2.2.2.1 双曲线的简单几何性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖范围、焦点、渐近线、离心率等核心知识点，通过课前自主预习落实基础，课堂采用梯度进阶式教学，从标准方程对比归纳性质到题型迁移应用，构建从基础到综合的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以深度学习为导向，通过题型分类（如由方程研究性质、由性质求方程、离心率计算）和思维建模（如总结求方程步骤），培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。例如离心率计算结合定义与几何关系，学生能系统掌握性质应用，教师可依托资料提升教学针对性和效率。

2.2　 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质(范围、焦点、渐近线、离心率等). 2.能用双曲线的简单性质求标准方程.会求双曲线的离心率、渐近线等. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.双曲线的几何性质 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 范围 _______________，且y∈R ______________，且x∈R 对称性 对称轴:________　对称中心:______ x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 坐标轴 原点 顶点 ___________，__________ ___________，__________ 实轴和 虚轴 实轴:线段A1A2，长:____ 虚轴:线段B1B2，长:____ 实半轴长:____，虚半轴长:____ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|=2c 渐近线 y=_______ y=________ 离心率 e=____，e∈___________ A1(-a，0) A2(a，0) A1(0，-a) A2(0，a) 2a 2b a b ±x ±x (1，+∞) 续表 |微|点|助|解| (1)由=1+知，当|x|无限增大时，|y|也随之无限增大，所以双曲线是不封闭的曲线. (2)双曲线的顶点只有两个，即实轴的两个端点，虚轴的两个端点并不在双曲线上.另外，实轴长不一定大于虚轴长，这要和椭圆中长轴长和短轴长区别开来. (3)e===决定双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口就越大， 所以越大，e越大，双曲线开口越大;越小，e越小，双曲线的开口就越小. 2.双曲线几何性质的拓展 (1)双曲线上到中心距离最小的点是双曲线的顶点. (2)焦半径公式:双曲线-=1(a>0，b>0)上的点P(x0，y0)相对左、右焦点F1，F2的 焦半径分别为|PF1|=|ex0+a|，|PF2|=|ex0-a|(绝对值内看焦点，左加右减，去绝对值看支，左负右正). ①当点P在左支上，即x0≤-a时，|PF1|=-(ex0+a)，|PF2|=-(ex0-a); ②当点P在右支上，即x0≥a时，|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a. (3)已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)， 若点P在双曲线的左支上，则|PF1|最小=c-a，|PF2|最小=c+a; 若点P在双曲线的右支上，则|PF1|最小=c+a，=c-a. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线-=1与-=1(a>0，b>0)的形状相同. ( 　) (2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关. ( 　) (3)离心率是的双曲线为等轴双曲线. ( 　) (4)双曲线-=1的渐近线方程是3x±2y=0. ( 　) √ × √ √ 2.[多选]已知双曲线C:-=1，则下列选项正确的是(　　) A.C的焦点坐标为(±4，0) B.C的顶点坐标为(0，±3) C.C的离心率为 D.C的虚轴长为2 √ √ √ 解析:因为a2=9，b2=7，所以a=3，b=，c==4.因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0，±4)，故A错误;顶点为(0，±3)，故B正确;离心率为，故C正确;虚轴长为2，故D正确. 3.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i=1，2，3，4)，其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是 (　　) A.e2<e1<e4<e3 B.e1<e2<e3<e4 C.e2<e1<e3<e4 D.e1<e2<e4<e3 解析:根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在(0，1)之间，则e3，e4都大于e1，e2，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故e2<e1，根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故e4>e3，综上e2<e1<e3<e4，故选C. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　由双曲线的标准方程研究其几何性质 [例1]　求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1，即-=1，∴a=3，b=2，c=.因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)，实轴长2a=6，虚轴长2b=4，离心率e==，渐近线方程为y=±x=±x. 　　[变式拓展] 将本例中双曲线方程换为“nx2-my2=mn(m>0，n>0)”，结论不变，如何求解? 解:把方程nx2-my2=mn(m>0，n>0)化为标准方程为-=1(m>0，n>0)， 由此可知，a=，b=，c=， 焦点坐标为(，0)，(-，0)， 离心率e===， 顶点坐标为(-，0)，(，0)， 实轴长为2a=2，虚轴长为2b=2. 所以渐近线方程为y=± x，即y=±x. |思|维|建|模| 由双曲线的方程研究几何性质的步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 针对训练 1.[多选]已知双曲线方程为x2-8y2=32，则 (　　) A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 解析:双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为-=1，得a=4，b=2，c=6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为，故选ABD. √ √ √ 题型(二)　由双曲线的几何性质求其标准方程 [例2]　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为; 解:依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c=13，又=，∴a=5，b==12，故其标准方程为-=1. (2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3). 解:法一　∵双曲线的渐近线方程为y=±x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为 -=1(a>0，b>0)，则=.　① ∵A(2，-3)在双曲线上，∴-=1.　② 联立①②，无解. 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则=.　③ ∵A(2，-3)在双曲线上，∴-=1.　④ 联立③④，解得a2=8，b2=32. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 法二　由双曲线的渐近线方程为y=±x，可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0)， ∵A(2，-3)在双曲线上，∴-(-3)2=λ，即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. |思|维|建|模| 求双曲线的标准方程的方法 (1)根据双曲线的几何性质求标准方程，一般是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值). (2)巧设双曲线方程 ①如果已知双曲线的方程为标准形式，但是不知焦点所处的位置，可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m，n同号)，然后由条件求m，n. ②与双曲线-=1具有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0)，再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程. 针对训练 2.已知双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为(　　) A.-=1　　B.-=1　　C.-=1　　D.-=1 √ 解析:因为椭圆+=1的焦点在y轴上，离心率e=，所以所求双曲线的焦点也在y轴上，离心率e=2，即=2，所以c2=4a2，又因为双曲线的虚轴长为4，即2b=4，所以b=2，即c2-a2=3a2=4，所以a2=，所以所求双曲线的方程为-=1. 3.已知双曲线的一个焦点为(，0)，渐近线方程为x±y=0，则该双曲线的标准方程为(　　) A.-x2=1　　B.y2-=1　　C.x2-=1　　D.-y2=1 解析:由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c==， 再由c2=a2+b2，解得a2=2，b2=1，该双曲线的标准方程为-y2=1， 故选D. √ [例3]　(1)已知双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为(　　) A.2　　　B.　　　C.　　　D.- 题型(三)　双曲线的离心率 解析:∵双曲线-=1(a>b>0)的渐近线方程为y=±x，∴由双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，可得=tan=.∴双曲线的离心率为e===. √ (2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别 为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为____________. 解析:法一　由题可知A，B，F2三点横坐标相等， 设A在第一象限，将x=c代入-=1得y=±， 即A，B， 故|AB|==10，|AF2|==5， 又|AF1|-|AF2|=2a，得|AF1|=|AF2|+2a=5+2a=13，解得a=4，代入=5， 得b2=20，故c2=a2+b2=36，即c=6，所以e===. 法二　由题意，得|AF2|=|BF2|=5，|F1A|=13，则|F1F2|=2c==12， 则c=6.又当x=c时，-=1，c2=a2+b2，则|y|=，所以|AB|=2|y|==10， 则===5，解得a=4，所以e==. |思|维|建|模|　求双曲线离心率的常用方法 直接法 已知a，c可直接利用e=求解，已知a，b(或已知渐近线方程)可利用e=求解 方程法 若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c 之间的关系，可通过b2=c2-a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e=，转化为关于e的方程求解 4.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，-4)，点(-6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 (　　) A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D. 针对训练 √ 解析:法一:方程组法　根据焦点坐标可知c=4，根据焦点在y轴上， 可设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，则由得所以离心率e==2. 法二:定义法　根据焦点坐标可知c=4，由双曲线的定义， 得2a=|-|=|6-10|=4， 所以离心率e==2. 5.已知F为双曲线C:-=1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点， B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______. 2 解析:易知F为双曲线C:-=1(a>0，b>0)的右焦点(c，0)，A为C的 右顶点(a，0)，B为C上的点，且BF垂直于x轴，所以B. 由AB的斜率为3，可得B，且=3， 将b2=c2-a2代入上式化简可得c2=3ac-2a2. 又e=，可得e2-3e+2=0，结合e>1，解得e=2. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10 解析:由已知得左焦点的坐标为(-5，0)，右顶点的坐标为(3，0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.[多选]已知方程-=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值可以是(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 解析:由题意得(m2+n)(3m2-n)>0，解得-m2<n<3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2+n+3m2-n=4，即m2=1，所以-1<n<3.故选AB. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 (　　) A.x2-y2=8 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4 √ 解析:令y=0，得x=-4，∴等轴双曲线的一个焦点为(-4，0)，∴c=4，a2=b2=c2=×16=8，即双曲线方程为x2-y2=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点.若=，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.3x±2y=0 B.2x±3y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 √ 解析:设双曲线C的半焦距为c(c>0).由题可知|F1F2|=2c，|PF1|-|PF2|=2a，则==，所以==，所以=，所以C的渐近线方程为x±2y=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知椭圆C1:+y2=1(m>0且m≠1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的 焦点重合，e1，e2分别为椭圆C1，双曲线C2的离心率，则(　　) A.0<m<1 B.e1> C.m>n D.当n=1时，m=3 √ √ 解析:因为椭圆C1，双曲线C2的焦点相同，所以m>1，m2-1=n2+1， 所以m2=n2+2，所以m>n，当n=1时，m=，故A、D错误，C正确.因为(e1e2)2=·=·==1+>1，所以e1>，故B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知双曲线C:-=-1的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是(　　) A.渐近线方程为3x±4y=0 B.双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数 C.若双曲线C上一点P满足|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2的周长为28 D.若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意可得C:-=1，故渐近线为3y=±4x，故A错误; 易知双曲线和椭圆的离心率分别为e1==，e2==，显然它们 不互为倒数，故B错误; 由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2×3=6，若|PF1|=2|PF2|，则||PF1|-|PF2||=|PF2|=6，|PF1|=12，又|F1F2|=2×=10，故△PF1F2的 周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6+12+10=28，故C正确; 由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点， 即最短距离为6，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2， P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A.-=1　　　B.-=1　　　C.-=1　　　D.-=1 √ 解析:由题意可知，∠F1PF2=90°，又由直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1 ==2.根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a，得|PF1|=4a，|PF2|=2a.因为 =|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2=8，所以a2=2，所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(4a)2+(2a)2 =20a2=40.又|F1F2|2=4c2，所以c2=10，又a2+b2=c2，所以b2=8，所以双曲线的方程为-=1，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知双曲线-=1的离心率e=，实半轴长为4，则双曲线的 方程为____________. -=1 解析:由已知可得解得b=3，所以双曲线方程为-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上， 则它的渐近线方程为____________. y=±x 解析:∵=，∴==，∴=，∴=，∴=.又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知点B1，B2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)虚轴的两个端点， 过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P，Q两点，若△PQB2为正三角形，则该双曲线的离心率e为____________. 解析:如图所示，依题意Q点纵坐标为b， 把y=b代入双曲线方程可得x=±a， 所以点Q的坐标为(a，b)，又Rt△B2B1Q中， tan∠B1B2Q===， 则=，e===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点C(0，2b)， 若线段AC的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为____________. 解析:因为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，所以A(-a，0)，B(a，0)，|AB|=2a.又C(0，2b)，线段AC的垂直平分线过点B，所以|BC|=|BA|，即=2a，得b2=a2， 所以c2=a2+b2=a2+a2=a2，因此e===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点(10，3);(5分) 解:设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，因为两顶点间的距离是10，且经过点(10，3)， 则解得则双曲线方程为-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)一个焦点坐标为(5，0)，一条渐近线方程为3x-4y=0.(5分) 解:因为一个焦点坐标为(5，0)，可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，且c=5，由一条渐近线方程为3x-4y=0，可得y=x，则=， 设a=4k，b=3k，k>0，则c2=a2+b2⇒52=(4k)2+(3k)2，解得k=1， 则a=4，b=3，所以双曲线方程为-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，-1)，点M(3，m)在双曲线上.求: (1)双曲线的方程;(5分) 解:因为e=，所以可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为过点(3，-1)，所以9-1=λ，即λ=8，所以双曲线的方程为x2-y2=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)·;(6分) 解:由(1)可设F1(-4，0)，F2(4，0)，所以=(-4-3，-m)，=(4-3，-m)， 所以·=(-4-3)×(4-3)+m2=2+m2， 因为M点在双曲线上，所以18-m2=8，即m2=10，所以·=12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)△F1MF2的面积.(4分) 解:△F1MF2的底|F1F2|=8，由(2)知m=±，所以△F1MF2的高h=|m|=， 所以=×8×=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F， 动点B在C上.当BF⊥AF时，|AF|=|BF|. (1)求C的离心率;(5分) 解:当BF⊥AF时，|BF|=|AF|=a+c， 又|BF|=，∴a+c=⇒a2+ac=c2-a2， ∴2a2+ac-c2=0，∴(e-2)(e+1)=0， 又e>1，∴e=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若B在第一象限，证明:∠BFA=2∠BAF.(10分) 解:证明:设B(x，y)，x>0，y>0，当x≠c时，tan∠BAF=kAB=，kBF=， 又∵e=2，∴c=2a，b2=3a2，∴tan 2∠BAF=== =====-kBF=tan∠BFA. ∵∠BAF，∠BFA∈∪， ∴∠BFA=2∠BAF. 当x=c时，|BF|=|AF|，∠BFA=90°=2∠BAF. 综上，∠BFA=2∠BAF. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $