广东省广州市八年级数学上学期单元整合作业（人教版第13-14章）

该初中数学单元复习作业设计系统整合了三角形（性质、分类、边角关系）与全等三角形（判定与性质）核心知识，通过“基础巩固+真题实战+探究拓展+跨学科实践”四级体系梳理知识点，构建从基础概念到综合应用的逻辑网络。 其亮点在于分层进阶设计，如探究题型中的“手拉手模型”培养逻辑推理能力，跨学科实践题结合物理测量体现模型观念，适配学困生巩固、中等生拔高、优等生拓展，助力学生全面提升，教师可精准把握学情。

简一数理 作业设计大赛 固本拓思·探构求真——三角形与全等三角形 单元分层进阶作业设计 项目 填写内容 作品名称 固本拓思·探构求真——三角形与全等三角形单元分层进阶作业设计 学段学科 初中 数学 适用年级 八年级 教材版本 人教版八年级上册 对应内容 第十一章 三角形、第十二章 全等三角形（全章单元整合作业） 作业类型 单元整合分层作业（基础巩固+真题实战+探究拓展+跨学科实践） 完成时长 总时长90分钟（分层选做，弹性完成） 设计者 简一数理 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应初中数学核心素养为几何直观、逻辑推理、数学运算、模型观念。要求学生掌握三角形的基本性质、分类、边角关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，达成“能进行几何图形的识别、推理证明，能运用几何知识解决实际问题，形成严谨的逻辑思维”的学业质量标准。 教材地位：三角形是初中几何最基础的封闭图形，是后续四边形、圆、几何变换学习的基础；全等三角形是初中几何第一次系统的逻辑证明与图形变换应用，是几何推理入门的核心内容，承载着从“直观识图”到“严谨证明”的思维跨越，培养学生数形结合、演绎推理的数学思想，树立严谨的数学治学观念。 教学重难点：重点为三角形三边关系、内角和定理、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质应用；难点为几何辅助线构造、全等模型识别、复杂情境下的推理证明、几何知识的实际与跨学科应用。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 八年级学生已在小学初步认识三角形，掌握锐角、直角、钝角的基础概念；七年级掌握相交线、平行线的简单推理，具备基础的识图能力和简单几何说理能力，能够识别基本几何图形，具备初步的数学运算能力。 现有困惑 学生容易混淆全等三角形的判定定理，无法根据题干条件灵活选择判定方法；不会主动构造辅助线解决边角证明问题；几何推理过程书写不规范、逻辑断层；难以将抽象的几何模型和生活、其他学科场景结合，应用能力薄弱。 差异分析 学困生仅能完成基础概念辨析、简单计算，无法完成推理证明；中等生可掌握基础题型和常规证明，但复杂题型、变式题型解题能力不足；优等生基础扎实，具备一定推理能力，需要探究性、创新性、实践性作业拓展思维。本次作业采用分层设计，适配全体学生学情。 3. 设计意图 本次单元作业打破传统刷题模式，依托两章核心知识点，采用「基础固本—真题实战—探究拓思—实践赋能」四级编排体系，通过20道基础题型夯实核心知识、规范解题习惯，10道中考真题对接考情、提升应试能力，3道探究题型突破思维瓶颈、培养创新推理能力，3道跨学科实践题型实现知识融合、落实核心素养，分层适配不同层次学生，实现从知识识记、能力运用到思维创新、实践应用的全方位提升。 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记三角形分类、三边关系、内角和、外角性质，熟记全等三角形的性质与五大判定定理，能准确辨析定理适用条件 几何直观、数学抽象 基础题型正确率、概念辨析准确率 能力运用 B 运用三角形性质、全等判定方法，解决计算、证明、中考常规题型，规范几何解题步骤与推理书写 逻辑推理、数学运算 解题步骤完整性、方法选用准确性、真题解题正确率 思维发展 C 通过探究题型，学会归纳全等几何模型、构造辅助线，具备变式思考、归纳概括、创新解题的思维能力 逻辑推理、创新意识 探究过程思路、模型归纳总结、创新解题方法 情感态度 D 感受几何图形的对称美、逻辑美，体会数学与生活、物理、美术等学科的融合价值，养成严谨的治学态度和主动探究的学习习惯 模型观念、科学态度 实践作业完成质量、学习反思、创新设计成果 整体体例：一、重点基础题型20题｜二、真题感知10题｜三、探究式学习3题｜四、跨学科实践3题（总题量36题，分层梯度清晰） 题号区间 题型板块 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1-20 重点基础题型 涵盖三角形分类、三边关系、内外角计算、多边形内角和、全等图形辨析、全等性质计算、基础判定证明等基础考点，选择、填空、简答全覆盖 A、B 全覆盖两章基础知识点，排查知识漏洞，夯实概念识记与基础运算、简单推理能力，规范基础解题步骤，适配学困生、中等生巩固提升 答案精准，步骤完整；基础计算无失误，定理运用准确即可得分 21-30 真题感知 精选近三年各地八年级期末、中考基础&中档真题，包含三角形边角综合计算、全等三角形常规证明、图形变式题型 A、B 对接考场命题趋势，打破课本局限，让学生熟悉真题题型、设问方式，提升知识迁移和应试解题能力，适配中等生拔高训练 解题方法贴合考场标准，推理逻辑清晰，答案正确，步骤规范可得分，轻微步骤疏漏酌情扣分 31-33 探究式学习 包含全等模型探究（手拉手、一线三等角）、动点几何探究、条件开放/结论开放型几何推理题 B、C 跳出固定解题套路，引导学生自主观察、归纳、猜想、证明，培养几何建模、动态思维、创新推理能力，适配优等生思维拓展 有完整探究过程、猜想合理、证明严谨，有自主模型总结可获满分；思路合理但不够完整可酌情给分 34-36 跨学科实践 结合物理测量、美术设计、生活工程测量的实操类、应用型几何题目，侧重知识融合与动手实践 B、C、D 落实跨学科核心素养，让学生体会数学实用性，打破学科壁垒，培养实践能力、创新意识和学以致用的数学思维 实践方案合理、原理运用正确、成果完整，有自己的思考与设计可获满分 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 20道基础题型全对，概念、定理辨析精准，无知识性错误 基础题型少量计算、细节错误，核心概念无偏差 基础知识点混淆，错题较多，概念掌握不扎实 20% 能力运用 真题题型解题方法恰当，推理过程完整规范，步骤清晰，正确率高 真题解题思路基本正确，存在少量步骤缺失，不影响核心结论 解题方法错误，推理过程缺失，无法完成真题解答 30% 思维发展 探究题观点明确，模型归纳到位，论证严谨，有独特解题思路和创新方法 能完成探究任务，思路清晰，但总结深度不足，无创新思考 探究思路混乱，无法自主推理，缺乏解题依据 30% 情感态度 主动完成全部作业，积极思考探究，实践作业设计用心，能自主反思错题、总结方法 态度端正，按要求完成所有作业，基本参与实践探究 作业完成被动、敷衍，实践探究未参与，缺乏反思意识 20% （一） 重点基础题型20题（分层保底，全覆盖考点） 题型配比：选择14题、填空3题、简单证明/计算3题 考点全覆盖：三角形分类、三边关系、内角和与外角性质、多边形内角和、高线/中线/角平分线性质、全等图形定义、全等三角形性质、SSS/SAS/ASA/AAS/HL五大判定定理基础应用，无偏难怪题，保证全员可做、全员会做。 设计亮点：错题溯源标注，每道题对应课本知识点页码，方便学生查漏补缺，适配单元巩固需求。 1．（25-26七年级下·上海·期末）在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 2．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（     ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 3．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 7．（25-26八年级上·广西北海·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．若，则， C．对顶角相等 D．完全重合的两个图形全等 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·福建厦门·期中）为证明等腰三角形的两底角相等，下面作辅助线的方法中正确的是（    ） A．作边上的中线 B．作的平分线，经过的中点 C．过点作的垂直平分线 D．作的平分线，使得 13．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 14．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 16．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，那么 _______． 17．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 18．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 19．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，．求证：． 20．（25-26七年级下·福建福州·期末）点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． （2） 真题感知10题（对接考情，梯度进阶） 选题来源：精选2026年全国中考真题，剔除超纲题型，贴合本章考点。 题型设置：选择6道、填空2道、解答2道。 21．（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 22．（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 24．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 25．（2026·四川泸州·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，，，平分，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 26．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 27．（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 28．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 29．（2026·广东广州·中考真题）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 30．（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． （三）探究式学习3题（思维拔高） 探究1：静态模型探究——全等三角形经典手拉手模型探究，自主证明模型结论，归纳通用解题规律。 探究2：动态几何探究——三角形动点问题，探究运动过程中全等关系是否成立，培养动态思维。 探究3：开放题型探究——条件补充/结论猜想开放题，让学生自主设计条件、完成证明，培养创新思维。 31．（探究题）（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 32．（探究题）（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 33．（探究题）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究： (1)如图是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是 ． (2)如图是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若， ，求的面积（用含的代数式表示） (3)小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由． （四）跨学科实践3题（特色创新） 跨物理/化学：根据实际情况构造全等三角形几何模型。 跨美术/设计：利用全等三角形的对称性、全等特性，设计几何模型、轴对称几何图案，解释图案设计中的全等原理。 34．（跨学科题）（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． (1)试说明：； (2)求的长．（用含a，b的式子表示） 35．（跨学科题）（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合探究与应用 (1)如图1，在中，，，若于E，于D，则与的数量关系是________． (2)如图2，在中，，，D点为边上一动点，连接，作且，连接交于F点，若，．求证：点D为中点． (3)为打造“智慧校园+美学空间”，某校计划在校园一处生态种植区中布设智能感应灯带系统．经测量，中，，米，．系统采用“双光源联动结构”，如图3，以定点A为控制中心，投射点D可在射线上调节；同时在A处与垂直方向安装用于对称补光的补偿灯E，使，（点E在点D的右边）．灯带线路与主控制线所在直线交于点F，该点将作为线路转接与分线的物理点位．施工员测得当前D点到B点的距离米，请直接写出此时的长度． 36．（跨学科题）（23-24七年级下·江苏苏州·期末）“学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究： 项目主题 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” 项目任务 项目一：测量锥形容器内部底面内径 项目二：测量斜坡的倾斜角度 所需材料 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等 正方形板、指针、重锤、打印机等 测量方案示意图                                   实施步骤 1．用螺丝钉将两根小棒在它们的中点O处固定； 2．再将两根小棒的A、B端分别置于杯子内部底面内径的两端； 3．用刻度尺测量两根小棒的C、D端之间的距离． 1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”； 2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定； 3．读出指针所对的的度数． 测量数据 项目结论 锥形容器内部底面内径 斜坡的倾斜角度为 (1)项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 _______； A．  B．  C．  D． (2)项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，请你证明：． 化繁为简、一通百通 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 作业设计大赛 固本拓思·探构求真——三角形与全等三角形 单元分层进阶作业设计 项目 填写内容 作品名称 固本拓思·探构求真——三角形与全等三角形单元分层进阶作业设计 学段学科 初中 数学 适用年级 八年级 教材版本 人教版八年级上册 对应内容 第十一章 三角形、第十二章 全等三角形（全章单元整合作业） 作业类型 单元整合分层作业（基础巩固+真题实战+探究拓展+跨学科实践） 完成时长 总时长90分钟（分层选做，弹性完成） 设计者 简一数理 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应初中数学核心素养为几何直观、逻辑推理、数学运算、模型观念。要求学生掌握三角形的基本性质、分类、边角关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，达成“能进行几何图形的识别、推理证明，能运用几何知识解决实际问题，形成严谨的逻辑思维”的学业质量标准。 教材地位：三角形是初中几何最基础的封闭图形，是后续四边形、圆、几何变换学习的基础；全等三角形是初中几何第一次系统的逻辑证明与图形变换应用，是几何推理入门的核心内容，承载着从“直观识图”到“严谨证明”的思维跨越，培养学生数形结合、演绎推理的数学思想，树立严谨的数学治学观念。 教学重难点：重点为三角形三边关系、内角和定理、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质应用；难点为几何辅助线构造、全等模型识别、复杂情境下的推理证明、几何知识的实际与跨学科应用。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 八年级学生已在小学初步认识三角形，掌握锐角、直角、钝角的基础概念；七年级掌握相交线、平行线的简单推理，具备基础的识图能力和简单几何说理能力，能够识别基本几何图形，具备初步的数学运算能力。 现有困惑 学生容易混淆全等三角形的判定定理，无法根据题干条件灵活选择判定方法；不会主动构造辅助线解决边角证明问题；几何推理过程书写不规范、逻辑断层；难以将抽象的几何模型和生活、其他学科场景结合，应用能力薄弱。 差异分析 学困生仅能完成基础概念辨析、简单计算，无法完成推理证明；中等生可掌握基础题型和常规证明，但复杂题型、变式题型解题能力不足；优等生基础扎实，具备一定推理能力，需要探究性、创新性、实践性作业拓展思维。本次作业采用分层设计，适配全体学生学情。 3. 设计意图 本次单元作业打破传统刷题模式，依托两章核心知识点，采用「基础固本—真题实战—探究拓思—实践赋能」四级编排体系，通过20道基础题型夯实核心知识、规范解题习惯，10道中考真题对接考情、提升应试能力，3道探究题型突破思维瓶颈、培养创新推理能力，3道跨学科实践题型实现知识融合、落实核心素养，分层适配不同层次学生，实现从知识识记、能力运用到思维创新、实践应用的全方位提升。 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记三角形分类、三边关系、内角和、外角性质，熟记全等三角形的性质与五大判定定理，能准确辨析定理适用条件 几何直观、数学抽象 基础题型正确率、概念辨析准确率 能力运用 B 运用三角形性质、全等判定方法，解决计算、证明、中考常规题型，规范几何解题步骤与推理书写 逻辑推理、数学运算 解题步骤完整性、方法选用准确性、真题解题正确率 思维发展 C 通过探究题型，学会归纳全等几何模型、构造辅助线，具备变式思考、归纳概括、创新解题的思维能力 逻辑推理、创新意识 探究过程思路、模型归纳总结、创新解题方法 情感态度 D 感受几何图形的对称美、逻辑美，体会数学与生活、物理、美术等学科的融合价值，养成严谨的治学态度和主动探究的学习习惯 模型观念、科学态度 实践作业完成质量、学习反思、创新设计成果 整体体例：一、重点基础题型20题｜二、真题感知10题｜三、探究式学习3题｜四、跨学科实践3题（总题量36题，分层梯度清晰） 题号区间 题型板块 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1-20 重点基础题型 涵盖三角形分类、三边关系、内外角计算、多边形内角和、全等图形辨析、全等性质计算、基础判定证明等基础考点，选择、填空、简答全覆盖 A、B 全覆盖两章基础知识点，排查知识漏洞，夯实概念识记与基础运算、简单推理能力，规范基础解题步骤，适配学困生、中等生巩固提升 答案精准，步骤完整；基础计算无失误，定理运用准确即可得分 21-30 真题感知 精选近三年各地八年级期末、中考基础&中档真题，包含三角形边角综合计算、全等三角形常规证明、图形变式题型 A、B 对接考场命题趋势，打破课本局限，让学生熟悉真题题型、设问方式，提升知识迁移和应试解题能力，适配中等生拔高训练 解题方法贴合考场标准，推理逻辑清晰，答案正确，步骤规范可得分，轻微步骤疏漏酌情扣分 31-33 探究式学习 包含全等模型探究（手拉手、一线三等角）、动点几何探究、条件开放/结论开放型几何推理题 B、C 跳出固定解题套路，引导学生自主观察、归纳、猜想、证明，培养几何建模、动态思维、创新推理能力，适配优等生思维拓展 有完整探究过程、猜想合理、证明严谨，有自主模型总结可获满分；思路合理但不够完整可酌情给分 34-36 跨学科实践 结合物理测量、美术设计、生活工程测量的实操类、应用型几何题目，侧重知识融合与动手实践 B、C、D 落实跨学科核心素养，让学生体会数学实用性，打破学科壁垒，培养实践能力、创新意识和学以致用的数学思维 实践方案合理、原理运用正确、成果完整，有自己的思考与设计可获满分 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 20道基础题型全对，概念、定理辨析精准，无知识性错误 基础题型少量计算、细节错误，核心概念无偏差 基础知识点混淆，错题较多，概念掌握不扎实 20% 能力运用 真题题型解题方法恰当，推理过程完整规范，步骤清晰，正确率高 真题解题思路基本正确，存在少量步骤缺失，不影响核心结论 解题方法错误，推理过程缺失，无法完成真题解答 30% 思维发展 探究题观点明确，模型归纳到位，论证严谨，有独特解题思路和创新方法 能完成探究任务，思路清晰，但总结深度不足，无创新思考 探究思路混乱，无法自主推理，缺乏解题依据 30% 情感态度 主动完成全部作业，积极思考探究，实践作业设计用心，能自主反思错题、总结方法 态度端正，按要求完成所有作业，基本参与实践探究 作业完成被动、敷衍，实践探究未参与，缺乏反思意识 20% （一） 重点基础题型20题（分层保底，全覆盖考点） 题型配比：选择14题、填空3题、简单证明/计算3题 考点全覆盖：三角形分类、三边关系、内角和与外角性质、多边形内角和、高线/中线/角平分线性质、全等图形定义、全等三角形性质、SSS/SAS/ASA/AAS/HL五大判定定理基础应用，无偏难怪题，保证全员可做、全员会做。 设计亮点：错题溯源标注，每道题对应课本知识点页码，方便学生查漏补缺，适配单元巩固需求。 1．（25-26七年级下·上海·期末）在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 2．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（     ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算即可得出结果． 【详解】解：设池塘两端、之间的距离为米， 由三角形三边关系可得：， 即， ∴池塘两端、之间的距离可能是12米． 3．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 6．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 7．（25-26八年级上·广西北海·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．若，则， C．对顶角相等 D．完全重合的两个图形全等 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假判断． 选项B的命题不成立，因为存在反例，选项A、C、D均为真命题． 【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，是真命题； B．当时，，但，是假命题； C．对顶角相等，是真命题； D．完全重合的两个图形全等，是真命题； 故选：B． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角的性质得，利用三角形内角和定理及对顶角的性质得，利用全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 11．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 12．（24-25八年级上·福建厦门·期中）为证明等腰三角形的两底角相等，下面作辅助线的方法中正确的是（    ） A．作边上的中线 B．作的平分线，经过的中点 C．过点作的垂直平分线 D．作的平分线，使得 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，作辅助线的方法等知识点，根据等腰三角形的性质和全等三角形来判断每个选项作辅助线的方法是否能证明等腰三角形两底角相等即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A、作边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，这种作辅助线的方法正确，符合题意； B、作的平分线，经过的中点，作角平分线不能同时保证经过的中点，该选项错误，不符合题意； C、过点A作 的垂直平分线，不能同时保证通过点A，该选项错误，不符合题意； D、作的平分线，作角平分线不能同时保证经过，该选项错误，不符合题意； 故选：A 13．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 14．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 【答案】65 【详解】解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，那么 _______． 【答案】8 【分析】根据全等三角形的对应边相等，可得，因为，，则，由此得解． 【详解】解：， ， ，， ． 17．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 18．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) ． 【分析】（1）利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明， （2）根据全等三角形对应边相等可得然后计算即可得解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）知， ∴ ∴． 19．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，, ， ． 【分析】先通过已知条件证明和全等，再利用全等三角形的性质得出结论即可． 【详解】略． 20．（25-26七年级下·福建福州·期末）点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角的和差关系可得答案； ②过点作交延长线于，可证明，得到，根据三角形面积计算公式可得，求解即可； （2）过点作于，连接，利用证明，得到和，即可证明，得到，结合已知得到，，，以及，设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为，列方程求得和，即可求得三角形面积． 【详解】（1）解：①在中，； ∴； ∵； ∴； ②过点作交延长线于点，如图， ∴， 由①得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，负值舍去； （2）解：过点作于，连接，如图所示， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴，， ∴， 设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为， ，解得， 则三角形面积． （2） 真题感知10题（对接考情，梯度进阶） 选题来源：精选2026年全国中考真题，剔除超纲题型，贴合本章考点。 题型设置：选择6道、填空2道、解答2道。 21．（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 22．（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 23．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 24．（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 25．（2026·四川泸州·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，，，平分，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再利用直角三角形两锐角互余求出，利用邻补角求出，最后根据角平分线定义求解． 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． ． ， ． 平分， ． 26．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的等量关系进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知，， ∴， ∵为直角三角板，， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【分析】根据平行线的性质得出，根据线段的和差关系得出，此时具备了一边一角对应相等，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ． 若添加 在和中， ． 若添加 在和中， ． 28．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】7 【分析】过点作，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点E，如图所示， 由题可知，平分， 又， ∴， ∴． 29．（2026·广东广州·中考真题）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】利用即可证明． 【详解】略 30．（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 【详解】略 （三）探究式学习3题（思维拔高） 探究1：静态模型探究——全等三角形经典手拉手模型探究，自主证明模型结论，归纳通用解题规律。 探究2：动态几何探究——三角形动点问题，探究运动过程中全等关系是否成立，培养动态思维。 探究3：开放题型探究——条件补充/结论猜想开放题，让学生自主设计条件、完成证明，培养创新思维。 31．（探究题）（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】 （1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形； （1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 32．（探究题）（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先证明，，利用“”证明，由全等三角形即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合，即可获得答案； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合点，的坐标进一步求解即可． 【详解】（1）解：与的数量关系是，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴。 ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2），，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、， 轴，轴，轴， ，， 又， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ，， ，， ，， 点坐标为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 33．（探究题）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究： (1)如图是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是 ． (2)如图是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若， ，求的面积（用含的代数式表示） (3)小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3) 解：的长为或， 理由如下： 如下图所示，当点 在线段上时， ， ， ， ； 如下图所示，当点 在的延长线上时， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． 【分析】本题考查三角形的全等的判定与性质．解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边之间的关系． 根据等腰直角三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证； 由可知，根据全等三角形的性质可得：，，，根据三角形的面积公式可得：； 由可知，当点在线段上时，可得：；当点在的延长线上时，可得：． 【详解】（1）解：， 在中，，， ， ，且， ， ， 在和中，， ，， ，， ， 故答案为：且； （2）解：由可知， ，， ， ， ， ， ； （3）略 （四）跨学科实践3题（特色创新） 跨物理/化学：根据实际情况构造全等三角形几何模型。 跨美术/设计：利用全等三角形的对称性、全等特性，设计几何模型、轴对称几何图案，解释图案设计中的全等原理。 34．（跨学科题）（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． (1)试说明：； (2)求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) 证明：∵， ∴ 又∵． ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，余角，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 解：先推导出，，，得到，继而证明，则，即可解答； （2）由，得到，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴    ∵ ∴ 答：的长为． 35．（跨学科题）（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合探究与应用 (1)如图1，在中，，，若于E，于D，则与的数量关系是________． (2)如图2，在中，，，D点为边上一动点，连接，作且，连接交于F点，若，．求证：点D为中点． (3)为打造“智慧校园+美学空间”，某校计划在校园一处生态种植区中布设智能感应灯带系统．经测量，中，，米，．系统采用“双光源联动结构”，如图3，以定点A为控制中心，投射点D可在射线上调节；同时在A处与垂直方向安装用于对称补光的补偿灯E，使，（点E在点D的右边）．灯带线路与主控制线所在直线交于点F，该点将作为线路转接与分线的物理点位．施工员测得当前D点到B点的距离米，请直接写出此时的长度． 【答案】(1) (2)证明：如图，作于， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D为中点； (3)或米 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再证明，即可得解； （2）作于，则，证明，得出，，求出，再证明，得出，由此计算即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于点；当点在射线上时，作于点；分别结合全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图，当点在线段上时，作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴米； 如图，当点在射线上时，作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴米； 综上所述，的长度为或米． 36．（跨学科题）（23-24七年级下·江苏苏州·期末）“学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究： 项目主题 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” 项目任务 项目一：测量锥形容器内部底面内径 项目二：测量斜坡的倾斜角度 所需材料 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等 正方形板、指针、重锤、打印机等 测量方案示意图                                   实施步骤 1．用螺丝钉将两根小棒在它们的中点O处固定； 2．再将两根小棒的A、B端分别置于杯子内部底面内径的两端； 3．用刻度尺测量两根小棒的C、D端之间的距离． 1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”； 2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定； 3．读出指针所对的的度数． 测量数据 项目结论 锥形容器内部底面内径 斜坡的倾斜角度为 (1)项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 _______； A．  B．  C．  D． (2)项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，请你证明：． 【答案】(1)A (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由线段中点的定义可得，再根据证明即可得到； （2）根据平行线的性质可得，，则． 【详解】（1）解：∵O为与的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）略 化繁为简、一通百通 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $