03不等式及其解法题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦不等式及其解法高考核心考点，涵盖不等式性质、三个“二次”关系、分式与绝对值不等式解法及恒成立问题，按知识梳理-题型突破逻辑架构，通过考点系统梳理、解题方法指导、分层真题训练环节，帮助学生构建完整知识网络与解题思路。 资料采用问题驱动与素养导向设计，如恒成立问题教学中，通过分离参数法与变换主元法对比，培养学生数学思维与模型意识，设置基础题与分类题型练习，配合详细解析即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

不等式及其解法 一、知识梳理 1. 不等式的概念与性质 1. 不等式的性质 对称性: 传递性: 可加性: 可乘性: 移项法则: 同向可加性: 同向同正可乘性: 可乘方性: 可开方性: 2. 不等式的倒数和分数性质 (1) 倒数性质: . (2) 分数性质: 若 ,则: 2. 不等式的解法 1. 三个 “二次” 之间的关系 判别式 : 一元二次方程 有两个相异实根 ; 一元二次不等式 的解集为 ; 一元二次不等式 的解集为 : 一元二次方程 有两个相等实根 ,一元二次不等式 的解集为 , 一元二次不等式 的解集为 . : 一元二次方程 无实根,一元二次不等式 的解集为 , 一元二次不等式 的解集为 . 注: 在不等式 中,如果二次项系数 ,则可先根据不等式的性质,将其转化为正数, 再对照上述关系求解. 2. 分式不等式的解法 (1) ; (2) 3. 绝对值不等式的解法 (1) ; (2) 或 ; (3) ; (4) 含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解, 也可以用图象法求解. 3. 一元二次不等式恒成立问题 1. 不等式解集法 不等式 在 时恒成立 集合 是不等式 的解集 的子集. 通过求出不等式的解集, 利用集合间的关系得出参数的取值范围. 2. 分离参数法 不等式 恒成立 或 恒成立 或 ,进而求得 的最值即可. 该方法适用于参数与变量易分离, 且函数最值易求得的题目. 3. 变换主元法 更换变元与参数的位置, 构造以参数为变量的函数, 根据原变量的取值范围列式求解. 一般地, 知道谁的范围, 就选谁当主元, 求谁的范围, 谁就是参数. 4. 数形结合法 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点处的函数值或函数图象的位置 (相对于 轴) 关系求解. 注:1. 一元二次不等式在 上恒成立的条件 (1)不等式 对任意实数 恒成立的条件是: ① 当 时， ； ② 当 时， (2)不等式 对任意实数 恒成立的条件是: ① 当 时， ； ② 当 时， 2. 一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法 设 . (1)当 时， 在 上恒成立 或 在 上恒成立 (2) 当 时, 在 上恒成立 在 上恒成立 或 或 . 二、练习题 基础题 1. 不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 2. 设函数 . 若对于 恒成立,求 的取值范围. 题型1　利用不等式性质比较大小 3. (多选) 若 ，则下列结论中正确的是 ( ) A. B. C. D. 4. 若 为实数,且 ,则下列不等关系一定成立的是 ( ) A. B. C. D. 5. 若 ,则一定有 ( ) A. B. C. D. 题型2　作差(商) 法比较大小问题 6. 已知实数 ,则下列结论一定正确的是 ( ) A. B. C. D. 7. 若 ,则 与 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 不能确定 题型3　解含参数的一元二次不等式 8. 若关于 的不等式 的解集不为空集,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 9. (多选) 已知函数 有且只有一个零点,则 ( ) A. B. C. 若不等式 的解集为 ,则 D. 若不等式 的解集为 ,且 ,则 题型4　三个 “二次” 之间的关系应用 10. 若不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为 ( ) A. B. 或 C. 或 D. 11. 若不等式 的解集为 ,则函数 的图象可以为 ( ) A.B.C.D. 12. (多选) 已知关于 的不等式 的解集为 或 ,则下列说法正确的是 ( ) A. B. 不等式 的解集为 C. 不等式 的解集为 D. 题型5　转化为函数求最值 13. 当 时， 恒成立，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 14. 设函数 ,若对于任意的 恒成立,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. 或 D. 题型6　分离出参数后求最值 15. 若对任意的 恒成立，则 的取值范围是___ ( ) A. B. C. D. 16. 若 ,不等式 恒成立,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 参考答案与解析 1. 选 A. 令 ,则 对一切 均大于 0 恒成立. 则有 化简得 解得 故 或 . 2. 要使 在 上恒成立. 则 在 上恒成立. 因为 . 因为 ,所以 . 又因为函数 在 上单调递减. 所以 ,所以 . 所以 的取值范围是 . 3. 选 ABD. 因为 ,所以 . 对于 ,由于 在 上单调递减,所以当 时, ,故 正确. 对于 ,不等式两边同乘负数 得 ,故 正确. 对于 ,因为 ,所以 ,故 错误. 对于 ,由于 在 上单调递增,所以当 时, ,故 正确. 4. 选 A. 对于 ,由不等式的基本性质知, ,正确; 对于 ,若 ,则 ,错误; 对于 ,由不等式的基本性质知, ,错误; 对于 ,又 ,所以无法判断 与 的大小,错误. 5. 选 D. 方法 1 由 ,结合 得 0,又 ,所以 . 方法 2 依题意取 ,代入验证得 均错,只有 正确. 6. 选 D. 由已知条件可得 . 对于 ,若 ,则 ,则 ,故 错误; 对于 ,若 ,则 ,故 ,故 错误; 对于 ,若 ,则 ,故 错误; 对于 ,因为 ,所以 且 ,因此 ,因此 D 正确. 7. 选 B. 因为 , 所以 . 8. 选 C. ① 当 ,即 或 时. 若 ,则 ,解集不为空,符合题意; 若 ,则 ,不等式无解,不符合题意,舍去. ② 当 ,即 或 时,不等式解集必不为空,符合题意; ③ 当 时,若使不等式解集不为空,则应满足条件 解得 . 综上,可得实数 的取值范围为 . 9. 选 ABD. 因为函数 有且只有一个零点,所以必有 ,即 时,等号成立,即有 ,故 A 正确; ,当且仅当 时,取得等号,故 正确; 由不等式 的解集为 ,知 为方程 的两根,可得 ,故 C 错误; 由不等式 的解集为 ,知 为方程 的两根,可得 ,则 ,解得 ,故 正确. 10. 选 C. 由不等式 的解集为 ,得 与 是方程 的两根,且 ,由根与系数的关系知 , 即 ,则不等式 为 , 整理得 ,即 ,由 得 或 . 11. 选 C. 由题意可得 -1 和 是方程 的两个根,且 . 所以 得 . 则 . 其图象开口向下,与 轴交于 . 12. 选 AC. 由已知条件可知，二次函数 图象的开口向上，即 ，故 A 正确； 对于 ,由已知得,方程 的两根为 -3,4,由根与系数的关系得 解得 因此 ,由于 ,所以 ,则不等式 的解集为 ,故 不正确; 对于 ,由 的分析过程可知 所以 或 ,所以不等式 的解集为 ,故 C 正确; 对于 ,故 不正确. 13. 选 D. 设 ,因为当 时, 恒成立. 所以只需 即 解得 . 14. 选 D. 若对于任意的 恒成立. 则 在 上恒成立. 令 . 当 时， 恒成立； 当 时， 图象的开口向下，且在 上单调递减，所以在 上。 ,解得 ,故有 ; 当 时, 图象的开口向上,且在 上单调递增,所以在 上 ,解得 . 综上,实数 的取值范围为 . 15. 选 A. 对任意的 恒成立可转化为对任意的 , 恒成立,记 ,又因为当 时, , 所以 ,即 的取值范围是 . 16. 选 D. 由于 ,不等式 恒成立. 所以 恒成立,即 恒成立. 令 ,显然, 在 上单调递减. 则 . 所以实数 的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $