2.1有理数的加法与减法 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理从加法法则（同号、异号、与0相加）到减法法则（a−b=a+(−b)），再到加减混合运算统一为代数和及加法运算律的知识脉络，通过预习填空、数轴运动探究表格、例题示范及分层训练构建学习支架。 资料以数轴“走两步”实验直观归纳加法法则培养几何直观（数学眼光），结合净胜球、温差等实际问题渗透模型意识（数学语言），分层训练（A/B/C组）满足不同学生需求，错误提示强化运算能力（数学思维）。课中辅助教师引导探究，课后助力学生自测查漏，养成规范运算习惯。

人教版数学七年级上册 · 第二章 有理数的运算 · 2.1 有理数的加法与减法（教学详案） 2.1 有理数的加法与减法 教学详案（教师用） ———————————————— 人教版（2024）· 七年级数学 · 上册 · 第二章 有理数的运算 · 建议 2～3 课时 · 新授课 一、教学导航 教材分析　本节是"有理数的运算"起始课，上承有理数概念、数轴、相反数与绝对值，下启乘除、乘方及整式加减。核心是把小学"正数加法"扩展为"全有理数域的加减"，关键要让学生理解法则的合理性（而非死记），并牢固建立"减法是加法的逆运算、减法化加法"的转化思想。 学情分析　学生已掌握有理数、数轴、相反数、绝对值及有理数大小比较，会用正负数表示相反意义的量。主要困难有三：①异号相加时"符号看绝对值大者、绝对值大减小"是非直觉步骤，易与"同号相加"混淆；②减法变加法时的"两变"（减号变加号、减数变相反数）易漏一处；③加减混合写成"代数和"后两种读法易混。 教学目标　①能准确表述并运用有理数加法法则、减法法则；会把加减混合统一为加法并写成代数和；了解加法运算律并能简便运算。②通过"数轴上两次运动""足球净胜球""温差"等情境，体会法则的来龙去脉，感悟"数形结合"与"转化"思想。③养成"先定符号、再算绝对值"的运算规范，体会数学法则的严谨与对称。 教学重点　有理数加法法则；有理数减法法则 a−b=a+(−b)；加减混合运算（代数和）。 教学难点　异号两数相加的符号与绝对值处理；减法化加法的"两变"；代数和的读写。 教学策略　情境引入—操作探究—归纳法则—例题示范—巩固应用；以"数形结合"突破异号相加，以"转化思想"统整减法与混合运算。 课时建议　本节内容较多，建议分 3 课时：第1课时 有理数加法；第2课时 有理数减法；第3课时 加减混合与加法运算律。本详案按"三幕"组织，可拆分使用。 教学准备　多媒体课件（数轴两次运动动画、净胜球/温差图示）；课堂学习单；红蓝两色粉笔（标注正负方向）。 二、教学过程 ■ 第一幕　有理数加法（第1课时） ■ 环节一　情境引入（约5分钟） 【情境】 足球比赛中，进球与失球是一对相反意义的量。规定赢球（进球）为正、输球（失球）为负：红队一场共进4球、失2球；黄队共进2球、失4球；蓝队共进1球、失1球。怎样用算式表示各队净胜球数？ 【教师活动】 叙述情境，板书"净胜球"，引导学生用正负数表示："进球记正、失球记负，净胜球＝进球数＋失球数"。 【学生活动】 列出：红队 (+4)+(−2)；黄队 (+2)+(−4)；蓝队 (+1)+(−1)。 【预设与对策】 若学生把"失球"也用正数，追问："一场比赛的净胜是相反意义的量相减，能用同一个正数表示吗？"——强调先定正方向，再写"符号＋数值＋单位"。 【归纳引入】 这些式子都是"有理数加有理数"。今天先研究有理数的加法。 ■ 环节二　探究加法法则（约12分钟） 【探究】 在数轴上"走两步"：从原点出发，向右为正、向左为负，把下列运动列式并说出落点。 (+3)+(+1)=？ (−2)+(−1)=？ (+3)+(−2)=？ (−3)+(+2)=？ (+3)+0=？ (−2)+0=？ 0+0=？ 【教师活动】 组织小组完成上表，投影学生结果；追问三个核心问题：①和的符号由什么决定？②绝对值怎么算？③0在加法中扮演什么角色？ 【学生活动】 观察7个算式，小组讨论，尝试用自己的话归纳法则。 【归纳·法则】 法则一（同号相加）：取相同的符号，并把绝对值相加。 法则二（异号相加）：绝对值相等时和为0（互为相反数）；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 法则三（与0相加）：一个数同0相加，仍得这个数。 ⚠ 易错 异号相加最易错在"绝对值部分"——是"大减小"不是"加起来"，符号看"谁的绝对值大"。如 (−4.7)+3.9，因 |−4.7|>|3.9|，结果取负号，数值 4.7−3.9=0.8，得 −0.8。 ■ 环节三　例题教学·加法（约10分钟） 例1　计算：(1) (−3)+(−9)；(2) 12+(−8)；(3) (−4.7)+3.9；(4) (−2)+(+2)。 【板演规范】 师生共同按三步书写：①判类型（同号/异号/相反数）；②定符号；③算绝对值。 (1) 同号→取负号，3+9=12 → −12 (2) 异号→|12|>|−8|取正，12−8=4 → 4 (3) 异号→|−4.7|>|3.9|取负，4.7−3.9=0.8 → −0.8 (4) 互为相反数 → 0 【易错点·找错】 板演中故意写 "12+(−8)=−4（同号相加）"，请学生纠错并说明：12与−8异号，应取绝对值较大者(12)的符号，用12−8=4。 例2（课本·净胜球）　红队 (+4)+(−2)=+(4−2)=2；黄队 (+2)+(−4)=−(4−2)=−2；蓝队 (+1)+(−1)=0。 【说明】 用法则解释：红队异号相加，|4|>|−2|取正；蓝队互为相反数得0。这与引入环节的情境首尾呼应。 ■ 第二幕　有理数减法（第2课时） ■ 环节四　减法法则（约10分钟） 【情境·温差】 某地某日白天最高气温 4℃，夜间最低气温 −3℃，这一天的温差（最高−最低）是多少？列出算式 4−(−3)。 【探究】 因为 (−3)+(+7)=4，所以 4−(−3)=7。再试：9−8=1，而 9+(−8)=1，故 9−8=9+(−8)。由此归纳：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 例3　计算：(1) (−3)−(−5)；(2) 0−7。 【板演】 (1) (−3)−(−5)=(−3)+(+5)=+(5−3)=2 (2) 0−7=0+(−7)=−7 【找错活动】 投影错例：0−(−5)=0−5=−5。问："减号变加号后，减数 −5 变没变？"学生指出应 0+(+5)=5。 ⚠ 易错 减法变号是"两变"：减号变加号、减数变相反数，二者必须同时发生；常见错误是只变减号不变减数（如把 0−(−5) 错算成 −5）。负号"搬家"前要先完成减法化加法。 ■ 第三幕　加减混合与运算律（第3课时） ■ 环节五　加减混合·代数和（约8分钟） 例4　计算 (−20)+(+3)−(−5)−(+7)。 【步骤】 ①减法化加法：(−20)+(+3)+(+5)+(−7)；②省略加号与括号：−20+3+5−7；③按加法法则算：可顺序算 (−20)+(+3)=−17，(−17)+(+5)=−12，(−12)+(−7)=−19；也可先结合 (−20)+(+5)=−15，(+3)+(−7)=−4，−15+(−4)=−19。 【读法】 "−20+3+5−7"可读作"负20、正3、正5、负7的和"，也可按运算顺序读"负20加3加5减7"。 【归纳】 三步法："先变号（减法化加法）、再省略（加号括号）、后计算"。 ■ 环节六　加法运算律与简便运算（约8分钟） 【复习】 小学加法交换律 a+b=b+a、结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 对有理数同样成立。 例5　用简便方法计算：(1) (−7)+12+7+(−8)；(2) (−3)+5+(−7)+2；(3) +(−)++(−)。 【板演】 (1) 相反数结合：[(−7)+7]+[12+(−8)]=0+4=4 (2) 同号/凑整：[(−3)+(−7)]+[5+2]=−10+7=−3 (3) 同分母结合：(−)+(−)=−+=−+= 【策略】 运算前先观察：找互为相反数、同号、能凑整、同分母的分数，优先结合。 ■ 环节七　巩固训练（课堂检测，约10分钟） 独立完成下列各题（学习单），教师根据班情选用。 A组·基础（直接计算） 1 计算：(−5)+(−8)； 13+(−7)； (−3.5)+3.5； 0+(−6)。 2 计算：(−12)+20； (−)+(+)； 7+(−10)+(−5)。 3 计算：(−7)−(−3)； 0−(−5)； (−4)−6。 4 计算：(−15)−(−9)； (−4)−5； 3−(−11)。 5 把 (−8)−(−10)+(+6)−(−2) 写成省略加号和括号的形式，并计算结果。 6 选择题：下列运算正确的是（ ） A. (−3)+(−5)=+8 B. (−2)−(−4)=−2 C. 0−(−7)=7 D. 5+(−9)=4 B组·提高（变式与实际） 7 填空：若 a>0，b<0，且 |a|<|b|，则 a+b ____ 0（填 >、< 或 =）。 8 某天最高气温 8℃，最低气温 −2℃，这天温差是多少℃？ 9 海拔从 −30 m 先上升 100 m，再下降 50 m，最终海拔多少 m？ C组·拓展（运算律与探究） 10 用简便方法计算：(−7)+12+7+(−8)； (−25)+(−)+25+(−)。 11 探究：多个有理数相加，交换加数位置、改变结合顺序，和是否变化？举例说明你的发现。 【要求】 学生独立完成，4人小组互评；教师巡视，重点看异号"符号＋大减小"、减法"两变"、代数和写法，收集典型错例用于下节课前纠错。 三、课堂小结（约3分钟） 【学生说】 请两位学生各用一句话概括"加法法则""减法法则"。 【教师补】 口诀：同号取同号、加绝对值；异号比大小，大减小、符号随大者；减变号、两变同时（减号变加号、减数变相反数）；混合先化加法、再写代数和。 四、板书设计（真实分区） 主板书（左侧，随教学推进顺序书写）： 2.1 有理数的加法与减法 一、加法法则　①同号：取同号，绝对值相加　②异号：比绝对值，取大符号、大减小（互为相反数→0）　③+0不变 例1 (1)(−3)+(−9)=−12 (2)12+(−8)=4 (3)(−4.7)+3.9=−0.8 (4)(−2)+(+2)=0 二、减法法则 a−b=a+(−b)　例3 (−3)−(−5)=2；0−7=−7 三、加减混合→代数和　例4 (−20)+3+5−7=−19 四、运算律　交换律 a+b=b+a／结合律 (a+b)+c=a+(b+c)　例5 副板书（右侧）：①探究7情形归纳表（学生填）；②典型错例 0−(−5)≠−5（应 0+5=5）、12+(−8)≠−4；③代数和两种读法对照。 五、作业布置（具体、可操作） 必做： 1. 课本本节"练习"第1～4题（直接写在书上）。 2. 课本"习题2.1"第1题（加法）、第2题（减法）、第5题（混合与运算律）各选做若干。 3. 错题整理：把今天练习中"符号错／大减小错／减法没变号"的题各抄1道，写明正确过程。 选做（学有余力）： 4. 用简便方法计算：(−0.5)+3.25+(−5.5)+(−)；并自编一道"相反数结合"的简便运算题。 5. 用正负数表示你本周的"收入与支出"，算一算本周净结余，写成一道有理数加减应用题。 （注：具体题号以所用课本实际页码为准，教师可据班情调整。） 六、教学反思 本课本着"情境—探究—归纳—应用"线索，以"净胜球""温差"贯穿加减，突出"减法化加法"的转化思想。预设待改进： ⚠ 易错 ①异号相加"大减小"仍易与"加起来"混淆，下节课前可加"谁离原点远"的直观对比小练。 ⚠ 易错 ②代数和读写是薄弱点，需在板书用"和"与"运算"两种读法对照强化。 ⚠ 易错 ③减法变号"两变"易漏，应在学习单设计"找错改错"专项。 （本栏供教师课后填写课堂生成与改进设想。） 七、参考答案（巩固训练） 说明：加法先定符号再算绝对值；减法先化加法（a−b=a+(−b)）再算；混合运算统一为代数和后求值。 A组·基础 1 −13；6；0；−6。 2 8；−；−8。 3 −4；5；−10。 4 −6；−9；14。 5 原式=(−8)+(+10)+(+6)+(+2)=10；省略加号与括号：−8+10+6+2=10。 6 答案：C。A错（应−8）；B错（−2+4=2）；C对（0+5=5）；D错（5−9=−4）。 B组·提高 7 <（异号，|b|>|a| 且 b 为负，和为负）。 8 温差=8−(−2)=8+2=10（℃）。 9 最终海拔=−30+100−50=20（m）。 C组·拓展 10 (1) [(−7)+7]+[12+(−8)]=4；(2) (−25+25)+[(−)+(−)]=0+(−1)=−1。 11 不变（加法交换律、结合律对有理数仍成立）。 — 2026—2027学年 · 教师用 · 2.1 详案 — 学科网（北京）股份有限公司 $2.1 有理数的加法与减法（学案·学生用） 2.1 有理数的加法与减法 学案（学生用 · 配套教师讲义） ———————————————— 人教版（2024）· 七年级数学 · 上册 · 第二章 有理数的运算 · 新授课 · 建议 1 课时配套 一、学习目标 1. 掌握有理数加法法则，能正确进行同号、异号、与0的加法运算；会把加减混合统一为加法并写成代数和。 2. 理解"减法是加法的逆运算"，掌握 a−b=a+(−b)，会进行有理数减法与加减混合运算。 3. 能解决净胜球、温差等简单的有理数加减实际问题，养成"先定符号、再算绝对值"的运算习惯。 二、预习导航（请在横线上填空） 1. 同号两数相加：取______的符号，并把绝对值______。 2. 异号两数相加：绝对值相等时和为______；绝对值不等时，取绝对值______的加数的符号，并用较大的绝对值______较小的绝对值。 3. 一个数同 0 相加，仍得______。 4. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的______，即 a−b = a + (−b)。 5. 加减混合：把减法统一成加法后，可省略加号和括号，写成______（如 −20+3+5−7，叫代数和）。 6. 加法运算律：交换律__________；结合律__________。 三、课内探究 ■ 探究1　加法法则（从"走两步"归纳） 在数轴上从原点出发，向右为正、向左为负，补全下表（列式与落点）： 运动1 + 运动2 列式 落点（和） 向右3，再向右1 (+3)+(+1) 向左2，再向左1 (−2)+(−1) 向右3，再向左2 (+3)+(−2) 向左3，再向右2 (−3)+(+2) 向右3，再不动 (+3)+0 向左2，再不动 (−2)+0 原地不动 0+0 我的发现（归纳法则三句话）： ①同号：________________________；②异号：________________________；③与0相加：________________________。 ■ 例1　加法计算（先判类型→定符号→算绝对值，在横线上写过程） (1) (−3)+(−9) = ______　　(2) 12+(−8) = ______ (3) (−4.7)+3.9 = ______　　(4) (−2)+(+2) = ______ ▸ 提示：同号相加取同号、加绝对值；异号相加比绝对值，取大者符号、大减小；互为相反数的两数相加得0。 ■ 例2　净胜球（课本例2） 红队 (+4)+(−2) = ______；黄队 (+2)+(−4) = ______；蓝队 (+1)+(−1) = ______。 ▸ 提示：用法则解释：红队异号相加，|4|>|−2| 取正；蓝队互为相反数得0。 ■ 探究2　减法法则（温差情境） 某日最高 4℃，最低 −3℃，温差 = 4−(−3)。因为 (−3)+(+7)=4，所以 4−(−3) = ____。 归纳：a−b = ________。减法变号是"两变"：①__________；②__________。 ▸ 提示："两变"必须同时发生：减号变加号、减数变相反数。常见错误是只变减号不变减数。 ■ 例3　减法计算（在横线上写过程） (1) (−3)−(−5) = ______　　(2) 0−7 = ______ ■ 探究3　加减混合·代数和 把 (−20)+(+3)−(−5)−(+7) 化加法：____________；省略加号与括号：____________；结果 ______。 读法两种：①________________；②________________。 ▸ 提示：三步法：先变号（减法化加法）、再省略（加号括号）、后计算。 ■ 例4　计算 (−8)−(−10)+(+6)−(−2)（写过程） ■ 探究4　加法运算律（简便运算） 交换律 ________；结合律 ________。简便计算时优先找：互为相反数、______、能凑整、______。 例5　简便计算（写过程）：(−7)+12+7+(−8) = [(−7)+7]+[12+(−8)] = 0+4 = 4。 四、分层训练（独立完成，末尾自测） A组·基础（直接写结果）： 1. (−6)+(−9)=____　2. 15+(−9)=____　3. (−2.5)+2.5=____　4. 0+(−4)=____ 5. (−5)−(−3)=____　6. 0−(−8)=____　7. (−6)−4=____　8. 9−(−4)=____ B组·提高： 9. 把 7−(−3)+(−5)−(+2) 写成省略加号和括号的形式，并计算结果。 10. 某水库正常水位记 0，先上升 3 m，再下降 5 m，又上升 2 m，最终水位多少 m？（列算式并计算） 11. 填空：若 x<0，y>0，且 |x|>|y|，则 x+y ____ 0。 C组·拓展： 12. 用简便方法计算：(−13)+27+13+(−17)。 13. 小华储蓄存折：存入200元(+200)、支出150元(−150)、存入80元(+80)、支出130元(−130)。若原有余额500元，现在余额多少？（列综合算式并计算） ▸ 提示：自测建议：对照末尾答案自测；算错的题，用红笔在题号旁标注错因（符号错／绝对值错／减法没变号／代数和写错）。 五、课堂小结（填空） 加法：同号______________；异号______________；与0相加______________。 减法：a−b = ______________（"两变"：__________、__________）。 混合：统一为__________，写成__________后再算。 六、参考答案 预习导航 1. 相同；相加。　2. 0；较大；减去。　3. 这个数。　4. 相反数。　5. 代数和。　6. a+b=b+a；(a+b)+c=a+(b+c)。 课内探究 探究1：落点依次为 +4、−3、+1、−1、+3、−2、0；发现①取同号加绝对值②比绝对值取大符号大减小（互为相反数得0）③仍得这个数。 例1：(1)−12 (2)4 (3)−0.8 (4)0。　例2：2；−2；0。　探究2：7；a+(−b)；减号变加号、减数变相反数。 例3：(1)2 (2)−7。　探究3：化加法 (−20)+(+3)+(+5)+(−7)；代数和 −20+3+5−7；结果−19；读法①负20、正3、正5、负7的和②负20加3加5减7。 例4：原式=(−8)+(+10)+(+6)+(+2)=10；结果10。　探究4：a+b=b+a；(a+b)+c=a+(b+c)；同号；同分母。 分层训练 A1 −15 A2 6 A3 0 A4 −4 A5 −2 A6 8 A7 −10 A8 13 B9 7+3−5−2=3 B10 0+3−5+2=0（m） B11 < C12 [(−13)+13]+[27+(−17)]=0+10=10 C13 500+200−150+80−130=500（元） — 2026—2027学年 · 学生学案 · 2.1 — 学科网（北京）股份有限公司 $