专题13 立体几何（讲义）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题13 立体几何 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 立体几何 三视图 2026 单选 4 线面垂直和体积 2026 解答 7 线面垂直和体积 2025 解答 10 圆柱 2024 单选 2 直三棱柱 2024 填空 3 正方体 2023 单选 2 圆柱体 2023 填空 3 圆柱体 2022 解答 9 命题轨迹透视： 立体几何连续五年在云南省职教高考考试中每年考查1-2题，为每年必考题目。主要考查多面体、旋转体、简单几何中的平行关系、简单几何中的垂直关系。题型选择、填空、解答均有涉及，题型的分布不固定。 【考点1：立体几何】 1.（2026云南）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，再借助球的表面积公式求解即可. 【详解】由三视图可知该几何体为球， 由图可知，球的半径， 所以其表面积. 故选：B. 2.（2026云南）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析. （2）6. 【解析】 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判定定理及性质即可得解. （）根据题意结合棱锥的体积公式即可得解. 【小问1详解】 在正方形中，， 平面，平面， 所以， 因为平面，， 所以平面. 【小问2详解】 ， 因为平面， 则三棱锥的体积为. 3.（2025云南）如图所示，在三棱锥中，，，，已知． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可求解. （2）由题意可得，，两两相互垂直结合棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）在三棱锥中， 因为，，， 平面，平面， 所以平面. （2）根据题意可得，，两两相互垂直，平面， 又，所以三棱锥的体积为， 即三棱锥的体积为. 4.（2024云南）圆柱的底面积是，轴截面是一个正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由底面积求出底面圆半径为，则高为，再根据圆柱侧面积公式求解. 【详解】因为圆柱底面积为，根据圆的面积公式得， 则底面半径， 因为轴截面是一个正方形， 所以高为， 那么圆柱的侧面积为. 故选：D. 5.（2024云南）高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式及直三棱柱体积公式可求. 【详解】底面是边长为的正三角形，则三角形的高为， 则底面积， 则体积； 故答案为：. 6.（2023云南）如果一个正方体的体对角线为a，则这个正方体的棱长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体棱长与体对角线的关系求解即可 【详解】设正方体棱长为则，则. 故选：A. 7.（2023云南）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱体的表面积公式求出底面直径和高，再求解圆柱体的体积即可. 【详解】设底面半径为r， 因为底面直径和高相等，所以高为， 所以， ，解得， 所以圆柱体的体积为. 故答案为：. 8.（2022云南）已知矩形的两边长分别为、，且满足，矩形分别以其短边和长边所在直线为轴，旋转一周，求所形成几何体的体积之比． 【答案】2:1 【解析】 【分析】分别以其短边和长边所在直线为轴旋转分类讨论，求对应圆柱的体积. 【详解】若以短边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为，高为, 体积; 若以长边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为,高为, 体积; 所以，所形成的几何体体积之比为. 知识1 立体几何 1．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． 2.圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl 3.柱、锥、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) ＝＋2 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 球 S＝4πR2 V＝πR3 4.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 5.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 6.直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 7.平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点1 立体几何 1．已知直角三角形的直角边分别为R、2R，以长为R的直角边所在直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积是（   ）. A． B． C． D． 2．已知球的大圆面积为，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），这个几何体是（   ）    A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥 4．已知一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知球的表面积为，则该球的体积为（ ）． A． B． C． D． 6．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（    ）    A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 7．已知圆锥的高为6，母线长为10，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（   ）． A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球 9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（   ）． A． B． C． D． 10．一个圆锥形零件的高为，沿着高切开后，其中一个截面面积是，则圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 11．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 12．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，面积的最大值是（    ）    A．8 B． C．10 D． 13．如果正方体的棱长为，那么这个正方体的外接球表面积为（ ）. A． B． C． D． 14．已知圆柱的高为5，底面周长为，则圆柱的体积为_____. 15．一个圆锥的高为，侧面展开是半圆，则这个圆锥的体积是________. 16．已知圆锥体与半径为2的圆柱体底面积、高相同，母线比为，则圆锥体的体积为_______. 17．如图，在长方体中，底面四边形是正方形．      (1)求证：平面； (2)若,求三棱锥的体积. 18．已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，、分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)若.求点到平面的距离 19．如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 20．如图，三棱锥中，，垂足为D，平面，垂足为，且点在上.    (1)证明：平面； (2)若，，求三棱锥的体积. 21．如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，E是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 22．已知四棱锥，点是菱形对角线的交点，． (1)求证：平面平面； (2)已知，求四棱锥的体积． 23．如图，在正方体中，.    (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 24．如图，在直三棱柱中，，，．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 1．D 【分析】根据旋转得到所成图形，再由圆锥的体积求解即可. 【详解】由题可知，旋转所形成的几何体为圆锥，且圆锥的高为.底面圆的半径为 所以其体积为. 故选：D. 2．A 【分析】由大圆面积求解半径，再由半径求解球的表面积即可求解. 【详解】因为球的大圆面积为，所以，解得， 所以. 故选:A. 3．A 【分析】根据三视图确定几何体的形状. 【详解】因为主视图，左视图，俯视图是半径相同的圆，所以该几何体是球. 故选：A. 4．A 【分析】首先求出底面半径，然后利用圆锥的侧面积公式求解. 【详解】已知一个圆锥的母线长为，高为， 则圆锥底面半径， 所以圆锥的侧面积. 故选：A. 5．C 【分析】根据球的表面积求出半径R，再求出球的体积即可. 【详解】设球的半径为R，由题可知， ，解得， 所以球的体积为. 故选：C 6．D 【分析】根据常见几何体的结构特征及三视图的概念判断． 【详解】由俯视图是圆可知，这个几何体可能是圆锥或圆柱， 又主视图与左视图均是长方形，则可知这个几何体是圆柱． 故选：D． 7．D 【分析】先根据圆锥的结构得到其半径，再利用体积公式求解. 【详解】因为圆锥的高，母线， 所以圆锥的底面半径， 则圆锥的体积. 故选：D. 8．A 【分析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，及几何体的三视图，即可判断求解. 【详解】根据该几何体的三视图可得，该几何体是圆柱. 故选：A. 9．A 【分析】由三视图可知，该几何体下半部分是圆锥，上半部分为半球拼接而成的组合体，根据球和圆锥的面积公式可求解. 【详解】由三视图可知，该几何体下半部分是圆锥，上半部分为半球拼接而成的组合体， 其中球的半径为1，圆锥的高为2，底面半径为1，则圆锥的母线， 所以半球的表面积为：，圆锥的侧面积为：， 所以该几何体的表面积为. 故选：A 10．B 【分析】根据题意截面面积求出底面半径，代入圆锥的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，则直径为， 则，解得， 所以体积为， 故选：. 11．B 【分析】求出正方形中对角线的一半即可知与的大小，由勾股定理得到，再由对角线互相垂直得到，即可证平面，再代棱锥体积公式计算即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，， 在正方形中，有，， 且正方形边长为，则， 则由可知，， 因为平面，， 所以平面， 则. 故选：B.    12．C 【分析】通过三视图还原出四面体的直观图，然后分别计算四个面的面积，比较得出面积最大的面. 【详解】    由三视图可知，该四面体的直观图如图所示，其中平面， 且，所以该四面体四个面的面积分别 ,, ,， 从而面积的最大值为10. 故选：C. 13．B 【分析】由正方体的体对角线等于外接球的直径，求出球的半径，再根据球的表面积公式可求解. 【详解】因为正方体的棱长为， 所以这个正方体的外接球的直径为，即， 所以外接球表面积. 故选：B. 14． 【分析】根据题意求出圆柱的底面半径，代入圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面半径为，则，解得， 则圆柱的体积为， 故答案为：. 15．/ 【分析】设圆锥的底面半径为，再由圆锥的高与母线以及底面半径之间的关系，求出底面半径，求出母线长，由圆锥的体积公式求值即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，则， 即，因为圆锥的高为， 所以，解得，， 所以这个圆锥的体积是， 故答案为：. 16． 【分析】由圆锥和圆柱的特征结合题设条件分析，求出圆锥的底面圆半径和高，即可求出其体积. 【详解】因为圆柱体的母线和高相等， 又因为圆锥体和圆柱体的高相同，母线比为， 即圆锥体母线和圆锥体的高的比为， 如图： 则， 又因为圆锥体与半径为2的圆柱体底面积相同， 即圆锥体底面圆的半径， 设，则，解得， 即圆锥体的高， 所以圆锥体的体积为. 故答案为：. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意,利用线面垂直的性质与判定即可证明. （2）根据题意,利用等体积法,再根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：四边形是正方形,. 平面,平面,. ,平面,平面, 平面． （2）解：根据题意有. 平面, . 三棱锥的体积是. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过证明，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明出，确定三角形的面积，然后再求出三棱锥的体积，结合等体积法求出答案. 【详解】（1）连接，由已知、分别为和的中点，    ∴，又∵面，面， ∴平面； （2）∵底面，底面，且底面是正方形， ∴，. ∵，∴. ∴. 又∵底面且平面，∴平面底面. 又∵底面平面，底面是正方形，∴， ∴平面，又∵平面，∴. ∴. 设点到平面的距离为， 则有. ∴点到平面的距离为. 19．(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可. （2）根据线面垂直的性质定理，得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可. 【详解】（1）因为分别为棱，的中点，故， 又平面，且平面， 所以平面. （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面， 所以平面， 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线垂直的性质和线面垂直的判定定理证明； （2）根据棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面. （2）∵平面，平面，∴， ∴. 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质先证明平面，再证面面垂直即可； （2）取中点为，连接，得出为三棱锥的高，再由三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）证明：在三棱柱中，底面ABC，所以； 又因为，且，平面； 所以平面，又平面ABE， 所以平面平面； （2）取中点为，连接， 在三棱柱中，底面ABC， E是的中点，F是的中点， 所以，且， 所以底面ABC，即为三棱锥的高， 因为，所以， 三棱锥的体积是． 22．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用面面垂直的判定定理可得证； （2）在等腰中，计算出棱锥的高，根据锥体的体积公式可求解. 【详解】（1）∵是菱形对角线和的交点， ∴是和的中点， ∵， ∴， 又∵平面平面， ∴平面． 又∵平面， ∴平面； （2）由（1）可知，， ∵，则， ∴， ∴． 23．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合正方体的结构特征，线面垂直的性质定理及判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）在正方体中， 因为平面，平面， 所以， 因为，是正方形的对角线， 所以， 又，且平面，平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面， 所以为四棱锥的高， 因为正方体的棱长， 所以，， 所以四边形的面积， 故. 24．(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）在中，由勾股定理逆定理可得，再结合直三棱柱的性质，可证平面，进而证明两平面垂直； （2）通过三棱锥的体积公式直接计算即可. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，平面， 所以，因为在中，，，， 即，所以，即， 又因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，所以是三棱锥的高，底面积， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $