经多个方程计算猜想规律，再推导定理，构建从特殊到一般的学习支架。 此资料以归纳发现法和任务驱学为主，学生自主解方程、计算两根之和与积发现规律，培养推理意识与抽象能力，例题、变式训练结合检测强化应用，助力学生掌握定理应用，提升教师教学效率。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第1课时） 课 型 新授课 教学 目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。 2.能运用根与系数关系求两根之和、两根之积及含字母的代数式的值。 3.体会从特殊到一般的归纳思想。 重点 一元二次方程根与系数的关系及其应用。 难点 运用根与系数关系解决已知一根求另一根、求字母系数等问题。 教学 方法 归纳发现法、验证猜想法、应用拓展法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：解方程x²-5x+6=0得x₁=2、x₂=3，观察x₁+x₂与x₁·x₂和系数有什么关系？ 2.互动提问：方程的根与系数之间是否存在普遍规律？ 任务驱学 任务1：解方程x²-5x+6=0，计算x₁+x₂=5、x₁·x₂=6。 任务2：解方程x²+3x-4=0，计算x₁+x₂=-3、x₁·x₂=-4。 任务3：猜想：对ax²+bx+c=0，x₁+x₂=？x₁·x₂=？ 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 定理：如果方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根是x₁、x₂，那么x₁+x₂=-，x₁·x₂=。 探究2 推导：由求根公式x₁=、x₂=，相加、相乘可得。 探究3 应用：已知一根求另一根、求参数、求与根有关的代数式值（注意先化为一般形式）。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 不解方程，求方程x²-6x+8=0的两根之和与两根之积。 （x₁+x₂=6，x₁·x₂=8） 例2 已知方程x²-3x+m=0的一个根是1，求m及另一根。 （x₁+x₂=3，1+x₂=3，x₂=2；x₁·x₂=m，m=2） 例3 已知x₁、x₂是方程2x²+3x-1=0的两根，求x₁+x₂、x₁·x₂的值。 （x₁+x₂=-，x₁·x₂=-） 方法归纳：先把方程化为一般形式再套公式x₁+x₂=-，x₁·x₂=。 变式训练 变式1 求方程3x²-4x+1=0的两根之和与积。 （x₁+x₂=，x₁·x₂=） 变式2 已知方程x²+mx-6=0的一根为2，求m及另一根。 （2x₂=-6，x₂=-3；2+(-3)=-m，m=1） 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演利用根与系数关系解题；小组互出“已知一根求参数”题；教师强调“先化为一般形式”。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：方程x²+4x-5=0的两根之和为____，两根之积为____。 2.填空：若方程x²-2x+m=0的一根是3，则m=____，另一根是____。 3.选择：方程x²-3x+2=0的两根之和是（　）A.3 B.-3 C.2 【参考答案】1.-4；-5；2.-3；-1；3.A 反馈订正：第1题注意两根之和是-=-4；第2题用韦达定理求参数。 拓展提升 巩固1 求方程2x²-5x+3=0的两根之和与积。 （x₁+x₂=，x₁·x₂=） 巩固2 已知方程x²-5x+k=0的一根为2，求k的值及另一根。 （k=6，另一根x=3） 反馈订正 互批；对符号出错的学生，强调-中b的符号。 二次备课 课 堂 小 结 1.x₁+x₂=-。 2.x₁·x₂=。 3.应用：求参数、求代数式值。 课后 作业 1.必做：课本25.2.4练习；习题25.2第7题。 2.选做：已知x₁、x₂是方程x²-4x+1=0的两根，求x₁²+x₂²的值。 板 书 设 计 25.2.4 根与系数的关系 一、定理：x₁+x₂=-，x₁·x₂= 二、推导：求根公式 三、应用 课 后 反 思 教学反思 1.通过具体方程归纳出定理，符合认知规律。 2.强调化为一般形式。 3.求代数式值（如x₁²+x₂²）需先变形，属难点。 4.为二次函数图象与系数关系作铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $