学易金卷：九年级数学9月学情自测卷（河北专用，新教材人教版九上第25-26章：一元二次方程+二次函数）

**基本信息** 聚焦九年级二次函数单元，通过抛物线性质辨析（如对称轴、顶点坐标）、几何应用（矩形面积最值）、跨情境建模（火箭运行轨迹），分层考查抽象能力、运算能力与模型观念，适配月考学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|抛物线开口方向（第2题）、顶点位置（第4题）|结合图像判断方程根（第6题），考查几何直观| |填空题|4/12|抛物线与x轴交点（第13题）、平移后交点距离（第15题）|动态图形与函数结合（第16题矩形与抛物线公共点），培养空间观念| |解答题|8/72|解析式求解（第17题）、矩形面积最值（第21题）、火箭轨迹建模（第23题）|设计动点与面积关系（第24题），发展推理能力；通过实际情境（第23题），体现模型观念|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数，其对称轴为轴，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是轴， 故选：C． 2．已知二次函数的图象开口向下，则a的值可能是（    ） A．2 B．0 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．二次函数中，当时开口向上，当时开口向下，据此解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ， 则a的值可能是3， 故选：C． 3．把抛物线向下平移2个单位长度后，与y轴的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据平移的性质，求出新抛物线的解析式，再求与y轴的交点即可求解． 【详解】解：抛物线向下平移个单位得，， ∴把代入得，， ∴与y轴的交点的坐标为：． 故选：A． 4．若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式求出顶点坐标，再根据第二象限的点的坐标特征求解． 【详解】解：， 当时，y取最大值， 顶点坐标为， 顶点坐标在第二象限， ，， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式，第二象限的点的坐标特征，根据解析式求出顶点坐标是解题的关键． 5．已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可． 【详解】解：A、图象的开口向下，则，此选项不符合题意； B、对称轴在y轴右边且，则，此选项符合题意； C、图象与y轴正半轴相交，则，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键． 6．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像如图所示，则方程的根的情况是(    ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】直接根据抛物线与轴的交点情况即可得出答案． 【详解】解：二次函数的图像与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，正确利用数形结合的方法是解题关键． 7．已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据和可以确定抛物线的对称轴为，再由对称轴的，即可求出b．本题考查二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴抛物线的对称轴为：， ∴， ∴， 故选：A． 8．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴为直线，求得的对称点为，根据抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，进而即可判断的大小关系． 【详解】解：∵，对称轴为直线，图象开口向上， 当时，随的增大而减小，的对称点为， ∵点，，都在二次函数的图象上，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而减少；在对称轴右侧，随的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断． 9．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 10．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题可先通过抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y＝ax图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误； A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确； 故选：B． 【点睛】此题考查的是一次函数的图象及性质和二次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与系数关系和二次函数的图象及性质与系数关系是解决此题的关键． 11．如图，正方形的顶点D在抛物线（b为常数）上，顶点B、C的坐标分别是、，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，三角形全等，正方形的性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：作轴，轴，如图所示， 四边形为正方形， ，， ，， ，又， ， ，， 、， ，， ， ， 将代入抛物线，解得． 故选：A． 12．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”，若抛物线 (a、c为常数)上有且只有一个“黎点”，当时，则整数c的取值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．抛物线、为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，，可得结论． 【详解】解：抛物线、为常数）上有且只有一个“黎点”， 方程有且只有一个解， 即，， ， ， ， ． 整数c的取值有1、2共2个， 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13～16题各3分。 13．抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 14．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当或，二次函数的图象在一次函数的图象下方，进而得到的x的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当或，二次函数的图象在一次函数的图象下方， 的x的取值范围为或， 的x的取值范围为或， 故答案为：或． 15．在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是________ 【答案】2026 【分析】根据题意，可以先写出平移后的函数解析式，然后求出新函数图象与x轴的交点，从而可以计算出所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离． 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是求出新函数图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：二次函数的图象向上平移4个单位长度后的函数解析式为， 将代入， ∴ 解得，， 所得新函数的图象与x轴的交点坐标为，， ， 所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2026， 故答案为： 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点，经过，两点的函数的图象记为． （1）当时，的最低点坐标为_______． （2）当与矩形的边恰好有两个公共点时，______． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，二次函数的性质，顶点坐标，直接利用顶点坐标公式可得（1）的答案，再分析判定当顶点在上时，二次函数的图象与矩形有两个交点，从而可得答案. 【详解】解：（1）当时，二次函数为：， 当时，， ∴的最低点坐标为， 故答案为： （2）当时，， ∴, ∵四边形为矩形，为对称中心， ∴轴，且在直线上， 当抛物线的顶点在上时，图象与矩形恰好有两个交点， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20每题8分，21-22每题9分，23题11分，24每题12分。 17．已知二次函数的图象经过点，，求该二次函数的表达式． (1)求和的值； (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为4． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质： （1）代入点，，即可得到二次函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得： ， 解得， 二次函数解析式为：； （2）解：将点坐标代入得：． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． （2）解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 19．如图平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点O和点、点，，与抛物线交于点C．连接，． (1)直接写出的长度为________． (2)求的长度． (3)求这个二次函数的表达式． 【答案】(1)3 (2)5 (3) 【分析】本题重点考查平面直角坐标系、二次函数图象、平行线性质和待定系数法，理解图形关系并准确运用公式是解题的关键． （1）根据二次函数图象，结合点的坐标和平行关系求解即可； （2）过点向轴作垂线，垂足为，结合点坐标利用勾股定理求解即可； （3）设二次函数，代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过， ∴抛物线的对称轴为直线， 又，且，点与点关于对称， ∴， ∴； 故答案为：3； （2） 过点向轴作垂线，垂足为， 因为，， 所以， 所以． （3）二次函数的图象经过原点O和点、点， 设二次函数的方程为， 因为过， 所以，解得， 所以． 20．二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)-3，直线 (2)抛物线的解析式为；当时， (3) 根据图象可判断出当时，或． 【分析】（1）当时，，观察表格此时，∴， ∵和时，，∴根据对称性可知对称轴为直线； （2）代入两组数据，求出a、b的值即可，再代入，即可求出的值； （3）根据表中数据，在坐标系中描点、连线即可画出图象，再根据图象就能判断取值． 【详解】（1）（1）-3，直线 （2）设抛物线的解析式为： 分别代入，；， 得： 解得： ∴抛物线的解析式为 当时，，解得． （3）略 【点睛】本题考查二次函数的性质和图象、二次函数与一元二次方程的关系、作函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)填空：________； (2)区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 【答案】(1)； (2)区的面积能达到，的长为； (3)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 【分析】本题考查矩形的性质和一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，具有良好的应用意识是解题的关键． （1）根据矩形的性质，推出，结合区面积是区面积的一半，运用矩形面积公式即可求解； （2）先根据设，则，得出，根据面积公式结合题意建立一元二次方程组，即可求解； （3）先根据（2）得：，，，设矩形实验田面积为，根据矩形面积公式关于的二次函数关系式，再根据配方求出最值即可解题． 【详解】（1）解：∵矩形和， ∴，， ∵区面积是区面积的一半， ∴， 即：， ， ∴． （2）解：可以，理由如下： ∵由（1）得：， ∴设，则， ∴， ∵墙长为， ∴，解得： ∵栅栏总长为， ∴， ∴据题意得：， 解得：，（舍）， ∴当，区的面积为； （3）解：∵由（2）得：，，， ∵设矩形实验田面积为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴， ∴当时，矩形实验田ABCD的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 22．如图，二次函数的顶点坐标为，图象过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，, ，，直角边落在轴上，点在轴上方，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的特点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据顶点坐标设顶点式，代入点，即可求解； （2）根据题意点的纵坐标为1，当时，解出，，得到或，结合，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为 设 将代入得 函数的解析式为 即 （2）解：，，直角边在轴上 点的纵坐标为1 当时， 解得：， 或 或． 23．某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． (2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）①将代入抛物线和直线解析式并求解即可；②首先确定抛物线的顶点坐标，得出比火箭运行的最高点低的高度为，进而求得当时，对应的x的值，然后进行计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可获得答案． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴和直线， 解得； ②由①知，，， ∴， ∴火箭运行的最高点高度为， 当时，则有， 解得， 又∵时，， ∴将代入直线， 可得，解得， ∴火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低的两个位置分别为， ∵，， ∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为或； （2）解：当火箭落地点与发射点之间的水平距离超过时，火箭第二级的引发点为， 将，代入， 得，解得， ∴． 24．综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点， (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______ 【答案】(1) (2)5 (3) (4) 【分析】本题主要考查二次函数综合，勾股定理，全等三角形的判定和性质； （1）先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）根据A，B坐标求出，再结合，得到，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据题意证出，得到．设，得到，计算，解得，即可求出． （4）将线段向右平移一单位长度得到，得到四边形是平行四边形，得到，得到，作点关于对称轴的对称点，根据勾股定理得到    ，再结合，即可求出． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，， 解得，即； 当时，，即． ∵， ∴设抛物线的解析式为, 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，∵轴，即， ∴． ∵轴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴， 解得， 当时，， ∴． （4）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，将线段向右平移个单位长度得到， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即． 作点关于对称轴的对称点， 则， ∴     ∵， ∴的最小值为    ． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．已知二次函数的图象开口向下，则a的值可能是（    ） A．2 B．0 C．3 D．1 3．把抛物线向下平移2个单位长度后，与y轴的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像如图所示，则方程的根的情况是(    ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 8．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 10．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   11．如图，正方形的顶点D在抛物线（b为常数）上，顶点B、C的坐标分别是、，则b的值是（    ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”，若抛物线 (a、c为常数)上有且只有一个“黎点”，当时，则整数c的取值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13～16题各3分。 13．抛物线与轴只有一个交点，则________． 14．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围为______． 15．在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是________ 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点，经过，两点的函数的图象记为． （1）当时，的最低点坐标为_______． （2）当与矩形的边恰好有两个公共点时，______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20每题8分，21-22每题9分，23题11分，24每题12分。 17．已知二次函数的图象经过点，，求该二次函数的表达式． (1)求和的值； (2)若点在该函数图象上，求的值． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 19．如图平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点O和点、点，，与抛物线交于点C．连接，． (1)直接写出的长度为________． (2)求的长度． (3)求这个二次函数的表达式． 20．二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 21．如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)填空：________； (2)区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 22．如图，二次函数的顶点坐标为，图象过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，, ，，直角边落在轴上，点在轴上方，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 23．某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． (2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 24．综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点， (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13～16题各3分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20每题8分，21-22每题9分，23题11分，24每题12分。 17.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 22．（9分） 23．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A[B][C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13~16题各3分。 13. 14. 15. 16 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20每题8分，21-22每题9分，23题11 分，24每题12分。 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 20.(8分) 65432 T- 6543210123456元 23 4 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) 50m E 区 区 B F 22.(9分) C OA B 23.(11分) y/km (火箭第二级的引发点) (发射点)O (地平线)9 (落地点)x/km 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D B B A A B A B 第IⅡ卷 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13~16题各3分。 13.9 14.x<-3或x>0 15.2026 16 2 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20每题8分，21-22每题9分，23题11分， 24每题12分。 17.【详解】（4)解：将点L0),-2)代入二次西数”=+r+c得： 1-b+c=0 1+b+c=-2, b=-1 解得c=-2, ·二次函数解析式为： y=x2-x-2 ；(4分) （-2,m) (2)解：将点 坐标代入’=r-r-2 得：m=4+2-2=4.(7分) 119 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.【详解】(1)解：·关于x的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实数根， ·此方程根的判别式△=(2k+-42+)>0 解得 4·(4分) (2)解：由题意得： xx32=K2+1=5 解得k=-2或k=2, 3 由(1)已得：k> 4 则k的值为2.(8分) 19.【详解】(1)解：：抛物线过O0,0),B(5,0) 0+55 ∴抛物线的对称轴为直线x= 22 5 又4COB,且A,3),点C与点4关于x=2对称， .C(4,3), .AC=4-1=3: 故答案为：3；(2分) (2) 过点A向x轴作垂线，垂足为E, 因为.3)B50) 所以OE=1,AE=3,OB=5,BE=OB-OE=4, 所以4B=VAE+BE=V3+4=5.(5分) 219 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)二次函数的图象经过原点O和点 43)、点B(50) 设二次函数的方程为"=a(x-0(x-5) 因为过4(，3) 所以3=a1-01-5),解得a= 4 所以--列=+ x.(8分) 20.【详解】(1)(1)-3，直线x=1(2分) y=ax2+bx-3 (2)设抛物线的解析式为： 分别代入x=-1,y=0:x=3,y=0 a-b-3=0 得： 9a+3b-3=0 [a=1 解得：b=-2 =x2-2x-3 ∴抛物线的解析式为 当少5 ，-2x-3=5,解得 =4，X2=-2 .(5分) (3) 5 2 6-5-4-3-2- 1O12B456x 根据图象可判断出当0<y<5时，-2<x<-1或3<x<4.(8分) 3/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.【详解】(1)解：，矩形ABFE和EFCD, :.AB=EF=DC,∠ABF=∠EFC=90°， ,I区面积是Ⅱ区面积的一半， 2S矩形ABFE=S矩形EFCD 即：2AB·BF=EF.CF, 2BF=CF, CF :.BF =2.(2分) (2)解：可以，理由如下： 由(1)得：2BF=CF, ,设BF=xm,则CF=2xm, .'BC=BF+CF=3xm, 墙长为50m, 六3xs50,解得：xs50 m ,栅栏总长为90m, 4B-EF-CD-90-BC-(30-x)m 3 ∴.据题意得：x(30-x)=200. x=10龙2=20 解得： (舍)， .当BF=10m,I区的面积为200m2;(6分) 0 (3)解：：由(2)得：4B=(30-x)m,BC=3m,x≤ m 3 ,设矩形实验田ABCD面积为y, .y=3x(30-)=-3r2+90x=-3(x-15}+675 -3<0」 ∴.当x=15时，y有最大值为675， .BC=3×15=45m. ,当x=15时，矩形实验田ABCD的面积最大，最大面积是675m,此时，与墙平行的一边BC为45m. 4/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (9分) 22.【详解】(1)解：二次函数的顶点坐标为(2,5) 设'=a-22+5a≠0 将0) 代入得a=-1 六函数的解析式为 =-(x-2)2+5 即y=-r+4x+1 (5分) (2)解：：AC=1,∠BAC=90°，直角边AB在x轴上 ∴·点C的纵坐标为1 当y=1时，-x2+4x+1=1 x=0x2=4 解得： 40,0叭或4,0叭 4B=I 9 B(20)或30).(9分) 23.【详解】(1)解：①火箭第二级的引发点的高度为3.6km, (9,3.6) .∴抛物线和直线均经过点 1 ÷3.6=ax9+9和直线3.6=2×9+b, 解得a三-15，b=81:(2分) 1 ②由①知，y=15 产+x,y= 2x+8.1 4， 5/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 km ∴火箭运行的最高点高度为4 -135=24m时，则有5+x=24, 1 当y= 4 =12,x2=3 解得 又，x=9时，y=3.6>2.4, 1 将y=2.4km代入直线y=2x+8.1, 1 可得2+8.1=24，解得x=114 火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低1,35km的两个位置分别为3,24)，(014,2.4) -0-9旷e4-3可j-6.04-j+e4-30-g5. 5 6V26, 65 -km km ∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为5或5；(7分) 8km时，火箭第二级的引发点为 9,81a+9) (2)解：当火箭落地点与发射点之间的水平距离超过 1 将(9,81a+9),(18,0)代入y=- x+b 2 81a+9=-x9+b 2 1 得 1x18+b 0二2 ，解得a= 18, b=9 1 .18 a<0.(11分) 24.【详解】(1)解：：直线y=2-2与x轴交于点4，与y轴交于点C, “当y=0时，0=2x-2, 解得r=4,即1(4,0) 当x=0时，y=-2,即C(0,-2). 619 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B(-L0) 一设抛物线的解析式为'=a(c+1(xr-4)a≠0) 把C(0,-2)代入，得-4a=-2, 解得0=2， 6物线的解打式为r+c-)--2-2.(3分) (2)解：·1(4,0).B(-1,0) .AB=5, C0,-2), .h=2, BA*5x2=5.(6分) .S.40C= (3)解：如图，：PE∥x轴，即EP‖BA, .∠PEF=∠OAC. PF∥y轴， ∴.∠PFE=∠OCA 又，EF=AC, △AOC≌△EPF, .'.PF=OC=2 设Pmm- 1 -m-2j水0<ms.rmm-2j ,则 m-2-m2-3m PF=1 272-5n+2=三n+2n, 2 “2㎡+2m=2, 解得m=2, 719 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当m=2时，×2-3x2-2=3 1 2 P(2,-3) (9分) 4解：“抛物战的解折式为y- 2-2. ·抛物线的对称轴为直线x=2 3 如图，将线段N4向右平移2个单位长度得到MG, B G E NM ANGM,AN=GM, ∴.四边形MNAG是平行四边形， ·4G=Mw=3 :0G=01+4G= 号， 3 作点P(2,-3)关于对称轴x=2的对称点1，-3)， MP =MP 则 o--(30或 :NM+MP=MG+MR≥PG=3 2 8/9 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 313 .NA+MP的最小值为 2. 3V13 故答案为：2.(12分) 919………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．已知二次函数的图象开口向下，则a的值可能是（    ） A．2 B．0 C．3 D．1 3．把抛物线向下平移2个单位长度后，与y轴的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像如图所示，则方程的根的情况是(    ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 8．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 10．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   11．如图，正方形的顶点D在抛物线（b为常数）上，顶点B、C的坐标分别是、，则b的值是（    ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”，若抛物线 (a、c为常数)上有且只有一个“黎点”，当时，则整数c的取值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题有4个小题，共12分，13～16题各3分。 13．抛物线与轴只有一个交点，则________． 14．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围为______． 15．在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是________ 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点，经过，两点的函数的图象记为． （1）当时，的最低点坐标为_______． （2）当与矩形的边恰好有两个公共点时，______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17题7分，18-20每题8分，21-22每题9分，23题11分，24每题12分。 17．已知二次函数的图象经过点，，求该二次函数的表达式． (1)求和的值； (2)若点在该函数图象上，求的值． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 19．如图平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点O和点、点，，与抛物线交于点C．连接，． (1)直接写出的长度为________． (2)求的长度． (3)求这个二次函数的表达式． 20．二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 21．如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)填空：________； (2)区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 22．如图，二次函数的顶点坐标为，图象过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，, ，，直角边落在轴上，点在轴上方，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 23．某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． (2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 24．综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点， (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $