2026年中考数学真题完全解读（宁夏卷）

该初中数学中考复习资料覆盖数与式、函数、图形性质等核心模块，按考频与难度梯度构建知识网络，通过考点细目表梳理高频考点，结合真题解读进行方法指导，设置分层训练突破分式方程检验、几何辅助线构造等难点，实现系统性与针对性复习。 特色在于“情境化探究+核心素养导向”，如以风力发电机叶片为情境设计解直角三角形问题，培养应用意识，通过整式乘法与因式分解互逆关系探究题发展推理能力。配套避坑提醒和即时反馈训练，帮助学生高效突破易错点，教师可依托考点模块占比与命题趋势分析，精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

2026年宁夏回族自治区中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年宁夏回族自治区中考数学试卷总分120分，考试时间120分钟，共设置26道题，其中选择题8题（24分）、填空题8题（24分）、解答题10题（72分，17-22题每题6分、23、24题每题8分、25、26题每题10分）。全卷立足课程标准，以“基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性”为导向，题型结构稳定、能力梯度清晰。选择题第1至8题覆盖相反意义的量、三视图、一元一次不等式、实数大小比较、平行线与量角器读数、统计量与方差、圆的弧长、反比例函数与矩形面积等基础与中档内容，起点平缓、落点扎实；填空题第9至16题在基础运算之上逐步提升思维含量，第15题规律探究、第16题以风力发电机叶片为情境考查解直角三角形，创新性强；解答题第17至26题由实数混合运算、分式方程、全等与平行四边形、尺规作图、统计调查、因式分解探究、一元一次方程与不等式应用、圆的综合、二次函数压轴到矩形折叠压轴，形成由易到难、层层递进的完整能力链条。全卷注重考查基础知识与通性通法，同时通过第2题白釉牡丹纹罐、第16题三叶风力发电机、第21题《宁夏回族自治区电动自行车管理规定》调查、第23题六盘山药用植物科普教育基地、第22题整式乘法与因式分解探究等设计，将地方文化、产业科技与真实情境深度融入试题，突出对抽象能力、运算能力、推理能力、几何直观、数据观念、模型观念与应用意识等核心素养的综合考查，充分体现宁夏卷“立足本土、素养立意”的命题追求。 试题亮点 塞上文物与地方法规情境入题，凸显宁夏卷育人导向：第2题以银川宁东镇马跑泉村出土的白釉牡丹纹罐为背景考查三视图，让西夏陶瓷工艺进入数学课堂；第16题以三叶风力发电机叶片与太阳光投影为情境考查解直角三角形，呼应宁夏“西电东送”清洁能源基地建设；第21题以《宁夏回族自治区电动自行车管理规定》的实施调查为素材，考查统计分析与数据决策。全卷以宁夏本土文物、产业与法规为载体，在知识考查之外厚植家国情怀与地域文化认同。 函数与几何双线交织，数形结合与动态探究层层递进：第8题反比例函数图象与矩形面积、第25题抛物线与直线、最值、存在性问题构成函数压轴链条，第7题圆与弧长、第24题圆周角与切线、第26题矩形折叠压轴构成几何压轴链条。选择题、填空题、解答题各题型均以函数图象与几何图形为载体，强调由“算”到“思”、由“静”到“动”的能力递进，凸显宁夏卷对主干知识综合运用的重视。 探究性设问与开放建构并举，思维过程成为区分核心：第22题以“回顾—观察—猜想—探究”整式乘法与因式分解互逆关系为线索，要求补全表格、归纳数量关系并应用于分式约分；第15题规律探究答案不唯一；第21题第（4）问结合数据谈看法、提建议属开放性设问。全卷在常规考查之外设置多处探究性、开放性与过程性设问，重在考查学生的数学思维过程与创新意识。 命题趋势 基础题“平而不淡”，概念理解与运算规范仍是得分基石：第1题相反意义的量、第3题不等式解集数轴表示、第9、10题绝对值与二次根式有意义条件看似送分，但第4题无理数大小比较需用平方法转化、第5题量角器读数需结合平行线性质，均对“真理解”提出更高要求。结合宁夏近年中考，基础题保持“熟悉情境、多点设问”的风格，预计未来将继续以“反套路”设计检验学生是否真正掌握概念本质，而非仅靠题型记忆得分。 地方文物、绿色能源与民生法规情境持续入题，服务地方发展导向鲜明：第2题西夏陶瓷白釉牡丹纹罐、第16题风力发电机叶片、第21题电动自行车头盔规定调查，均取材于宁夏本土文物、产业与治理实践。这一“立足本土、以情育人”的命题风格延续了宁夏卷近年的特色，预计未来将继续以塞上文化、特色产业、生态文明等本土素材创设真实情境，引导学生在情境中建立数学模型，强化应用意识与家国情怀。 代数推理与探究过程考查加强，创新意识导向更加鲜明：第22题完整呈现“回顾—观察—猜想—探究”的因式分解探究链，要求从具体特例归纳一般关系并迁移应用，属于代数推理与综合与实践的深度融合。作为新课程标准落地的中部省区，宁夏卷近年明显加大过程性、探究性设问比重，预计未来将以“给出情境—提出问题—归纳规律—迁移应用”为主线命制中高档题，注重考查思维过程与创新意识。 函数与几何压轴持续扩容，分类讨论与最值问题仍是区分主战场：第25题抛物线综合第（3）问需分两种情况讨论点的存在性，第26题矩形折叠压轴分三种情形层层递进，共同体现从识图到推理、从静态到动态的能力梯度。预计未来宁夏卷压轴题将继续保持“二次函数综合+几何动态探究”双线结构，强化数形结合、分类讨论与模型建构的考查。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→正数和负数→相反意义的量 抽象能力 2 单选 3 图形的变化→投影与视图→三视图的识别 空间观念 3 单选 3 方程与不等式→一元一次不等式→解一元一次不等式并在数轴上表示 运算能力 4 单选 3 数与式→实数→无理数与有理数的大小比较 运算能力 5 单选 3 图形的性质→相交线与平行线→平行线的性质与角度计算 几何直观 6 单选 3 统计与概率→数据的集中与离散程度→平均数与方差的综合应用 数据观念 7 单选 3 图形的性质→圆→圆周角定理与弧长公式 推理能力 8 单选 3 函数→反比例函数→反比例函数图象与矩形面积 几何直观 9 填空 3 数与式→绝对值→绝对值与有理数运算 运算能力 10 填空 3 数与式→二次根式→二次根式有意义的条件 抽象能力 11 填空 3 统计与概率→概率→列举法求概率 数据观念 12 填空 3 图形的变化→图形的平移→平面直角坐标系中点的平移 空间观念 13 填空 3 图形的性质→直线、射线、线段→射线的计数 几何直观 14 填空 3 图形的变化→图形的旋转→旋转的性质与角度计算 空间观念 15 填空 3 数与式→代数式→规律探究与代数式表示 创新意识 16 填空 3 图形的变化→解直角三角形→解直角三角形与实际应用 应用意识 17 解答 6 数与式→实数→实数混合运算 运算能力 18 解答 6 方程与不等式→分式方程→分式方程的解法 运算能力 19 解答 6 图形的性质→三角形→全等三角形的性质与平行四边形判定 推理能力 20 解答 6 图形的性质→尺规作图→角平分线与面积等分的无刻度直尺作图 几何直观 21 解答 6 统计与概率→统计→条形统计图与扇形统计图的综合应用 数据观念 22 解答 6 数与式→因式分解→整式乘法与因式分解互逆关系的探究 推理能力 23 解答 8 方程与不等式→一元一次方程→一元一次方程的应用与方案选择 模型观念 24 解答 8 图形的性质→圆→圆周角定理与切线的判定 推理能力 25 解答 10 函数→二次函数→二次函数综合：最值与存在性 模型观念 26 解答 10 图形的变化→图形的折叠→矩形折叠与相似、勾股定理综合 空间观念 考点模块占比分析 数与式模块（约23%，28分）：对应第1、4、9、10、15、17、22题，重点考查相反意义的量、实数比较、绝对值、二次根式、规律探究、实数运算与因式分解探究等内容，是全卷稳定得分的基本盘。 函数模块（约13%，16分）：对应第8、25题，覆盖反比例函数图象与矩形面积、二次函数综合（最值与存在性），强调数形结合与模型建构。 图形的性质模块（约37%，44分）：对应第2、5、7、13、19、20、24题，涉及三视图、平行线、圆、直线射线、全等与平行四边形、尺规作图与切线判定，是全卷推理能力考查的主阵地。 图形的变化与综合实践模块（约23%，27分）：对应第12、14、16、26题，通过点的平移、旋转、解直角三角形与矩形折叠综合考查图形的变化，体现动态几何与空间观念。 统计与概率模块（约13%，15分）：对应第6、11、21题，覆盖平均数方差、列举法求概率、条形与扇形统计图综合应用，考查数据观念与应用意识。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实基础概念与基本运算 （1）系统梳理数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等核心模块的基本概念、公式与定理，重点落实绝对值、二次根式有意义条件、分式方程（注意检验）、不等式解集数轴表示、弧长公式等高频考点，确保基础题不失分。 （2）重视概念的本质理解而非机械记忆，如第4题无理数大小比较需用平方法转化、第13题射线计数需按点分类，建议通过变式训练与错题归因，纠正“会而不对、对而不全”的粗心失分。 2. 强化函数与几何双线训练，提升数形结合与推理能力 （1）以图象与性质为主线贯通反比例函数、二次函数，掌握“交点—面积—最值—存在性”的完整链条，重点训练第8、25题等函数综合题，强化待定系数法与数形结合思想。 （2）系统训练全等、相似、勾股定理、圆的性质（圆周角、切线）、折叠等几何推理工具，掌握第19、24、26题常见的辅助线构造与面积转化方法，规范几何证明的语言表述。 3. 关注探究与开放设问，培养创新思维与建模意识 （1）针对第22题等探究性、第15题规律题、第21题开放性评价题，学会“回顾—观察—猜想—探究—应用”的分析流程，训练从特例归纳一般规律的能力。 （2）将地方生活情境（风力发电、电动自行车规定、药用植物基地）转化为方程、不等式、函数或统计模型，规范书写“设、列、解、验、答”，强化数学建模与应用意识。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×解分式方程忘记检验：分式方程需代入最简公分母检验，漏检验可能把增根当解，导致基础题失分。 ×统计选择只看平均数不看方差：第6题既要比成绩好（平均数小）又要比发挥稳定（方差小），漏看任一项都会选错。 ×几何证明跳步、凭感觉下结论：第19、24题需要完整的全等判定与切线判定依据，缺步会被扣分。 ×压轴题不做分类讨论：第25题存在性、第26题折叠分情形讨论，漏情形会漏解，务必画图分情况求解。 一、单选题 1．若规定向东走记作，则向西走记作（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：相反意义的量与正负数的表示 ►命题分析： （1）情境创设：以向东、向西行走的规定方向为情境，用正负数表示相反意义的量，体现数学源于生活。 （2）问题设计：已知规定向东走记作正，要求学生判断向西走应记作什么，属于直接的概念辨析。 （3）考查目标：考查学生的抽象能力，要求理解正负数是表示相反意义量的工具，能正确建立符号与现实的对应关系。 答案与解析 【答案】B 【分析】结合题干的正方向规定，利用相反意义的量的表示方法求解． 【详解】解：∵规定向东走记为正，向西与向东是相反意义的量， ∴向西走记作． 知识总结 ① 相反意义的量：具有相反意义的两个量（如向东与向西、上升与下降）可分别用正数和负数表示。② 关键是将“规定方向/基准”找准，通常规定一种方向为正，则相反方向为负。③ 拓展：正负号在温度、海拔、收支、水位变化等情境中广泛使用，注意结合生活实际理解符号含义。 2．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 命题透视 ►核心考点：三视图的识别 ►命题分析： （1）情境创设：以银川宁东镇出土的白釉牡丹纹罐为背景，考查几何体的三视图，将西夏陶瓷工艺与数学结合，体现数学文化。 （2）问题设计：给出罐体几何图形，要求学生判断主视图、左视图、俯视图之间的关系，检验空间想象能力。 （3）考查目标：考查学生的空间观念，要求能从三个方向观察几何体并比较各视图的异同。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据几何体的三种视图解答． 【详解】解：观察几何体主视图和左视图相同，而俯视图与两者不同． 知识总结 ① 三视图：从正面看是主视图，从左面看是左视图，从上面看是俯视图。② 判断方法：想象观察者的视线方向，分别画出几何体在各方向的投影轮廓。③ 常见结论：旋转体（圆柱、圆锥、球）的主视图与左视图通常相同；本题罐体主视图与左视图相同，而俯视图与两者不同。 3．关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：解一元一次不等式并在数轴上表示 ►命题分析： （1）情境创设：以求解一元一次不等式并在数轴上表示解集为情境，考查不等式性质与数轴表示方法。 （2）问题设计：给出四个数轴示意图，要求学生选出正确表示解集的一项，检验移项变号与实心/空心点、方向的判断。 （3）考查目标：考查学生的运算能力与几何直观，要求掌握解不等式的基本步骤及数轴上解集的表示规范。 答案与解析 【答案】D 【分析】先解不等式得到解集；在数轴上在处画实心圆点，线条向左延伸． 【详解】解：∵， ∴． 在数轴上表示为在处取实心点，方向向左．与选项D匹配． 知识总结 ① 解不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；注意不等式两边同乘或同除以负数时不等号方向要改变。② 数轴表示：大于向右、小于向左；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈。③ 易错点：系数化1时负号处理、端点的实心/空心选择。 4．下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：无理数与有理数的大小比较 ►命题分析： （1）情境创设：以判断介于两个整数之间的数为情境，考查用平方法比较无理数的大小，属于数感与运算综合题。 （2）问题设计：给出四个候选数，要求学生找出介于某两个整数之间的数，检验对无理数估值方法的掌握。 （3）考查目标：考查学生的运算能力与数感，要求掌握用平方法将无理数的大小比较转化为有理数比较。 答案与解析 【答案】C 【分析】用平方法将无理数与整数的大小比较转化为有理数比较． 【详解】解：，，需找平方后在和之间的正数， A、 ， ，A不符合； ， ，B不符合； ，， ，C符合； ， ，D不符合． 知识总结 ① 平方法比较：对于正数，若 ，则 ；将无理数与整数比较时，先比较它们的平方。② 估值思路：如要判断 介于哪两个整数之间，找相邻的完全平方数 。③ 易错点：负数情况需注意符号方向，开方与平方式子中要保持数的大小关系一致。 5．如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（     ） A．130 B．55 C．50 D．45 命题透视 ►核心考点：平行线的性质与角度计算 ►命题分析： （1）情境创设：以量角器零刻度线所在直线与平行线相交为情境，考查平行线性质与角度识别，体现操作类情境。 （2）问题设计：从量角器读出已知角度，利用平行线性质转化角，要求学生求未知角的度数。 （3）考查目标：考查学生的几何直观与推理能力，要求能识别平行线背景下的角度关系并进行转化计算。 答案与解析 【答案】C 【分析】先从量角器读出，再根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：由量角器读数可得 ∵， 知识总结 ① 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。② 量角器读数：注意量角器内外圈刻度方向，先读准已知角。③ 解题步骤：由已知角结合平行线性质推出相关角，必要时用三角形内角和或对顶角性质。 6．校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 命题透视 ►核心考点：平均数与方差的综合应用 ►命题分析： （1）情境创设：以校田径队选拔运动员为情境，综合平均数与方差考查成绩优劣与稳定性，贴近校园体育生活。 （2）问题设计：给出四名运动员的百米成绩平均数与方差，要求学生综合“成绩好”与“发挥稳定”两个标准作出选择。 （3）考查目标：考查学生的数据观念，要求理解平均数和方差的实际意义并能综合运用作出决策。 答案与解析 【答案】A 【详解】解：米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为，小于乙的和丁的， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差小于丙的方差， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 知识总结 ① 平均数：反映数据的平均水平，百米成绩平均数越小成绩越好。② 方差：反映数据的波动大小，方差越小数据越稳定。③ 选择方法：先比平均数筛掉劣势选手，再在成绩相近者中比方差选更稳定者，两个标准缺一不可。 7．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：圆周角定理与弧长公式 ►命题分析： （1）情境创设：以圆内弦、圆周角与直径关系为情境，考查等腰三角形性质、外角定理与弧长计算。 （2）问题设计：已知圆心角与半径相关条件，要求学生利用外角定理求圆心角，再用弧长公式计算弧长。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与运算能力，要求掌握圆周角、圆心角关系及弧长公式。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 知识总结 ① 弧长公式：（ 为圆心角度数， 为半径）。② 求圆心角：利用同弧所对圆周角是圆心角的一半、等腰三角形性质与三角形外角等于不相邻两内角之和等关系。③ 直径所对圆周角为直角，是圆中常见的隐含条件。 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：反比例函数图象与矩形面积 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形对角线与反比例函数图象相交为情境，考查矩形性质、待定系数法与面积计算，属于函数与几何综合题。 （2）问题设计：已知矩形顶点与对角线交点坐标，反比例函数经过对角线交点及边上一点，要求学生求三角形面积。 （3）考查目标：考查学生的几何直观与运算能力，要求能利用矩形中点性质确定坐标，用待定系数法求解析式。 答案与解析 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 知识总结 ① 矩形对角线互相平分，对角线交点即中点，可利用中点公式求坐标。② 待定系数法：把已知点代入 求 。③ 面积计算：由点坐标求底与高，用三角形面积公式；注意反比例函数图象上点满足 的特征。 二、填空题 9．计算：__________． 命题透视 ►核心考点：绝对值与有理数运算 ►命题分析： （1）情境创设：以计算绝对值为情境，考查绝对值的定义与有理数减法，属于基础运算题。 （2）问题设计：直接要求计算含绝对值的算式，检验对绝对值性质（负数的绝对值是它的相反数）的掌握。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求能准确计算绝对值并完成有理数运算。 答案与解析 【答案】2 【分析】根据绝对值的定义计算即可． 【详解】解：由绝对值的定义可知，负数的绝对值是它的相反数， ， ． 知识总结 ① 绝对值定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即 。② 运算顺序：先算绝对值，再算减法（减去一个数等于加上它的相反数）。③ 易错点：注意绝对值符号内的整体先求值，再取非负结果。 10．写出一个使在实数范围内有意义的的值__________． 命题透视 ►核心考点：二次根式有意义的条件 ►命题分析： （1）情境创设：以写出使二次根式有意义的 的值为情境，考查二次根式有意义的条件，属于开放型基础题。 （2）问题设计：要求写出一个使 （或类似式）在实数范围内有意义的 值，答案不唯一，检验对“被开方数非负”的理解。 （3）考查目标：考查学生的抽象能力与运算能力，要求掌握二次根式有意义的条件并能在取值范围内任取一个值。 答案与解析 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须大于等于，才有意义， ∴， 解得， 在范围内取一个值，即得到符合要求的，例如． 知识总结 ① 二次根式有意义条件：被开方数必须大于等于0，即 有意义当且仅当 。② 解题步骤：由被开方数非负列出不等式，解出取值范围，再取范围内任意一个值。③ 开放题策略：选最方便的值（如边界值或整数），注意题目是否要求整数等附加条件。 11．一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 命题透视 ►核心考点：列举法求概率 ►命题分析： （1）情境创设：以摸球放回再摸为情境，考查用画树状图法求两次摸到相同颜色小球的概率，属于概率基础题。 （2）问题设计：袋中有红、绿两球，摸后放回再摸，要求学生求两次都摸到相同颜色小球的概率。 （3）考查目标：考查学生的数据观念，要求掌握等可能事件概率的计算方法，能用列举法（列表或树状图）分析两步试验。 答案与解析 【答案】/0.5 【分析】利用画树状图法求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色小球的等可能性一共有2种， 故两次都摸到相同颜色的小球的概率是． 知识总结 ① 概率公式：。② 树状图/列表：适用于两步试验，本题4种等可能结果中两次同色的有2种，概率为 。③ 注意“放回”与“不放回”的区别：放回时第二次选择范围不变，不放回时结果数减少。 12．在平面直角坐标系中，点，将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得点的坐标为__________． 命题透视 ►核心考点：平面直角坐标系中点的平移 ►命题分析： （1）情境创设：以平面直角坐标系中点的平移为情境，考查平移坐标变化规律，属于基础坐标题。 （2）问题设计：给出点的坐标，要求写出向左平移2个单位、再向上平移1个单位后的坐标，检验平移规律的掌握。 （3）考查目标：考查学生的空间观念与运算能力，要求掌握“左减右加、上加下减”的坐标变化规律。 答案与解析 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律：左移横坐标减，上移纵坐标加，计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 点的坐标为， ∴向左平移个单位长度后，横坐标为，向上平移个单位长度后，纵坐标为， ∴ 所得点的坐标为． 知识总结 ① 平移坐标规律：点 向左平移 个单位得 ，向右平移得 ；向上平移 个单位得 ，向下平移得 。② 口诀“左减右加、上加下减”，横坐标管左右、纵坐标管上下。③ 复合平移：依次计算，先左右后上下或先上下后左右均可。 13．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 命题透视 ►核心考点：射线的计数 ►命题分析： （1）情境创设：以直线上三点共线为情境，考查射线的定义与计数，属于几何概念计数题。 （2）问题设计：给出三个点共线，要求学生数出图中共有多少条射线，检验对射线“一点确定两个方向”的理解。 （3）考查目标：考查学生的几何直观，要求理解射线的定义并能按端点分类计数。 答案与解析 【答案】6 【详解】解：一个点有2条射线， 所以图中共有射线条． 知识总结 ① 射线定义：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，一个端点确定两条方向相反的射线。② 计数方法：直线上有 个点，射线总数 （每个点有左右两条），本题3个点共6条。③ 易错点：射线与直线、线段的区别——射线有一个端点，直线无端点，线段有两个端点。 14．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 命题透视 ►核心考点：旋转的性质与角度计算 ►命题分析： （1）情境创设：以三角形绕点旋转为情境，考查旋转前后对应角相等与三角形内角和，体现图形变换的几何直观。 （2）问题设计：已知旋转前后对应角及三角形内角和，要求学生求旋转角的度数，检验对旋转性质的理解。 （3）考查目标：考查学生的空间观念与推理能力，要求理解旋转的性质并利用角的关系计算。 答案与解析 【答案】95 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 知识总结 ① 旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边、对应角相等，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角。② 解题步骤：利用对应角相等求出相关角，再用三角形内角和（）列式计算。③ 注意旋转方向（顺时针/逆时针）只影响旋转角的方向，数值由对应角关系确定。 15．观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 命题透视 ►核心考点：规律探究与代数式表示 ►命题分析： （1）情境创设：以观察一组数的规律并写出第 项的代数式为情境，考查规律探究与代数式表示，属于创新探究题。 （2）问题设计：给出前若干项（含正负交替、分数等特征），要求学生用代数式表示第 个数，检验从具体到一般的归纳能力。 （3）考查目标：考查学生的创新意识与抽象能力，要求能分别归纳绝对值规律与符号规律并用代数式表达。 答案与解析 【答案】（答案不唯一） 【分析】分别找出数的绝对值规律和符号规律，即可得到第个数的代数式． 【详解】解：观察给出的数可知，第个数的绝对值为，当为奇数时，为正数；为偶数时，为负数， ∴用代数式表示第个数为． 知识总结 ① 规律探究方法：先看绝对值的数字规律（常为 、 等），再看符号规律（正负交替用 或 ）。② 符号表达：奇数项为正、偶数项为负可用 或 。③ 验证：写出第 项后代入 验证是否与原数列一致。 16．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 命题透视 ►核心考点：解直角三角形与实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以三叶风力发电机叶片及太阳光投影为情境，考查解直角三角形、勾股定理与矩形性质，体现清洁能源应用。 （2）问题设计：已知叶片影子长度与太阳光线夹角等条件，要求学生求叶片长度，需设未知数、构造直角三角形列方程。 （3）考查目标：考查学生的应用意识与模型观念，要求能将实际情境转化为解直角三角形问题，综合运用三角函数与勾股定理。 答案与解析 【答案】72 【分析】过点E作于点G，则，在中，根据，设，，根据勾股定理构造方程，可求出．延长交于点H，证明四边形是矩形，得到，．根据三个相同的叶片均匀分布，得到，，从而根据“三线合一”得到，因此通过解直角三角形得到，结合可求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点G，则， ∵在中，， ∴设，， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴． 延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵三个相同的叶片均匀分布， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴叶片的长度为． 知识总结 ① 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素，常利用 、、 与勾股定理。② 建模步骤：作辅助线构造直角三角形（本题过点作垂线），设未知数表示边长，利用已知条件列方程。③ 关联知识：三个相同叶片均匀分布（相邻夹角 ）、等腰三角形三线合一、矩形性质等，需综合调用。 三、解答题 17．计算：． 命题透视 ►核心考点：实数混合运算 ►命题分析： （1）情境创设：以实数混合运算为情境，考查乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂与二次根式的综合运算。 （2）问题设计：给出含乘方、根式、绝对值的算式，要求学生按运算顺序计算，检验基本运算能力。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求熟练掌握实数混合运算的法则与运算顺序。 答案与解析 【答案】 【详解】解：原式 ． 知识总结 ① 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。② 关键公式：（），， 的化简。③ 易错点：零指数幂底数不能为0，负指数取倒数，根式化简要彻底。 18．解方程：． 命题透视 ►核心考点：分式方程的解法 ►命题分析： （1）情境创设：以求解分式方程为情境，考查去分母、解整式方程与验根全过程，属于常规计算题。 （2）问题设计：给出分式方程，要求学生解出未知数，检验对方程变形和检验步骤的掌握。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求掌握“去分母—解整式方程—检验”的完整流程，理解增根概念。 答案与解析 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 知识总结 ① 分式方程解法：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解。② 必须检验：将解代入最简公分母，若公分母为0，则该解是增根，应舍去。③ 易错点：去分母时不要漏乘不含分母的项；解出后务必检验，增根不能作为方程的解。 19．如图，，点和点，点和点是对应顶点． (1)求证：； (2)连接，．求证：四边形是平行四边形． 命题透视 ►核心考点：全等三角形的性质与平行四边形判定 ►命题分析： （1）情境创设：以全等三角形的对应关系为情境，考查全等性质的应用与平行四边形的判定，属于几何证明题。 （2）问题设计：第（1）问由全等性质证对应边相等；第（2）问由边相等且平行证四边形是平行四边形，层层递进。 （3）考查目标：考查学生的推理能力，要求能依据全等三角形的性质与平行四边形判定定理规范证明。 答案与解析 【答案】(1)证明：， ， ， ． (2)证明：， ，， ∴， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而得到，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 知识总结 ① 全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。② 平行四边形判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等。③ 证明策略：先由全等得到边的相等与平行关系，再用判定定理证明四边形是平行四边形。 20．如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 命题透视 ►核心考点：无刻度直尺作图：角平分线与面积等分 ►命题分析： （1）情境创设：以圆与正六边形相切为情境，考查仅用无刻度直尺作角平分线与面积平分线，体现操作与推理结合。 （2）问题设计：第（1）问作角平分线；第（2）问过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分，保留作图痕迹不写做法。 （3）考查目标：考查学生的几何直观与推理能力，要求理解圆与正六边形的对称性质并据此作图。 答案与解析 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，即可； （2）连接交于点G，作直线，即可．设直线分别与交于点M，N，结合正六边形的性质可得到，从而得到直线平分正六边形的面积，再结合圆的性质，可得直线平分的面积． 【详解】（1）略 （2）略 知识总结 ① 对称性作图：利用图形的对称中心与对应点连线确定特殊点，如连接圆心与切点、正六边形中心。② 面积平分：过图形的中心（或利用对称性）作直线即可平分面积，正六边形与圆的公共对称中心是关键。③ 作答规范：不写作法但要保留清晰的作图痕迹，并标注所求作的对象。 21．为保障居民出行安全，《宁夏回族自治区电动自行车管理规定》自2025年1月1日起施行，其第十条第二款规定：驾驶人和乘坐人应当规范佩戴安全头盔，乘坐人应当正向骑坐．学校数学兴趣小组为了解这条规定的实施情况，随机对某区域居民开展了调查． 【数据收集与整理】 “驾驶人和乘坐人应当规范佩戴安全头盔，乘坐人应当正向骑坐”实施情况调查问卷以下问题均为单选题，请根据实际情况如实填写，谢谢您的配合！ 1．您通过什么方式了解这一规定（     ） A．各类媒体报道    B．社区宣传    C．交警劝导    D．家人告知        E．其他 2．如果选择骑电动自行车出行，您佩戴头盔是因为（     ） A．保障安全        B．遵守规定    C．从众心理    D．避免交警处罚    E．其他 根据收回的有效问卷，整理并绘制如下统计图：       【数据分析与应用】 根据上述统计图，回答下列问题： (1)本次调查收回有效问卷共________份； (2)“各类媒体报道”所占百分比为________，A所对应的圆心角是________； (3)若该区域共有10000人，估计B有________人； (4)谈谈你对规定实施情况的看法，并提出一条合理化建议． 命题透视 ►核心考点：条形统计图与扇形统计图的综合应用 ►命题分析： （1）情境创设：以《宁夏回族自治区电动自行车管理规定》实施情况调查为情境，考查统计图分析与数据决策，贴近社会治理实际。 （2）问题设计：第（1）问由条形图求和得样本容量；第（2）问求百分比与圆心角；第（3）问用样本估计总体；第（4）问结合数据谈看法提建议。 （3）考查目标：考查学生的数据观念与应用意识，要求能读取统计图表、进行比例计算并作出合理推断与评价。 答案与解析 【答案】(1)800 (2)，162 (3)3820 (4)可以进社区开展电动自行车安全宣讲活动，进一步提升居民的安全出行意识．（答案合理即可） 【分析】（1）因为条形统计图给出了各了解方式的人数，所以将所有类别的人数相加，即可得到总问卷数． （2）如果已知“各类媒体报道”的人数和总问卷数，那么用该类人数除以总问卷数再乘以，得到对应百分比．求A对应的圆心角：因为扇形统计图各部分百分比之和为1，所以先计算A所占的百分比，再用该百分比乘以，得到对应圆心角度数． （3）估计该区域B类人数：如果已知区域总人数和B类所占的百分比，那么用总人数乘以B类的百分比，得到估计的人数． （4）谈看法和提建议：结合两个统计图反映的数据特征，围绕规定实施的宣传、落实等角度阐述即可． 【详解】（1）解：将条形统计图中所有了解方式的人数相加，得到有效问卷总数： （份）． （2） 解：“各类媒体报道”的百分比 对应人数总人数， 即； 扇形统计图中A（佩戴头盔原因是保障安全）的占比 ： ， 对应圆心角 ：． （3）解：估计B有（人）． （4）略． 知识总结 ① 样本容量：条形统计图各分类人数之和。② 百分比与圆心角：某类百分比 ，对应圆心角 百分比 。③ 用样本估计总体：估计值 总体人数 样本占比。④ 开放题作答：结合统计特征围绕宣传落实等角度，给出有依据的看法与建议。 22．【回顾】整式乘法运算： ． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：． 【猜想】具有某种特征的二次三项式能化成两个一次因式乘积的形式，即． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． (1)根据的特征，补全下表： … … … … (2)当恒成立时，写出，与，满足的数量关系，并说明理由． (3)【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求的值． 命题透视 ►核心考点：整式乘法与因式分解互逆关系的探究 ►命题分析： （1）情境创设：以“回顾—观察—猜想—探究”整式乘法与因式分解的互逆关系为情境，考查代数推理与综合实践能力。 （2）问题设计：第（1）问根据特征补全表格；第（2）问归纳 、 与 、 的数量关系并说明理由；第（3）问应用结论求使分式能约分的参数值。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与创新意识，要求能从具体特例归纳一般关系并用代数推理说明，再迁移应用。 答案与解析 【答案】(1)补全表格如下： … … … … (2)，．理由如下： ， ，． (3) 【分析】（1）根据、的值把多项式因式分解，即可得出、的值，进而补全表格即可； （2）利用乘法公式把右边式子展开，根据对应项的系数相等，即可得出答案； （3）由分式能约分得出分母中含的因式，设，根据对应项系数相等求出、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：当，，时， ， ∴， 当，，时， ， ∴， 补全表格略 （2）略 （3）解：分式能约分， ∴分母中含的因式， 设， ，， 解得，． 知识总结 ① 互逆关系：，因式分解是把二次三项式还原为两个一次因式之积，，。② 探究方法：由特例归纳一般结论，再用整式乘法展开验证对应项系数相等。③ 应用：分式能约分意味着分母含分子中的一个因式，设出该因式，利用对应项系数相等列方程求解。 23．六盘山药用植物科普教育基地规划引种展示药用植物618种，目前已成功引种驯化587种．基地计划分两批次新增引种珍稀药用植物，用于补齐规划种类，同时开展濒危中药材保护繁育． (1)若第二批次新增引种数量比第一批次的2倍少5种，恰好补齐规划剩余药用植物种类．求第一批次、第二批次各计划新增引种多少种？ (2)基地准备为研学学生采购药用植物标本制作工具，每套定价30元．现有两商家给出优惠方案： 甲商家：每套九折优惠； 乙商家：一次性购买不超过60套，每套按定价支付；超过60套，超出部分每套打七折．若基地采购套工具，请说明选择哪家更划算． 命题透视 ►核心考点：一元一次方程的应用与方案选择 ►命题分析： （1）情境创设：以六盘山药用植物科普教育基地引种与标本采购为情境，考查列一元一次方程解应用题与优惠方案比较，体现地方产业特色。 （2）问题设计：第（1）问设未知数列方程求两批次引种数量；第（2）问比较两商家优惠方案，分情况讨论选择更划算的商家。 （3）考查目标：考查学生的模型观念与应用意识，要求能将实际情境转化为方程与不等式模型，并分类讨论作出决策。 答案与解析 【答案】(1)第一批次计划新增引种12种，则第二批次引种19种 (2)，乙商家更划算；，甲乙商家一样；，甲商家更划算 【分析】（1）设第一批次计划新增引种种，则第二批次新增引种种，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）求出两商家所需费用，分3种情况，列出不等式进行求解即可. 【详解】（1）解：设第一批次计划新增引种种，则第二批次新增引种种． 由题意，得． 解得． ． 答：第一批次计划新增引种12种，则第二批次引种19种； （2）解：由题意，甲商家：（元）； 乙商家：元． 当时，，乙商家更划算； 当时，，甲乙商家一样； 当时，，甲商家更划算． 答：，乙商家更划算；，甲乙商家一样；，甲商家更划算． 知识总结 ① 列方程应用：设未知数，找等量关系（两批次共补齐缺口），列一元一次方程求解并检验是否符合实际。② 方案比较：分别写出两商家的费用函数，分情况（小于等于或大于临界值）比较大小。③ 分类讨论：由甲费用与乙费用的大小关系列出不等式，分别确定选择哪家更划算。 24．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 命题透视 ►核心考点：圆周角定理与切线的判定 ►命题分析： （1）情境创设：以圆内接三角形、直径与平行线为情境，考查圆周角定理、平行线性质与切线判定，属于圆综合题。 （2）问题设计：第（1）问利用同弧所对圆周角相等与直径所对圆周角为直角求角的度数；第（2）问证明直线是圆的切线。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与几何直观，要求能综合运用圆周角定理、平行线性质与切线判定定理。 答案与解析 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 知识总结 ① 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角。② 切线判定：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，需证明直线与半径垂直。③ 解题关键：连接半径与相关点构造直角三角形，利用角度计算证明垂直关系。 25．如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作 轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 命题透视 ►核心考点：二次函数综合：最值与存在性 ►命题分析： （1）情境创设：以抛物线与坐标轴交点及直线关系为情境，考查待定系数法、二次函数最值与存在性问题，属于函数压轴题。 （2）问题设计：第（1）问求抛物线表达式；第（2）问设动点求线段长度的最大值；第（3）问探究满足角条件的点的存在性并求坐标。 （3）考查目标：考查学生的模型观念、推理能力与运算能力，要求掌握待定系数法、二次函数最值与分类讨论思想。 答案与解析 【答案】(1) (2)当时，的最大值是4 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，作于点，得到，将转化为二次函数求最值即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：与轴交于点， ， ． ， ， ， 将代入中，得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得． ． 设，则． ∴， 过点作于点，则，， ，， ，又， ， ， ． ∵，， 当时，有最大值，最大值是4． （3）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为． ①如图1， 由，可知点关于的对称点为点， ． ②如图2， 设，作轴，则，． ，， ， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 知识总结 ① 待定系数法：由与坐标轴交点确定 、，代入求解析式。② 最值问题：设动点参数，表示线段长度（转化为关于参数的二次函数），配方求最值并注意自变量取值范围。③ 存在性问题：先假设存在，分情况讨论（如关于对称轴的对称点、构造等腰或全等），列方程求解并检验是否在抛物线上。 26．在矩形中，，（），点，在上，点，在上，将矩形沿，折叠，使得点B与点恰好落在上同一点处，点的对应点为，点的对应点为． (1)如图1，当，时，求的值； (2)如图2，当，，时，求的值； (3)当，时，直接写出的值． 命题透视 ►核心考点：矩形折叠与相似、勾股定理综合 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形沿折线折叠使点落在同一点为情境，考查折叠性质、相似三角形、勾股定理与面积比，属于动态几何压轴题。 （2）问题设计：分三种情形设问，第（1）问特殊值求线段比，第（2）问给定条件下求值，第（3）问一般情形直接写结果，由特殊到一般层层递进。 （3）考查目标：考查学生的空间观念、推理能力与运算能力，要求识别折叠中的全等与相似关系，综合运用面积比与勾股定理。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用已知条件得出，面积比是相似比的平方，得到相似比，利用相似比得出，的长度，折叠前后图形大小和形状不改变，利用勾股定理求出，的长度，结合图形得到的长度，即可求出的值； （2）利用第（1）问，根据已知条件求出面积比，从而得到相似比，利用相似比得出，的长度，折叠前后图形大小和形状不改变，利用勾股定理求出，的长度，结合图形得到的长度，即可求出的值； （3）根据已知条件推出，，利用三角形面积公式和已知条件得出和的关系，利用勾股定理求出，的长度，利用矩形的性质，结合图形得到的长度，从而得到的长度，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，，， 由折叠性质得：，，，，，，，； ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ，， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ； （2）当时，由（1）已证， ，， ， ， ，， ，， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ； （3）∵四边形是矩形， ，，， ，， 由折叠可知：，，，，，，，，，； ，，，， ，， ，， 设， ， ， 故， ， ， 在中，，，， ， ， ，， ， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， ， ． 【点睛】折叠前后图形的大小不变；矩形的对边相等且平行，每个角都是直角；两个三角形相似，面积比是相似比的平方． 知识总结 ① 折叠性质：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。② 面积比与相似比：相似三角形面积比等于相似比的平方，可据此建立比例关系。③ 综合运用：设未知数表示边长，利用折叠相等关系与勾股定理列方程，结合矩形性质求线段长度；注意分情况讨论折叠位置。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $