大题专项-专题02 数列（讲义）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题02 数列 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 数列 等比数列、等差数列、前n项和综合 2024 解答 9 等比数列、等差数列、前n项和综合 2023 解答 9 命题轨迹透视： 数列在近五年云南省职教高考考试中仅2023、2024年考过，分值为9分。虽然不是每年的必考题目，但对学生的要求是必须掌握的内容。内容主要考查等差数列、等比数列、通项公式、前n项和的综合，综合性较强，难度较大。 【考点1：数列】 1.（2024云南）在等比数列中，已知，前项和为，，公比，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列与之间的关系和通项公式即可解得. （2）根据等差数列和等比数列求和公式进行分组求和即可解得. 【小问1详解】 由题，数列为等比数列，且，， 即，即， ，即，又知， 解得或（舍去），则 【小问2详解】 由题，， 则 ， 即. 2.（2023云南）在等差数列中，已知，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求的前30项的和． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据等比数列和等差数列的性质代入求解首项和公差即可，即可求出通项公式. （2）由等差数列前n项和直接求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为，且成等比数列， 则， 解得，或， 所以当时，， 当时，. 【小问2详解】 当，， ， 当，， . 知识1 数列. 一、等差数列 (1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有. (3)通项公式：. (4)前n项和公式：或. (5)常用性质： ①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若{an}为等差数列，且若,则 ③若{an}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为m d的等差数列． ④若{an}是等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 二、等比数列 (1)定义：(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． (3)通项公式：. (4)前n项和公式： (5)等比数列的性质 ①an＝am·q n－m(m，n∈N*)． ②若，且，则 ③若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． ④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列． 三、通项求法 （1） 型 设数列的前项和为，若数列中有如下项：，（即的系数和或者有关），则应将递推式中的改写成，先算出。 （2） 累加法 遇到形如的递推公式时，求用累加法。 （3） 累乘法 遇到形如的递推公式时，求用累乘法。 （4） 型 遇到形如（）的递推式，两边同时加上，构造等比数列。 四、前n项和求法 （1）错位相减法： 如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差的等差数列，是公比的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和. 一般步骤：① 展开 ② 展开 ③ 作差： （2）裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如： ①； ②若为等差数列，公差为d，则； ③，. （3）分组求和法 把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和. 例如对通项公式为的数列求和. 知识点1 数列 1．在递增等比数列中，为数列的前n项和，已知，，求数列的通项公式． 2．已知等差数列满足，且． (1)求等差数列的通项公式； (2)若等比数列满足，且，求等比数列的前n项和． 3．已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 4．已知等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 5．已知等差数列的通项公式，求： (1)数列的前项； (2)公差； (3)前项的和. 6．数列，中，为等比数列，且公比为4，首项为2，， (1)求的通项公式； (2)求的前n项和公式. 7．已知数列首项为4，公差为4的等差数列． (1)求的通项公式； (2)为等比数列，且满足，求的通项公式； (3)记，求的前5项和． 8．数列的前n项和记为，已知， (1)证明是等比数列； (2)求的通项公式． 9．已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．在等差数列中，. (1)求的通项公式. (2)若等比数列满足.求数列的前n项和. 11．已知数列的首项是2，且满足，为正整数. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列{}的前项和. 12．在等比数列中，，求 (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和 13．在我国古代著名的数学专著《张丘建算经》里有一段叙述：今有两马，一马发长安至齐，初日行一百二十八里，日减半；另一马发齐至长安、初日行九十七里，日减半里，两马8日相逢.问：齐离长安多少里？ 14．已知数列中，，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 15．在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 16．已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)为何值时，取得最大值并求其最大值. 17．在等比数列中，已知，前项和为，公比，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．在数列中，，且4. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. 1．（或） 【分析】解法一：根据与列出两个关于和的方程，再根据通项公式代入即可. 解法二:根据设公比，代入可得的值，再代入通项公式求解. 【详解】解法一：设数列的首项为，公比为，且 由方程组 解得，（舍去） 当时， ∴的通项公式（或） 解法二：设等比数列的公比为q，因为，， 则 解得：，（舍去） 当时，首项 ∴的通项公式（或） 2．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列给定的项求解首项与公差，进而得到通项公式即可； （2）利用条件求得等比数列的公比，进而由等比数列的前n项和公式求解即可； 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ，， 则，解得， ∴， ∴． （2）设等比数列的公比为， ， ， ∴，解得， ∴ 3．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差中项的公式即可求解； （2）根据题意可知为等比数列，进而可求前n项和． 【详解】（1）已知等比数列的公比，，且，，成等差数列， 则有 因为，所以， 所以， 则的通项公式为； （2）由（1）可知， 则，为的等比数列， 则有， 所以数列的前n项和. 4．(1) (2)． 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用通项公式，列方程组可得和，据此可求解； （2）由等比数列的定义，可得数列是以2为首项8为公比的等比数列，据此可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得 所以的通项公式为． （2）由题可知， 所以， 即数列是以2为首项，8为公比的等比数列， 的前项和． 5．(1) (2) (3) 【分析】（）根据等差数列的通项公式求出前项即可得解. （）根据等差数列公差即可得解. （）根据等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）等差数列的通项公式， 所以，，，. （2）等差数列的通项公式，则， 则公差， 所以公差. （3）因为，， 所以. 6．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出，再将其代入即可求出的通项公式. （2）由等差数列的定义证明为等差数列，再由等差数列的前n项和公式求值即可 【详解】（1）已知为等比数列，且公比为4，首项为2， 则， ，. （2）由（1）可得，， ， 所以， 所以为公差为的等差数列，又， 所以. 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）根据等比数列的通项公式求值即可. （3）根据等差数列与等比数列的前项和求值即可. 【详解】（1）已知数列首项为4，公差为4的等差数列， 则. （2）由（1）可得，， 所以， ，所以公比， 则，. （3）因为， 则数列的前项和为， 数列的前项和为， 所以. 8．(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）根据先求，再证明为等比数列. （2）根据与的关系求解. 【详解】（1）∵ ∴, 化简得：， 令， 则， ∵ ∴是首项为2公比为的等比数列. （2）∵是首项为2公比为的等比数列, ∴的通项公式为, ∴的通项公式为, ∴， 则，符合通项公式， 故的通项公式为. 9．(1) (2) 【分析】（1）设 的公比为 ，再由等比数列的通项公式求值即可.     （2）根据等差数列的定义证明数列为等差数列，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）已知是各项均为正数的等比数列， 设 的公比为， 且，， 则有，即， 解得 （舍去）或 ， 因此 的通项公式为 . （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列， 则数列的前项和为. 10．(1) (2) 【分析】（1）首先求出等差数列的公差，再求出等差数列的通项公式求解即可. （2）根据（1）求出，再求出公比，进而得到等比数列的前项和. 【详解】（1）在等差数列中，，则，解得. 则. （2）根据（1）知，. 则. 因此 11．(1) (2) 【分析】（1）由题意先得出是等比数列，再写出通项公式即可； （2）由 代入，化简后为等差数列，利用等差数列前项和公式求. 【详解】（1）由，可得， 所以，且， 故是等比数列，首项，公比， 所以； （2）由（1）得， ，， 所以是首项，公差的等差数列， 所以 12．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）在等比数列中，，所以. 则. （2）根据（1）得，，则. 13．1017里 【分析】根据题意结合等差数列及等比数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意知一马每日行程构成等比数列，其中，公比， 则8日行程为. 另一马每日行程构成等差数列，其中，公差， 则8日行程为. 所以. 所以齐离长安1017里. 14．(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解； （2）根据题意，可得，将递推公式取倒数，化简可得，继而得到数列是等差数列，求出首项和公差，即可求解. 【详解】（1）因为，数列满足， 所以将，代入得； 将，代入得； 所以，； （2）因为数列中，，所以， 又， 所以，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. （1）因为，， 所以，，，，， 所以， 又， 所以， 当时也成立， 所以． （2）因为， 所以 ． 16．(1) (2)或时，取得最大值 【分析】（1）根据与关系求解； （2）解法一：利用二次函数求最值； 解法二：由项的符号求最值. 【详解】（1）由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式. （2）解法一：， 由二次函数图象及知，当或时，取得最大值18. 解法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，有最大值. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列与之间的关系和通项公式即可解得. （2）根据等差数列和等比数列求和公式进行分组求和即可解得. 【详解】（1）由题，数列为等比数列，且，， 即，即， ，即， 又知，解得或（舍去）， 则. （2）由题，， 则 ， 即. 18．(1) (2) 【分析】（1）通过已知构造出为等差数列，再由累加法求的通项公式即可. （2）由裂项相消方法求和即可. 【详解】（1），4， 又， 是首项为4，公差为4的等差数列， ，即且， 则，， 以上个式子累加得： ， ，所以， 当时，1满足上式， 的通项公式为：； （2）， ， ， 所以数列的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $