大题专项-专题05 概率与统计（讲义）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题05 概率与统计 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 概率与统计 频率分布直方图、样本容量、古典概型 2025 解答 10 命题轨迹透视： 概率与统计的大题仅在2025年考查过一次，分值为10分，内容主要考查频率分布直方图随机事件及概率、古典概型、总体与样本、抽样方法的综合。由于这部分内容是2025年才加入进来的，不排除以后考查内容增加的可能，学生要对这部分重视起来。 【考点1：概率与统计】 1.（2025云南）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织学生进行了一场知识竞赛，现从竞赛分数（单位：分）中抽取了一个样本，数据分组为，，，，，绘制成频率分布直方图，其矩形的高之比依次为，已知分数在的频数为6，分数在的为优秀． (1)求样本容量及优秀率； (2)现准备从分数在的学生（男、女比例为）中任选2人，求其中至多含有1名女生的概率． 【答案】(1)样本容量为48；优秀率为 (2) 【分析】（1）根据题意，可设样本容量为n，继而得到，即可求出样本容量，继而求得分数在的频数，即可求出优秀率； （2）根据题意，根据分数在的学生中的男、女比例可求出男、女生人数，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，设样本容量为n，则，即， 解得， 即样本容量为48； 所以分数在的频数为， 所以优秀率为； （2）因为分数在的学生中，男、女比例为， 所以男生人数为人，女生人数为人，设4名男生为A、B、C、D。2名女生设为a、b. 任选两人则有以下情况：AB、AC、AD、A a、Ab、BC、BD、Ba、B b、CD、Ca、Cd、D a、Db、ab。符合条件的为AB、AC、AD、A a、Ab、BC、BD、Ba、B b、CD、Ca、Cd、D a、Db。 所以其中至多含有1名女生的概率为. 知识1 概率与统计 1.对于古典概型，若随机试验的样本空间Ω包含的样本点总数为n，事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为 2.众数、中位数、平均数 ①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． ③平均数：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为,,...,，则称=为总体均值，又称总体平均数. 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为,,...,则称=为样本均值，又称样本平均数. 3.数据的离散程度还可以用方差或标准差来描述. 如果总体中所有个体的变量值分别为,,...,，总体平均数为，则称 =为总体方差，为总体标准差. 如果一个样本中所有个体的变量值分别为,,...,，样本平均数为，则称 =为样本方差，=为样本标准差. 4.列频率分布表，绘制频率分布直方图的步骤如下： （1）计算极差：数据中最大值b减去最小值a； （2）确定组数与组距：根据数据的多少确定分组数量m，数据越多，分组越多．样本容量不超过100时，通常分成5～12组． （3） 确定分点：第一组的起点可以是最小值，也可以比最小值小一点； （4）列频率分布表：一般分成三列（分组、频数和频率），最后一行是合计，其中频数合计是样本容量，频率合计是1； （5）绘制频率分布直方图：横坐标表示数据分组情况，纵坐标表示频率与组距的比值．频率分布直方图可以用频率与组距的比值为高、组距为底的矩形绘制．各个矩形的面积等于相应各组的频率．即 知识点1 概率与统计 1．某县严重缺水，为了倡导“节约用水，从我做起”，李明同学在他所在学校的2000名同学中，随机调查了80名同学家庭中一个月的用水量，并将月均用水量（单位：立方米）分为组加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)试求出图中的值； (2)根据样本数据，估计李明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量不低于14立方米的约有多少户. 2．云南省某中职学校进行食堂满意度调查，从就餐的同学中随机抽取50名同学进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示.    (1)求a的值及被抽取的50名同学的问卷调查结果在中的人数； (2)若从样本中问卷调查结果在和内的同学中随机抽取2名同学，求随机抽取的这2名同学在同一组的概率. 3．为了了解某职校学生的体能情况，抽取了该校高一年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为10．    (1)求第四小组的频率； (2)参加这次测试的学生有多少人； (3)若次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率． 4．为弘扬中华优秀传统文化，某校组织学生进行了一场知识竞赛，现从竞赛分数（单位：分）中抽取了一个样本，数据分组为，，，，，绘制成频率分布直方图，其矩形的高之比依次为，已知分数在的频数为6，分数在的为优秀． (1)求样本容量及优秀率； (2)现准备从分数在的学生（男、女比例为）中任选2人，求其中至多含有1名女生的概率． 5．为了弘扬传统文化，某校举办了诗词大赛.现将抽取的学生的成绩从低到高依次分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)估计本次诗词大赛的成绩合格（成绩不低于60分）的概率. 6．为了解本学期数学学科的学习情况，学校组织高一年级学生进行数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，并制成如图所示的频率分布直方图，已知分数在内的频数为150．    (1)求样本容量； (2)求实数的值； (3)若成绩在60分以上（含60分）为及格，求高一年级学生的及格率． 7．某中职学校为本市“中职数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于分的有参赛资格，分以下（不包括分）的则被淘汰.现有人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求获得参赛资格的人数； (2)现从成绩、（单位：分）的同学中采用分层抽样随机抽取5人，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在的概率. 8．袋中装有大小与质地相同的个球，其中白球个，黑球个，从中一次摸出个球． (1)写出该随机试验所有可能出现的情况； (2)求摸出来的个球都是黑球的概率； (3)求摸出来的个球颜色不同的概率． 9．为了解某中职学校2025级全体新生数学学科的摸底测试成绩，现随机抽取一部分学生的成绩作为样本，按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．已知在内的频数为10．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本容量； (3)若新生共有1600名，试估计新生这次测试成绩不低于70分的人数． 10．为了提高学生学习数学的兴趣，某学校组织了一场数学竞赛，现从竞赛成绩（单位：分）中抽取了一个样本，数据分组为，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知分数在组的频数为8.    (1)求出图中的值和样本容量； (2)现准备从分数在组内的学生（男、女比例为）中任选2人，求所选学生中含有1名男生和1名女生的概率. 11．为了了解某职校学生的体能情况，抽取了该校高一年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）.已知图中从左到右前三个小组频率分别为，第一小组的频数为. (1)求第四小组的频率； (2)参加这次测试的学生有多少人； (3)若次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率. 12．为了提高学生学习数学的兴趣，某学校组织了一场数学竞赛，共有1200名学生参加，现从竞赛成绩（单位：分）中抽取了一个样本，数据分组为，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知分数在组的频数为18.    (1)求出图中的值和样本容量； (2)用样本的频率估计总体的概率，求本次数学竞赛的及格率（分及以上）和优秀人数（分及以上）. 13．从某小区抽取户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在至度之间，频率分布直方图如图所示．    (1)求直方图中的值； (2)①求在这些用户中，用电量在区间内的居民数； ②如果按分层抽样方法，在这些用户中按的比例抽取用户进一步调查，那么用电量在内的居民数应抽取多少？ 14．某校高二学生中，已知语文优秀的有200人，英语优秀的有150人，每个学生至少有一科优秀，且语文、英语都优秀的学生被抽到的概率为.现按“语文优秀英语不优秀”“英语优秀语文不优秀”“语文、英语都优秀”三层进行分层抽样，抽取6名学生，其中对应三层的人数分别为a、b、c. (1)求a、b、c的值； (2)从抽取的6名学生中随机抽取2人，求这2人语文都优秀的概率P. 15．某大学随机统计了1000名学生的一个学期去图书馆的时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值以及自习时间在内的学生人数； (2)从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 16．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 10 7 7 10 10 乙射击成绩 10 7 10 10 9 8 (1)分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？ 1．(1) (2)500 【分析】（1）根据频率直方图的性质求解参数即可； （2）根据频率直方图的数据求解即可； 【详解】（1）各组的频率之和为1， 月均用水量在区间的频率为， . （2）由图可知，月均用水量不低于14立方米的频率为， 名同学家庭中，月均用水量不低于14立方米的约有（户）. 2．(1)，5. (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出的值，结合频率公式即可得解. （2）根据频率公式求出在，内的人数，结合古典概型公式即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得， 因为问卷调查结果在的频率为， 所以被抽取的50名同学的问卷调查结果在的人数为. （2）被抽取的50名同学中，在内的人数为，设这4人为，，，； 在内的人数为，设这2人为， 从中随机抽取2名同学，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 其中随机抽取的这2名同学在同一组的有，，，，，，，共7种情况. 故随机抽取的这2名同学在同一组的概率. 3．(1) (2)人 (3) 【分析】  (1)根据频率分布直方图，以及前三个小组的频率，那么第四个小组的频率用1减去前三个小组的频率即可得出. （2）根据频率=频数÷样本容量，通过第一小组的频率和频数即可求出总人数. （3）次数在75次以上，即为后三组，达标率等于达标次数的频率之和. 【详解】（1）由累积频率为1知，第四小组的频率为. （2）设参加这次测试的学生有x人，则， ∴．即参加这次测试的学生有100人． （3）次数在75次以上，即为后三组，达标率为   ，即， 所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为． 4．(1)样本容量为48；优秀率为 (2) 【分析】（1）根据题意，可设样本容量为n，继而得到，即可求出样本容量，继而求得分数在的频数，即可求出优秀率； （2）根据题意，根据分数在的学生中的男、女比例可求出男、女生人数，结合古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，设样本容量为n，则，即， 解得， 即样本容量为48； 所以分数在的频数为， 所以优秀率为； （2）因为分数在的学生中，男、女比例为， 所以男生人数为人，女生人数为人， 设男生编号 ，女生编号 ， 所有可能的选法共15种：， 选中的两名都是女生共1种：， 所以其中至多含有1名女生的概率为. 5．(1) (2)0.75 【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图中，各组的频率之和为1，即可列式求解. （2）根据题意，结合频率分布直方图，求得成绩不低于60分的频率，即可求得概率. 【详解】（1）由题意知，，解得. （2）由频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为， 所以由样本的频率估计总体的概率，可知本次诗词大赛成绩合格的概率为0.75. 6．(1)1000 (2)0.025 (3)0.8 【分析】（1）首先求出分数在内的频率，再根据频率与样本容量的关系求解即可. （2）根据频率的性质求解即可. （3）根据频率分布直方图进行概率相加求解即可. 【详解】（1）分数在内的频率为. 则样本容量. （2）因为所有组频率和为1，即， 解得. （3）及格率即60分以上（含60分）的频率和，为. 7．(1) (2) 【分析】（1）由题意根据频率分布直方图得出分以上的频率，再计算即可求解. （2）先由题意求出各层人数，再由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 获得参赛资格的人数为人. （2）成绩在的人数为人， 成绩在的人数为人， 所以应从成绩在中抽取人， 从成绩在中抽取人， 不妨将抽取的5人按成绩从低到高编号为， 故，从，中任取两人， 共有和 这种不同的情况， 其中含有的共有9种， 所以至少有1人的成绩在的概率为. 8．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）设出试验的所有情况组成的基本事件，列举即得样本空间； （2）由题意列举出所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得； （3）由题意列举出所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】（1）设个白球分别记为，个黑球分别记为 则该随机试验所有可能出现的情况为：， . （2）记“摸出来的个球都是黑球”，则，故； （3）记“摸出来的2个球颜色不同”， 则， 故. 9．(1)0.02 (2)50 (3)960名 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，即可求解. （2）先分析内的频数，再根据样本容量，即可求解. （3）先分析成绩不低于70的频率，再根据样本估计总体，即可求解. 【详解】（1）因为在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1， 又组距为10，所以，解得， 所以频率分布直方图中的值为0.02． （2）由（1）可知，在内的频率为， 所以样本容量. （3）因为成绩不低于70分的频率为， 根据用样本估计总体，可得成绩不低于70分的人数约为， 所以估计新生这次测试成绩不低于70分的人数为960名． 10．(1)，32 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积和为1求出，再由频率，频数与样本容量的关系求出样本容量； （2）确定组内男生数与女生数，然后根据古典概型的概率公式求解． 【详解】（1）组距为， 由，解得， 因为组的频率为，频数为8， 所以样本容量为. （2）组的频数为， 所以男生数为，女生数为， 设男生为，，，，女生为，， 从6人中任选2人，所有样本点有：，，，，，， ，，，，，，，，，共15种. 所选学生中含有1名男生和1名女生的情况有：，，，，， ，，，共8种， 所以所选学生中有1名男生和1名女生的概率为. 11．(1) (2)人 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图，以及前三个小组的频率，那么第四个小组的频率用1减去前三个小组的频率即可得出. （2）根据频率=频数÷样本容量，通过第一小组的频率和频数即可求出总人数. （3）次数在75次以上，即为后三组，达标率等于达标次数的频率之和. 【详解】（1）由累积频率为1知，第四小组的频率为. （2）设参加这次测试的学生有人， 第一小组的频数为，频率为，则， 所以，即参加这次测试的学生有200人. （3）次数在75次以上，即为后三组，达标率为，即， 所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为. 12．(1)；60 (2)；人 【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积和为1求出，再由频率，频数与样本容量的关系求出样本容量； （2）根据频率分布直方图中大于等于的小长方形面积确定及格率；根据大于等于的小长方形面积确定优秀率，再结合本次参加数学竞赛的总人数即可求解. 【详解】（1）由图知，组距为， 由，解得， 因为组的频率为，频数为18， 所以样本容量为. （2）及格率为； 优秀人数为人. 13．(1) (2)， 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形的总面积为1列方程求解即可. （2）①根据频率分布直方图中，频率的公式计算即可. ②根据分层抽样的比例计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， ， 解得. （2）①用电量在内的频率为， ∴在这些用户中，用电量在区间内的居民数为户. ②用电量在内的户数为（户）， 按分层抽样方法，在这些用户中按的比例抽取用户进一步调查， 用电量在内的居民数应该抽取：（户）. 14．(1). (2). 【分析】（）根据题意算出语文、英语都优秀的人数，再结合分层抽样的定义即可得解. （）根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. 【详解】（1）设语文、英语都优秀的学生有人， 则总人数为人， 且，解得人， 所以语文优秀英语不优秀的人数为人； 英语优秀语文不优秀的人数为人； 语文、英语都优秀的人数为人， 分层抽样抽取名学生，则； ，， 综上所述，. （2）由（）名学生中，语文优秀英语不优秀的人数为人，英语优秀语文不优秀的人数为人，语文、英语都优秀的人数为人， 从中随机抽取两人的组合数为； 抽取的两人语文都优秀的组合数为， 所以概率为. 15．(1)； (2) 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为. （2）一个学期自习时间落在的抽取人数为. 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生可能的结果为：，. 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的有，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 16．(1)人教版：甲的平均数为，方差为；乙的平均数为，方差为. 高教版：甲的平均数为，方差为；乙的平均数为，方差为. (2)乙运动员成绩更好. 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式可解. （2）比较平均数和方差的大小可得. 【详解】（1）甲随机抽取的6次射击成绩的平均数记为， 人教版： 方差记为， 高教版： 方差记为； 乙随机抽取的6次射击成绩的平均数记为， 人教版： 方差记为， 高教版： 方差记为 （2）因为，，所以乙随机抽取的6次射击成绩比甲稳定， 故乙运动员成绩更好. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $