专题14 概率与统计（讲义）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题14 概率与统计 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 概率与统计 分层抽样 2026 单选 4 古典概型 2026 填空 5 抽样 2025 单选 3 频率分布直方图 2025 解答 10 命题轨迹透视： 概率与统计近两年在云南省职教高考考试中每年考查两题，为近两年必考题目。主要考查随机事件及概率、古典概型、总体与样本、抽样方法、统计图表。题型选择、填空、解答均有涉及，考查题的数量固定但题型不固定。 【考点1：概率与统计】 1.（2026云南）在五四青年节到来之际，某校计划举办“青春之歌”主题朗诵活动，以传承五四爱国精神.已知该校A专业有名学生，B专业有名学生，C专业有名学生.现用分层抽样的方法从这三个专业中抽取名学生组成一支朗诵队，则A专业抽取的人数是（ ）. A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念确定抽样比，再由A专业的人数即可解答. 【详解】已知该校A专业有名学生， B专业有名学生，C专业有名学生， 从这三个专业中抽取名学生，抽样比为， 则A专业抽取的人数是人. 故选：B. 2.（2026云南）某抽奖活动中有两个盲盒和，中装有编号为的4个球，中装有编号为的5个球，所有球除编号外均无差异.抽奖规则如下：每次抽奖先从A中抽取一个球，再从B中抽取一个球，若抽取的两球编号之和等于6为中奖，否则不中奖.则每次中奖的概率是_______________. 【答案】/0.2 【解析】 【分析】根据题意结合古典概型公式即可得解. 【详解】由题意可知，先从A中抽取一个球，再从B中抽取一个球，共有种情况， 抽取的两球编号之和等于6为中奖，有共种， 所以中奖的概率为， 故答案为：. 3.（2025云南）某中学高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人，为了解学生的体质状况，按年级用分层抽样的方法从高三年级中抽取人，则本次调查抽取的样本容量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先计算抽样比，再由总体容量乘以抽样比即可解答. 【详解】已知高三年级有学生人， 按年级用分层抽样的方法从高三年级中抽取人， 则抽样比为，又高一年级有学生人，高二年级有学生人， 则该中学总人数为人， 所以本次调查抽取的样本容量是， 故选：A. 4.（2025云南）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织学生进行了一场知识竞赛，现从竞赛分数（单位：分）中抽取了一个样本，数据分组为，，，，，绘制成频率分布直方图，其矩形的高之比依次为，已知分数在的频数为6，分数在的为优秀． (1)求样本容量及优秀率； (2)现准备从分数在的学生（男、女比例为）中任选2人，求其中至多含有1名女生的概率． 【答案】(1)样本容量为48；优秀率为 (2) 【分析】（1）根据题意，可设样本容量为n，继而得到，即可求出样本容量，继而求得分数在的频数，即可求出优秀率； （2）根据题意，根据分数在的学生中的男、女比例可求出男、女生人数，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，设样本容量为n，则，即， 解得， 即样本容量为48； 所以分数在的频数为， 所以优秀率为； （2）因为分数在的学生中，男、女比例为， 所以男生人数为人，女生人数为人，设4名男生为A、B、C、D。2名女生设为a、b. 任选两人则有以下情况：AB、AC、AD、A a、Ab、BC、BD、Ba、B b、CD、Ca、Cd、D a、Db、ab。符合条件的为AB、AC、AD、A a、Ab、BC、BD、Ba、B b、CD、Ca、Cd、D a、Db。 所以其中至多含有1名女生的概率为. 知识1 统计与概率 （一）随机事件及概率 1.随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母ω表示．所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母Ω表示． 2.如果随机试验的样本空间是Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称为随机事件，简称为事件，常用大写字母A、B、C…等表示，事件中的每一个元素都称为基本事件． 3.一般地，在n次重复试验中，事件A发生的频率总稳定在某个常数附近，就把这个常数称为事件A发生的概率，记作P(A)． 4.由概率的定义可知： （1）对于任意事件A，都有0≤P(A)≤1； （2）必然事件的概率为1，即P(Ω)=1； （3）不可能事件的概率为0，即P(∅)=0 ． （二）古典概型 1.如果一个随机试验具有如下性质： （1）有限性：样本空间Ω的样本点总数有限； （2）等可能性：每次试验中，样本空间Ω中的各个样本点出现的可能性相等． 称这样的随机试验为古典概型． 2.古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的随机试验才是古典概型． 3.对于古典概型，若随机试验的样本空间Ω包含的样本点总数为n，事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为 （三）总体与样本、抽样方法 1.从调查的对象中按照一定的方法抽取一部分对象进行调查、研究、分析和观测，获取数据，对调查对象的某项指标做出推测，这就是抽样调查． 2.在统计问题中，把所研究对象的全体称为总体．总体中的每一个对象称为个体．从总体中抽取的一部分个体所组成的集合称为总体的样本．样本中个体的数目称为样本量，也称为样本容量． 3.一般地，设总体中的个体数为N．从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的概率相等，这种抽样方法称为简单随机抽样． 4.当总体由差异明显的几部分组成时，可将总体按差异情况分成互不重叠的几个部分（在统计上称为“层”），再从每一层内随机抽取一定数量的个体组成样本，这种抽样方法称为分层抽样． 5.众数、中位数、平均数 ①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． ③平均数：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为,,...,，则称=为总体均值，又称总体平均数. 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为,,...,则称=为样本均值，又称样本平均数. 6.数据的离散程度还可以用方差或标准差来描述. 如果总体中所有个体的变量值分别为,,...,，总体平均数为，则称 =为总体方差，为总体标准差. 如果一个样本中所有个体的变量值分别为,,...,，样本平均数为，则称 =为样本方差，=为样本标准差. （4） 统计图表 1.频率分布表可以清楚地反映数据的分布规律．频率分布直方图可以将频率分布表中所反映的规律直观、形象地表示出来． 2.列频率分布表，绘制频率分布直方图的步骤如下： （1）计算极差：数据中最大值b减去最小值a； （2）确定组数与组距：根据数据的多少确定分组数量m，数据越多，分组越多．样本容量不超过100时，通常分成5～12组． （3） 确定分点：第一组的起点可以是最小值，也可以比最小值小一点； （4）列频率分布表：一般分成三列（分组、频数和频率），最后一行是合计，其中频数合计是样本容量，频率合计是1； （5）绘制频率分布直方图：横坐标表示数据分组情况，纵坐标表示频率与组距的比值．频率分布直方图可以用频率与组距的比值为高、组距为底的矩形绘制．各个矩形的面积等于相应各组的频率．即 3.频率分布直方图是以图形的面积反映数据落在各个小组内的频率大小． 知识点1 概率与统计 1．某小组名同学答题数分别为.若想表示“最常出现的答题数”，应选用（　　） A．最大值 B．平均数 C．中位数 D．众数 2．若两组数据平均数相同，乙组标准差较大，则乙组数据通常（　　） A．波动较大 B．更集中 C．个数一定少 D．平均数更小 3．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的学生，将他们的身高数据（单位：cm）按，，，分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中身高在区间内的人数为300，身高在区间内的人数为180，则a的值为（       ）    A．0.03 B．0.3 C．0.035 D．0.35 4．某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则第11次正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 5．将一枚硬币抛掷两次，恰好出现一次为正面的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某地区的高中分三类，类学校共有4000人，类学校共有2000人，类学校共有3000人，欲抽样分析高考成绩情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A 类学校抽取的试卷份数是（    ） A．450 B．400 C．300 D．200 7．为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48.则的值分别为（ ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 8．某地区的高中分三类，类学校共有5000人，类学校共有3000人，类学校共有2000人，欲抽样分析某次期末统考成绩情况，若抽取1000份试卷进行分析，则从类学校抽取的试卷份数是（ ） A．350 B．300 C．250 D．200 9．为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了名学生进行体能测试，并将这名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图，则直方图中实数的值为（    ）    A． B． C． D． 10．某中学高中部共有高一、高二、高三三个年级，高一年级有名学生，高二年级有名学生，高三年级有名学生.现在按年级用分层抽样的方法从该中学高中部三个年级的学生中抽取容量为n的样本进行研究活动，假设该中学高中部三个年级中的每名学生被抽到的概率都为，那么（    ）. A． B． C． D． 11．若按样本容量与总体容量的比为，抽取了名居民代表，其中老年人约占，则该社区内老年人的人数约为（ ） A． B． C． D． 12．某大学共有学生人，其中专科生有人，本科生有人，研究生有人，该校现采用分层抽样的方法调查学生利用知网查找学习资料的情况，抽取的样本中有人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取的人数为（ ） A． B． C． D． 13．某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷9次，都是反面朝上，则第10次正面朝上的概率是（ ） A．1 B． C． D． 14．张卡片上写上数字1到，从中任取一张，抽取到5的倍数的概率是（ ） A． B． C． D． 15．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（    ） A．100 B．150 C．200 D．250 16．某校共有名学生，其中高一年级名，高二年级名，高三年级名，现按年级用分层抽样的方法从中抽取名学生的心理测评报告，则高一年级应抽取的人数为（    ） A． B． C． D． 17．甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表 甲 乙 丙 丁 平均成绩x/环 方差 如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 18．某校对高三年级学生进行体检，并将高三男生的体重（）数据进行整理后分成五组，绘制成频率分布直方图.规定高三男生的体重结果只分偏胖、偏瘦和正常三个类型，超过属于偏胖，低于的属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为，第二小组的频数为.若该校高三男生的体重没有和，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（   ）    A． B． C． D． 19．某学校有教师300人，男学生1200人，女学生900人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知抽取的样本中男学生比女学生多7人，则n的值为（ ） A．44 B．48 C．56 D．58 20．在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，恰好是黄球的概率为，则袋子内共有乒乓球__________个． 21．甲班和乙班各有两名女乒乓球运动员，现从这四个人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班级的概率是________． 22．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率为__________． 23．某大学随机统计了1000名学生的一个学期去图书馆的时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值以及自习时间在内的学生人数； (2)从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 24．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 10 7 7 10 10 乙射击成绩 10 7 10 10 9 8 (1)分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？ 25．为了弘扬传统文化，某校举办了诗词大赛.现将抽取的学生的成绩从低到高依次分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)估计本次诗词大赛的成绩合格（成绩不低于60分）的概率. 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 1．D 【分析】理解各个统计量的含义，并判断哪个统计量能表示“最常出现的答题数”即可. 【详解】“最常出现”的数表示出现的次数最多，即对应众数，满足题意； 而最大值，平均数与中位数均与次数无关，不满足题意. 故选：D. 2．A 【分析】根据标准差的定义分析即可. 【详解】标准差越大，代表数据离平均数越分散，波动越大；标准差越小，数据越集中. 题目已知两组平均数相等，标准差大，说明乙组的数据波动较大. 故选：A. 3．A 【分析】利用频率分布直方图的数据，以及频率与频数之间的关系，列式求解即可. 【详解】由频率分布直方图可得： 身高在区间内的人数为300，频率/组距为， 身高在区间内的人数为180，频率/组距为， 则有，解得. 故选：A. 4．B 【分析】根据等可能事件概率的定义进行求解. 【详解】概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是一个确定的数，与试验次数无关， 硬币有两面，每次抛掷出现正面朝上的概率为. 故选：B. 5．D 【分析】先列举出基本事件，再由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】将一枚硬币抛掷两次基本事件有4个为（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）， 恰好出现一次正面向上包含2个基本事件，即（正，反）（反，正）， 所以恰好出现一次为正面概率为． 故选：D. 6．B 【分析】根据分层抽样的特点进行计算即可. 【详解】因为类学校共有4000人，类学校共有2000人，类学校共有3000人， 所以共有（人）， 抽取900份试卷，则抽样比为. 进而从类学校抽取的试卷份数是（份）. 故选：B. 7．A 【分析】根据已知条件，由频率分布直方图中矩形高度的概念可求出，由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又，解得. 故选：A. 8．B 【分析】根据分层抽样的特点进行计算即可. 【详解】因为类学校共有5000人，类学校共有3000人，类学校共有2000人， 则共有（人）， 抽取1000份试卷，则抽样比为， 所以从类学校抽取的试卷份数是（份）. 故选：B 9．A 【分析】由频率分布直方图的概率之和为，求出的值即可. 【详解】由题中频率分布直方图可知， 解得. 故选：A. 10．A 【分析】根据抽样比和总数即可求出样本的数量. 【详解】由题意可知，抽样比为， 则， 故选：A. 11．C 【分析】先根据抽样比得到总体容量，即可求得老年人的人数. 【详解】因为样本容量与总体容量的比为， 抽取了名居民代表，则总体容量为， 又老年人约占，所以该社区内老年人的人数约为人. 故选：C. 12．A 【分析】根据分层抽样的特点算出抽样比，再分别计算每一层的人数即可. 【详解】因为学生有人，抽样的样本为人，所以抽样比为， 所以专科生被抽取的人数是， 本科生被抽取的人数是， 研究生被抽取的人数是. 故选：A. 13．B 【分析】根据等可能事件概率的定义进行求解. 【详解】概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是一个确定的数，与试验次数无关， 硬币有两面，每次抛掷出现正面朝上的概率为. 故选：B 14．C 【分析】首先求出5的倍数的数字个数，再根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】数字1到中5的倍数有个， 则从中任取一张，抽取到5的倍数的概率是. 故选：C. 15．A 【分析】根据分层抽样的抽法即可求解. 【详解】由题意可得，解得． 故选：A. 16．A 【分析】根据分层抽样列出等式计算即可解得. 【详解】由题，由分层抽样可得： 高一年级应抽取的人数为人. 故选：A 17．A 【分析】由平均数和方差判断成绩即可解得. 【详解】甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等， 甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的方差最小， 说明甲的成绩最好，也最稳定，因此甲是最佳人选. 故选：A. 18．D 【分析】先求出第二小组的频率，再利用频率、频数与样本容量的关系求解即可. 【详解】由题意可得， 偏瘦：低于 55kg（对应第一组）， 偏胖：超过 65kg（对应第四、五组）， 体重正常：55kg∼65kg（对应第二、三组）， 第二小组的频率为， 又第二小组的频数为，故该校高三年级的男生总数为， 体重正常的频率为. 故选：D. 19．C 【分析】根据分层抽样方法中所抽取的比例相等，列出方程即可得解. 【详解】由题意可知，， 整理得，解得， 故选：C. 20．10 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意得，设黄乒乓球为个，则摸出一个黄球的概率为. 解得，则乒乓球共有个. 故答案为：10. 21． 【分析】写出基本事件，结合古典概型公式即可得解. 【详解】设甲班两名运动员为女1、女2，设乙班两名运动员为女3、女4， 则共有如下组合： （女1，女2），（女1，女3），（女1，女4），（女2，女3），（女2，女4），（女3，女4）， 不同的组合共有6种，而来自不同班级的组合共有4种， 所以其概率是． 故答案为：. 22． 【分析】依据古典概型概率公式计算. 【详解】骰子是正六面体，每个面朝上的概率是相等的，各个面的数字中有3个偶数，3个奇数，故点数是偶数的概率为． 故答案为：. 23．(1)； (2) 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为. （2）一个学期自习时间落在的抽取人数为. 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生可能的结果为：，. 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的有，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 24．(1)人教版：甲的平均数为，方差为；乙的平均数为，方差为. 高教版：甲的平均数为，方差为；乙的平均数为，方差为. (2)乙运动员成绩更好. 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式可解. （2）比较平均数和方差的大小可得. 【详解】（1）甲随机抽取的6次射击成绩的平均数记为， 人教版： 方差记为， 高教版： 方差记为； 乙随机抽取的6次射击成绩的平均数记为， 人教版： 方差记为， 高教版： 方差记为 （2）因为，，所以乙随机抽取的6次射击成绩比甲稳定， 故乙运动员成绩更好. 25．(1) (2)0.75 【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图中，各组的频率之和为1，即可列式求解. （2）根据题意，结合频率分布直方图，求得成绩不低于60分的频率，即可求得概率. 【详解】（1）由题意知，，解得. （2）由频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为， 所以由样本的频率估计总体的概率，可知本次诗词大赛成绩合格的概率为0.75. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $