5.1任意角和弧度制同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-辨析应用-综合拓展”为分层路径，通过选择、填空、简答梯度设计，覆盖任意角与弧度制核心知识点，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|角的定义、分类、终边相同角|8道单选题，聚焦概念辨析（如象限角判断、终边相同角识别）| |提升层|象限角转换、弧度制辨析|3道多选题，强化易错点（如角度弧度互化正误判断）| |综合层|扇形公式应用、最值问题|4道题（填空+简答），结合实际情境（扇形窗子面积）与数学建模（面积最值求解）|

5.1任意角和弧度制同步练习含答案解析 1. 角的定义 平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边 2. 角的分类 按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角） 按照旋转方向可分为（正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）） 3. 象限角 第Ⅰ象限角：，或， 第Ⅱ象限角：， 第Ⅲ象限角：， 第Ⅳ象限角：，或， 4. 轴线角 终边落在轴正半轴上：， 终边落在轴负半轴上：， 终边落在轴正半轴上：， 终边落在轴负半轴上：， 终边落在轴上：，，终边落在轴上：， 终边落在坐标轴上：，，终边落在上：， 终边落在上：，或：， β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.　 5. 终边相同的角 与终边相同的角的集合为：， 6. 角度与弧度的关系 ， 7. 扇形的弧长、周长及面积公式 角度制 弧度制 弧长公式 面积公式 周长公式 是扇形的半径，是圆心角的度数 是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长 巩固练习 1、 单项选择题 1. 下列各角中，与角终边相同的角为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与角终边相同的角为，取的值即可求解. 【详解】与角终边相同的角为， 令,可得，故A满足题意，其余选项代入可得k不是整数，故选:A. 2．设集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得． 【详解】由题意得， 即M是由的奇数倍构成的集合， 又， 即N是由的整数倍构成的集合，则，故选：C． 3．若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分是奇数、偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内； 当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内．故选：C． 4．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　) A．1个　　　 B．2个 C．3个　　　 D．4个 【答案】D　 【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都是正确的． 5．若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】直接作出其终边所经过的象限图形即可. 【详解】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限， 故经过一三象限，故选：B. 6．将化为弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接将角度乘即可得弧度. 【详解】将化为弧度为.故选：B 7．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中．图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图②），圆心角为45°，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将45°化为弧度，然后利用扇形的面积公式即可求得答案. 【详解】由题意得45°化为弧度，又为的中点， 则该扇形窗子的面积为. 故选：C． 8．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，所以， 扇形面积， 当时，有最大值，此时圆心角，故选：D 2、 多项选择题 9．若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案. 【详解】因为角是第二象限角，所以，， 对于A ，，，故是第三象限角，故A正确； 对于B，，，故是第一象限角，故B不正确； 对于C ，，，故是第三象限角，故C正确； 对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确. 故选：AC 10．下列各式中错误的是(　　) A．π＝180 B．π＝3.14 C．90°＝ rad D．1 rad＝π 答案　ABD 解析　A项，π rad＝180°，故错误；B项，π≈3.14，故错误；C项，90°＝rad，故正确；D项，1 rad＝°，故错误．故选ABD. 11．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】BC 【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案. 【详解】，所以A错； 弧长，所以B对； 扇形的周长为，所以C对； 面积为，所以D错；故选：BC。 3、 填空题 12．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________． 答案　－10π＋ 解析　－1485°＝－1485×＝－＝－10π＋. 13．若β是第二象限角，则270°＋β是第 象限角. 答案　第一象限角 解析　由于β是第二象限角，所以k·360°＋90°<β<k·360°＋180°，k∈Z，则(k＋1)·360°<β＋270°<(k＋1)·360°＋90°，k∈Z，所以270°＋β是第一象限角. 14．把弧度化成角度： 【答案】 【分析】利用角度制与弧度制的互化即可求解. 【详解】，故答案为：. 4、 简答题 15. 已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，求圆心角大小 【答案】2 【分析】根据扇形面积公式及其基本不等式求出扇形面积取得最大值时的扇形半径和弧长，利用弧度数公式即可求出圆心角. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得， 扇形面积为， 当且仅当，即时等号成立，此时，则圆心角. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1任意角和弧度制同步练习 1. 角的定义 平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边 2. 角的分类 按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角） 按照旋转方向可分为（正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）） 3. 象限角 第Ⅰ象限角：，或， 第Ⅱ象限角：， 第Ⅲ象限角：， 第Ⅳ象限角：，或， 4. 轴线角 终边落在轴正半轴上：， 终边落在轴负半轴上：， 终边落在轴正半轴上：， 终边落在轴负半轴上：， 终边落在轴上：，，终边落在轴上：， 终边落在坐标轴上：，，终边落在上：， 终边落在上：，或：， β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.　 5. 终边相同的角 与终边相同的角的集合为：， 6. 角度与弧度的关系 ， 7. 扇形的弧长、周长及面积公式 角度制 弧度制 弧长公式 面积公式 周长公式 是扇形的半径，是圆心角的度数 是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长 巩固练习 1、 单项选择题 1. 下列各角中，与角终边相同的角为：（    ） A． B． C． D． 2．设集合，那么（   ） A． B． C． D． 3．若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 4．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　) A．1个　　　 B．2个 C．3个　　　 D．4个 5．若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 6．将化为弧度为（    ） A． B． C． D． 7．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中．图①为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图②），圆心角为45°，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（    ） A． B． C．1 D．2 2、 多项选择题 9．若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中错误的是(　　) A．π＝180 B．π＝3.14 C．90°＝ rad D．1 rad＝π 11．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 3、 填空题 12．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________． 13．若β是第二象限角，则270°＋β是第 象限角. 14．把弧度化成角度： 4、 简答题 15. 已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，求圆心角大小 学科网（北京）股份有限公司 $