20.3 二次根式的加减 专项练习 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 以同类二次根式概念为基础，通过“概念-运算-应用”三级逻辑链构建训练体系，提炼“化简-识别-合并”等可迁移方法，强化运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|7题|两步判断法（化简→比被开方数）|从定义到识别，奠定运算基础| |运算技能|13题|加减实质是合并同类项，混合运算遵循整式顺序|从单一到综合运算，培养运算能力| |方法应用|17题|分母有理化用平方差，化简求值用整体代入|从技巧到综合，提升抽象与推理意识| |综合拓展|15题|估算用夹逼法，应用转化为数学模型|从理论到实践，发展应用意识与创新意识|

第20章20.3二次根式的加减 【新教材华东师大版】 知识点1 同类二次根式 经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式． 判断同类二次根式的步骤： （1）化为最简二次根式； （2）比较被开方数，若被开方数相同，则为同类二次根式． 如与，由于，因此与是同类二次根式． 知识点2 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点3 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【题型1 同类二次根式】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式与能合并，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 5．与最简二次根式是同类二次根式，则________． 6．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 7．两个最简二次根式和是同类二次根式，则__________． 【题型2 二次根式的加减运算】 1．计算的结果是________． 2．为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 3．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 4．若，则__________． 5．计算：________． 6．若，，化简____________________． 7．如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为______． 【题型3 二次根式的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算 (1)； (2)． 4．计算：． 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2)． 【题型4 分母有理化】 1．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．设的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（   ） A． B． C． D．2 3．已知，，则和的关系是（） A． B． C． D． 4．的一个有理化因式为________，的一个有理化因式为________． 5．写出的有理化因式是______． 6．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 7．已知，，求的值． 8．定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【题型5 二次根式的化简求值】 1．已知，则___________． 2．已知，则代数式的值为__________． 3．已知，，求的值． 4．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 5．已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 6．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 7．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 8．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 9．已知，，求的值 【题型6 二次根式的估算】 1．若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　） A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8 2．估算式子的值应在下面哪两个相邻整数之间（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 3．若，则整数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为__________． 5．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为________． 6．计算的结果在两个连续整数之间，这两个整数分别是_______________________． 7．已知a，b是两个连续的整数，若，则_______. 【题型7 二次根式运算的应用】 1．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 3．如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 4．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 5．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 6．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度h（米）与其起跳速度v（米/秒）之间满足（其中米/秒）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为________米/秒．（结果化为最简） 7．图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，将这些纸条连成一个宽为的大长方形，并将这个长方形裁剪成四个一样大小的小长方形来为一幅正方形作品镶边（纸条不重叠）如图③，则正方形作品（阴影部分）的面积为_____． 8．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c，，，，则的面积为_______． 第20章20.3二次根式加减答案与详细解析 【题型1 同类二次根式】 1．C 【详解】解：的被开方数为2， A．的被开方数为3，与的被开方数不同，不符合题意； B．化简后为2，被开方数为1，与的被开方数不同，不符合题意； C．的被开方数为2，与的被开方数相同，符合题意； D．的被开方数为6，与的被开方数不同，不符合题意； 故选：C． 2．A 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴与的被开方数相同， ∴， 解得． 3．B 【详解】解：A、，， 和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，， 和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同， 和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为， 和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 4． 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 5． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 6．6 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 7．4 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 所以， 故答案为：4． 【题型2 二次根式的加减运算】 1． 【详解】解：． 2． 【详解】解：， 当填时，原式，是有理数，符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求． 3． 【详解】解：由题意可知： ． 4． 【详解】解：∵， ∴． 5． 【详解】解： 6． 【详解】解：∵，， ∴． 7．/ 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为， 故答案为：． 【题型3 二次根式的混合运算】 1．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ；             （2）解：原式 ． 2．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4． 【详解】解：原式 = ． 5．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 分母有理化】 1．C 【详解】解：. 2．A 【详解】解：∵， 又∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴． 3．A 【详解】解： ， 又∵， ∴． 4． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为； ∵， 故的一个有理化因式是， 故答案为：，． 5． 【详解】解：∵ ， ∴分母 的有理化因式为， 即 的有理化因式为， 故答案为：． 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 7． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 8．(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 【题型5 二次根式的化简求值】 1． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 2．2 【详解】解：， 将代入，得． 3． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 4．(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：． 5．(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴原式 ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ． 6．(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）∵ 由（1）得， ∴． 7．(1) (2) 【详解】（1）解： ，， ， ． （2）解： ，， ， ， ， ， ． 8．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此的对偶式为． （2）解：利用对偶式分母有理化化简： ． （3）解：设， ， 根据平方差公式计算：， 因此． 9． 【详解】解：∵，， ∴， ． 【题型6 二次根式的估算】 1．B 【详解】∵ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在5和6之间． 故选：B． 2．D 【详解】 ， ， ， 式子的值应在8和9两个相邻整数之间， 故选：D． 3．A 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵为整数， ∴． 故选：A． 4． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∴的整数部分， 小数部分， ∴． 故答案为：． 5．7 【详解】解： ∵ ∴， ∴即， ∵、是分别是整数部分和小数部分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．7，8 【详解】解：原式 ， ， ， 故答案为：7，8 7． 【详解】解：∵，则， ∴，， ∴； 故答案为. 【题型7 二次根式运算的应用】 1．C 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 2．B 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为，正方形的边长为, 阴影部分的面积是两个完全一样的长方形的面积之和， 阴影部分长方形的长为，宽为, 阴影部分的面积为． 3．D 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 4． 【详解】解：把代入，得， ∴如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是． 5． 【详解】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为， 由题意得 ，， 解得，， ． 6． 【详解】解：将，代入，得， 整理得， 由实际意义可知，， 因此． 7． 【详解】解：∵如图②，，， ∴， ∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为. 8． 【详解】解： ，，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $