4.4 一次函数的应用 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数应用，通过基础概念理解、图像信息提取到复杂情境建模的三阶分层设计，强化从数学眼光观察、数学思维推理到数学语言表达的素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方程与函数关系、图像交点|单选1-4直接关联概念，填空11-12强化图像读取，培养抽象能力| |中档|分段函数、行程问题|单选5-8结合几何动态与图像分析，填空13-14涉及实际情境建模，发展推理意识| |综合|方案优化、跨学科应用|解答16-20整合利润计算与行程相遇问题，如20题登山运动函数建模，提升模型观念与应用意识|

4.4 一次函数的应用 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 4．如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(    )    A．10 B．16 C．18 D．20 6．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 7．甲、乙、丙、丁四位同学参加“欢乐跑”活动，图中的四个点分别描述了他们跑的路程（m）与时间（h）的情况，则四人中速度最快的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，过动点且垂于x轴的直线与、．的交点分别为C，D．当点C位于点D上方时，则n的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 9．如图所示，反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 10．在物理实验探究课上，某小组利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他们把得到的拉力和所悬挂重物的重力的几组数据绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（    ） A．当时， B．当拉力时，重物的重力 C．拉力随着重物重力的增大而增大 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 二、填空题 11．两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是______ 填“”或“； 甲的速度是______ ，乙的速度是______ ． 12．如图，已知一次函数的图像如图所示，则方程的解为______ ；若点和点在一次函数的图像上，则______ 用“>”“<”或“=”连接 13．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，C是线段上一点，，则点C的坐标为______． 14．五一节期间，某商场进行打折促销活动，购物不超过200元按原价购买，购买超过200元的部分打八折，小明购买了原价为元的商品，则小明实付金额（元）与商品原价（元）之间的关系式为____________． 15．声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 三、解答题 16．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 18．定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C ①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）； ②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 19．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 20．两兄弟进行登山运动，从山脚的北温泉出发，目的地是缙云山的主峰狮子峰，哥哥走了2千米后弟弟才出发，图中表示弟弟出发后两兄弟离北温泉的距离s随时间t变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题： (1)分别求出表达哥哥和弟弟登山过程中离北温泉的距离s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (2)当哥哥到达目的地时，弟弟行进到山路上的某点A处，求A点距目的地的距离； (3)若哥哥到达目的地后休息1小时，沿原路下山，途中与弟弟相遇，相遇后各自按原路线下山和上山，问弟弟出发后经过多少小时与哥哥相遇以及此时离目的地的距离． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A A A A A B A 1．【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的图像，根据选项依次判断即可． 【详解】A、图像表示每吨的价格不变，不符合题意； B、图像表示用水到一定量后，每吨的价格下降，不符合题意； C、图像表示用水到一定量后，每吨的价格上升，符合题意； D、图像表示用水量在一定量以前，总价不变，用水到一定量后，每吨的价格上升，不符合题意． 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 5．【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合 【分析】由题意知：，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：根据图可知当点在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在，之间； 所以在直角梯形中，，． 连接， ∴面积为 故选：A． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 6．【答案】A 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 7．【答案】A 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，画出函数图象，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图象可知：相同时间内，甲跑的路程最远， 故四人中速度最快的是甲； 故选A． 8．【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】根据题意先画图，满足点C位于点D上方，再根据图象作答即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点，过动点且垂于x轴的直线与、．的交点分别为C，D． 当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图：    由图象可知：． 故选A 【点睛】本题是一次函数综合题，相交问题，解题的关键是学会利用图象，根据条件确定横坐标的取值范围． 9．【答案】B 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，能够通过图象得到该公司盈利时的取值范围是本题的关键． 根据图象找出在的上方即收入大于成本时，x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象分析可得：两条直线交点为，也就是销售收入与销售成本相等， 所以公司盈利需要大于4万件． 故选B． 10．【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．由函数图象可以直接判断A、C，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把，代入函数解析式求出对应的G和F即可判断B、D． 【详解】解：由图象可知，拉力F与重力G成一次函数关系，拉力F随着重力的增大而增大， 当时，，故A结论错误，符合题意，C结论正确，不符合题意； 设拉力F与重力G的函数解析式为，则， 解得， ∴， 当时，，解得，故B结论正确，不符合题意； 当时，拉力，故D结论正确，不符合题意； 故选：A． 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的图像，从函数图像中找到正确的信息是解题的关键． 根据图像可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是，由图像可得，甲走需要2小时，乙走需要3小时，即可解答． 【详解】解：由图像，可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是； （），（）， ∴甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：；30；20． 12．【答案】 4 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、比较一次函数值的大小 【分析】此题主要考查了一次函数图像与一元一次方程，关键是正确利用数形结合的方法从图像中找到正确答案；根据一次函数的图像经过点，进而得到方程的解；再根据函数的增减性解答即可． 【详解】解：根据图像可得，一次函数经过点， 因此关于x的方程的解； 由图象可知，y随x的增大而增大， ， 故答案为：4；． 13．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，熟练掌握一线三垂直证明全等是解答本题的关键． 首先得，，作，交直线于点，作，垂足为点，利用证明得到，，设，则，，将点代入直线解析式解出值即可． 【详解】解：如图，作，交直线于点，作，垂足为点， ， ， ， ， ，， 直线解析式为直线， ，， 设则，， 点在直线的图象上， 解得： ，． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式是解题的关键． 根据商场所购买超过200元的部分打八折，可得出y与x的函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 即， 故答案为：． 15．【答案】1640 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 16．【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 17．【答案】(1) (2)点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0求解即可； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在轴上的点，其纵坐标． 把代入，可得， 解得， 所以． 在轴上的点，其横坐标． 把代入，可得， 所以． 所以； （2）设点的坐标为， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或 ． 18．【答案】（1）①﹣2，2，2；②（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）；（2）﹣2＜m≤． 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）①令±2x+4=0，解得x=2或-1，从而求得A、B的坐标分，根据图像点C（1，3）； ②当点P在x轴上方时，根据题意得出点P、C所在的直线与x轴平行，进而求解；当点P在x轴下方时，同理可得：-3=±2x+4，即可求解； （2）分两种情况讨论；列出关于m的方程，求得m的值，结合图像即可求得m的取值范围． 【详解】解：令±2x+4=0，解得x=2或-1， 故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（2，0）， ∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则-2＜m≤2； （1）①从图像看，x=1时，y=-2x+4=2，故点C（1，2）； 故答案为-2，2，2； ②当点P在x轴上方时， ∵S△ABC=S△ABP，C（1，2）， 故点P的纵坐标为3， 当y=2x+4=3时，x=-，故点P（-，3）； 当点P在x轴下方时， 同理可得：-3=±2x+4，解得x=±， 故点P的坐标为（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）； （2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时， 当m≥0时，点C（m，4﹣2m）， 将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m，解得m＝； ∴0≤m≤， 当m＜0时，m＝2m+4， 解得m＝﹣4， ∴-4＜m＜0 又∵﹣2＜m≤2， ∴﹣2＜m≤． 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键． 19．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】梯度计价问题 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 20．【答案】(1)哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为． (2)A点距目的地的距离为千米． (3)弟弟出发后经过小时与哥哥相遇，此时离目的地的距离为千米． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）设哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，设弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为，进一步利用待定系数法求解即可． （2）当时，哥哥到达目的地，再进一步求解即可． （3）设哥哥下山的函数关系式为，结合题意可得在函数图象上，进一步可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设哥哥登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为 ， 把，代入得： ， 解得：， ∴， 设弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为， 把代入得：， ∴， ∴弟弟登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式为． （2）解：当时，哥哥到达目的地， ∴， ∴A点距目的地的距离为（千米）． （3）解：设哥哥下山的函数关系式为，结合题意可得在函数图象上， 把，代入得： ， 解得：， ∴哥哥下山的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴， ∴弟弟出发后经过小时与哥哥相遇，此时离目的地的距离为千米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $