大题专项-专题04 立体几何（讲义）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题04 立体几何 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 立体几何 线面垂直、三棱锥体积 2026 解答 7 线面垂直、三棱锥体积 2025 解答 10 旋转体圆柱的体积 2022 解答 9 命题轨迹透视： 立体几何的大题在云南省职教高考近五年中供考查三次，分值一般是7分、9分或10分，内容主要考查线面垂直、三棱锥的体积。虽然三次考查的仅有线面垂直、三棱锥体积和圆柱的体积，但是立体几何这一块的其他内容也要重视起来，包括线面平行、面面平行、面面垂直、柱体的体积、锥体的体积。 【考点1：立体几何】 1.（2026云南）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析. （2）6. 【解析】 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判定定理及性质即可得解. （）根据题意结合棱锥的体积公式即可得解. 【小问1详解】 在正方形中，， 平面，平面， 所以， 因为平面，， 所以平面. 【小问2详解】 ， 因为平面， 则三棱锥的体积为. 2.（2025云南）如图所示，在三棱锥中，，，，已知． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可求解. （2）由题意可得，，两两相互垂直结合棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）在三棱锥中， 因为，，， 平面，平面， 所以平面. （2）根据题意可得，，两两相互垂直，平面， 又，所以三棱锥的体积为， 即三棱锥的体积为. 3.（2022云南）已知矩形的两边长分别为、，且满足，矩形分别以其短边和长边所在直线为轴，旋转一周，求所形成几何体的体积之比． 【答案】2:1 【解析】 【分析】分别以其短边和长边所在直线为轴旋转分类讨论，求对应圆柱的体积. 【详解】若以短边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为，高为, 体积; 若以长边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为,高为, 体积; 所以，所形成的几何体体积之比为. 知识1 立体几何 1.柱、锥、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) ＝＋2 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 球 S＝4πR2 V＝πR3 2.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 3.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 4.直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 5.平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点1 立体几何 1．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，．    (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 2．已知四棱锥，点是菱形对角线的交点，． (1)求证：平面； (2)已知，求四棱锥的体积． 3．如图，在长方体中，底面四边形是正方形．      (1)求证：平面； (2)若,求三棱锥的体积. 4．如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 5．如图，三棱锥中，平面为的中点，，.    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 6．如图，已知点O是边长为2的菱形的对角线和的交点，点P在平面外，且，.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 7．如图，三棱锥中，，垂足为D，平面，垂足为，且点在上.    (1)证明：平面； (2)若，，求三棱锥的体积. 8．如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，E是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面 10．如图，在正方体中，.    (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 11．已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，、分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)若.求点到平面的距离 12．如下图，在平行六面体中，底面是菱形，为的中点，．    (1)求证：平面； (2)若平行六面体的高为，，求三棱锥的体积. 13．已知四棱锥，点是菱形对角线的交点，． (1)求证：平面平面； (2)已知，求四棱锥的体积． 14．如图，在直三棱柱中，，，．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 15．在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，平面平面，.    (1)求证：； (2)若，求四棱锥的体积 1．(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面后可得证线线垂直. （2）由棱锥体积公式计算即可． 【详解】（1）∵底面，平面， ∴，又∵底面为正方形， ∴，又，，平面， ∴平面，又平面， ∴. （2）∵平面， ∴是三棱锥的高， ∵， ∴ . 2．(1)证明见解析 (2)32 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用线面垂直的判定定理可得证； （2）在等腰中，计算出棱锥的高，根据锥体的体积公式可求解. 【详解】（1）是菱形对角线和的交点， 是和的中点， ， ， 又平面平面， 平面． （2）由（1）可知，， ， ， ． 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意,利用线面垂直的性质与判定即可证明. （2）根据题意,利用等体积法,再根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：四边形是正方形,. 平面,平面,. ,平面,平面, 平面． （2）解：根据题意有. 平面, . 三棱锥的体积是. 4．(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可. （2）根据线面垂直的性质定理，得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可. 【详解】（1）因为分别为棱，的中点，故， 又平面，且平面， 所以平面. （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面， 所以平面， 5．(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）根据线面垂直的性质得，从而可证得平面，再线面垂直的性质得，再由平面，并根据面面垂直的判定定理即可得证. （2）由，得三棱锥的高为，再根据棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）因为为的中点，， 所以，因为平面， 平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由（1）得平面，且， 且，所以三棱锥的高为， 因为平面，平面， 所以，为的中点， 所以， 故.    6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质与线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据棱锥的体积公式求解即可； 【详解】（1）因为底面是菱形，所以， 因为O为、中点；，所以；同理可得，，所以； 因为，、平面，所以平面. （2）因为，所以菱形面积，，故； 在中，（为等边三角形，），， ， 所以四棱锥的体积. 7．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线垂直的性质和线面垂直的判定定理证明； （2）根据棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面. （2）∵平面，平面，∴， ∴. 8．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质先证明平面，再证面面垂直即可； （2）取中点为，连接，得出为三棱锥的高，再由三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）证明：在三棱柱中，底面ABC，所以； 又因为，且，平面； 所以平面，又平面ABE， 所以平面平面； （2）取中点为，连接， 在三棱柱中，底面ABC， E是的中点，F是的中点， 所以，且， 所以底面ABC，即为三棱锥的高， 因为，所以， 三棱锥的体积是． 9．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理找线线平行，再结合线面平行的判定定理证明即可． （2）利用线面垂直的性质和正方形对角线互相垂直结论，再结合线面垂直的判定定理证明即可． 【详解】（1）    如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为正方形，则点为的中点， 由已知点为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为四边形为正方形，所以. 因为平面，且平面，所以. 又因为平面，且，所以平面. 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合正方体的结构特征，线面垂直的性质定理及判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）在正方体中， 因为平面，平面， 所以， 因为，是正方形的对角线， 所以， 又，且平面，平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面， 所以为四棱锥的高， 因为正方体的棱长， 所以，， 所以四边形的面积， 故. 11．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过证明，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明出，确定三角形的面积，然后再求出三棱锥的体积，结合等体积法求出答案. 【详解】（1）连接，由已知、分别为和的中点，    ∴，又∵面，面， ∴平面； （2）∵底面，底面，且底面是正方形， ∴，. ∵，∴. ∴. 又∵底面且平面，∴平面底面. 又∵底面平面，底面是正方形，∴， ∴平面，又∵平面，∴. ∴. 设点到平面的距离为， 则有. ∴点到平面的距离为. 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）通过求解三角形的面积，结合三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）如图，在平行六面体中，底面是菱形， 连接，交于O点，则O为的中点，连接，    因为为的中点，O为的中点，故, 因为平面，平面， 故平面； （2）因为底面是菱形，且， 所以， 所以三棱锥的体积. 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用面面垂直的判定定理可得证； （2）在等腰中，计算出棱锥的高，根据锥体的体积公式可求解. 【详解】（1）∵是菱形对角线和的交点， ∴是和的中点， ∵， ∴， 又∵平面平面， ∴平面． 又∵平面， ∴平面； （2）由（1）可知，， ∵，则， ∴， ∴． 14．(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）在中，由勾股定理逆定理可得，再结合直三棱柱的性质，可证平面，进而证明两平面垂直； （2）通过三棱锥的体积公式直接计算即可. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，平面， 所以，因为在中，，，， 即，所以，即， 又因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，所以是三棱锥的高，底面积， 所以． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质得出平面，再由线面垂直的定义证出即可； （2）作，为垂足，由几何关系可得，结合即可求值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）作，为垂足，    在等腰梯形中，，， 所以， 所以，所以， 又因为，， 所以， 又因为，，，所以， 由（1）得平面，且平面， 所以， 又因为，所以，即， 所以， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $