25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过让学生解三个具体方程并填写表格，观察根的和与积和系数的联系，搭建从方程求解到规律探究的学习支架，衔接已学的一元二次方程解法与新知识。 该资料以自主探究为特色，填表观察培养抽象能力（数学眼光），推导过程提升推理意识（数学思维），例1不解方程求根的和与积、例2已知两根求新方程等实例强化模型意识（数学语言）。既助学生理解知识本质，又为教师提供清晰教学流程和典型例题，提升课堂效率。

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1.理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程. 2.掌握一元二次方程根与系数的关系，让学生自己探究、发现根与系数的关系，培养学生观察思考、归纳概括能力和探究精神. 3.能够不解方程，通过应用根与系数之间的关系直接解决问题. 重点难点 重点：根与系数的关系及其推导过程. 难点：应用根与系数之间的关系解决问题. 教学过程 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和方程的系数有什么联系？（1）2x2－5x－12＝0；（2）x2＋2x＋1＝0；（3）x2＋2x－1＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 2x2－5x－12＝0 x2＋2x＋1＝0 x2＋2x－1＝0 探究点一　利用根与系数的关系求方程的两根之和与积 【例1】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积： （1）x2－7x＋6＝0；（2）6x－1＝5x2； （3）2x2＋x＋1＝0；（4）x2＝x. 【解析】先将方程化为一般形式，再计算b2－4ac的值.若其值大于或等于零，则可根据一元二次方程的根与系数的关系求其两根之和与积. 【解】（1）∵Δ＝（－7）2－4×6＝25＞0， ∴x1＋x2＝7，x1x2＝6. （2）方程可化为5x2－6x＋1＝0. ∵Δ＝（－6）2－4×5×1＝16＞0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. （3）∵Δ＝12－4×2×1＝－7＜0， ∴原方程无实数根，故不存在两根之和与两根之积. （4）方程可化为x2－x＝0. ∵Δ＝（－）2－4××0＝2＞0， ∴x1＋x2＝＝，x1x2＝0. 【规律总结】不解方程，求一元二次方程两根的和与积，首先应将方程化为一般形式，然后确定a，b，c的值（注意符号），再判断b2－4ac的值，最后代入公式x1＋x2＝－，x1x2＝中计算即可. 探究点二　已知两根求作新的方程 【例2】以方程x2＋3x－5＝0的两个根的相反数为根的方程可以是（　　） A.y2＋3y－5＝0 B.y2－3y－5＝0 C.y2＋3y＋5＝0 D.y2－3y＋5＝0 【解析】设原方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝－3，x1x2＝－5，∴新方程的两根之和为（－x1）＋（－x2）＝3，新方程的两根之积为（－x1）（－x2）＝－5，∴新方程可以为y2－3y－5＝0. 【答案】B 【方法总结】求作新的一元二次方程时： （1）先求原方程的两根之和与两根之积； （2）利用新方程的两根与原方程的两根之间的关系，求新方程的两根之和与两根之积（或由已知求新方程的两根之和与两根之积）； （3）利用新方程的两根之和与两根之积，求作新的一元二次方程. 1.以2和－3为根的一元二次方程（二次项系数为1）为　　　　　　　. 2.已知方程x2＋kx＋k＋2＝0的两个实数根是x1，x2且＋＝4.求k的值.　 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 1.若方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 2.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 本节课掌握了一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用，通过推导根与系数的关系，进一步提升分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力. 　　通过本节课的学习，学生理解了一元二次方程的根与系数的关系及其推导过程.通过学生们的自主探究，分析a＝1和a≠1两种情况下根与系数的关系，培养学生自主探究能力，激发学生学习兴趣，并让学生能够解决实际问题.应用过程中，应注意运用根与系数的关系首先要保证方程有实数根. 　　答案 课堂训练 1.x2＋x－6＝0 2.解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－k，x1x2＝k＋2.∵＋＝4，即（x1＋x2）2－2x1x2＝4， ∴k2－2（k＋2）＝4，解得k1＝4，k2＝－2. ∵Δ＝k2－4k－8， 当k＝4时，Δ＜0，不符合题意，舍去； 当k＝－2时，Δ＞0.故k＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $