专题12 平面向量与复数（讲义）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题12 平面向量与复数 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 平面向量 向量运算 2026 单选 4 两向量平行 2025 单选 3 两向量垂直 2024 单选 2 向量内积 2024 填空 3 向量内积坐标运算 2023 填空 3 向量垂直 2022 单选 2 复数 复数加法 2026 单选 4 共轭复数 2025 单选 3 复数运算 2024 单选 2 复数化简 2023 单选 2 命题轨迹透视： 平面向量和复数连续五年在云南省职教高考考试中每年都考查两类题，为每年必考题目。平面向量主要考查平面向量的运算（加、减、数乘及坐标运算），两向量平行或垂直运算、平面向量的内积。题型主要涉及选择、填空，每年的题的数量为1-2题。复数主要考查复数的相关概念、复数的运算、复数的模。题型仅考1道选择题，难度相对而言较为简单。 【考点1：平面向量】 1.（2026云南）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】向量，则. 故选：. 2.（2025云南）向量，，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标公式列方程求解即可. 【详解】向量，，且， 则有，解得. 故选：C. 3.（2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直则，列出方程即可得解. 【详解】向量与互相垂直，所以， 则，解得， 故选：. 4.（2024云南）已知向量，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案：. 5.（2023云南）已知向量与，且，则__________ 【答案】2或. 【解析】 【分析】由向量内积的坐标运算求解参数即可. 【详解】因为向量与，且， 所以， 解得或. 故答案为：2或. 6.（2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的内积为易得答案. 【详解】因为, 所以. 故选:C. 知识1 向量 1．向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 3．向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 4．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 5．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 6．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b. 7．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 知识点1 向量 1．若，则与非零向量的方向（　　） A．相同 B．垂直 C．相反 D．无法确定 2．若，则（　　） A． B． C． D． 3．点，则为（　　） A． B． C． D． 4．若，则为（　　） A． B． C． D． 5．若，则为（　　） A． B． C． D． 6．向量与的内积为（　　） A． B． C． D． 7．若，则等于（　　） A． B． C． D． 8．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 9．若，则为（　　） A． B． C． D． 10．若，，则为（　　） A． B． C． D． 11．向量与的内积为（　　） A． B． C． D． 12．若，则下列说法一定正确的是（　　） A． B．与方向相同 C．与方向相反 D．与长度相等 13．若表示向北，表示向南，则表示（　　） A．向北 B．向北 C．向南 D．向南 14．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 15．若点，，则 的坐标为（　　） A． B． C． D． 16．若 ，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 17．已知. (1)判断与是否垂直； (2)求. 18．已知点，且 . (1)求点 的坐标； (2)写出 的坐标. 19．已知 . (1)计算； (2)判断与的位置关系. 20． 已知，，若与垂直，求. 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【分析】根据实数与向量相乘时，实数的正负对向量方向的影响即可求解. 【详解】已知，为非零向量， 根据向量数乘性质可知与非零向量的方向相反. 故选：C. 2．A 【分析】根据向量模长性质即可得出结果. 【详解】. 故选： 3．A 【分析】向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，据此即可求解. 【详解】已知点， 向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标， 则， 故选：A 4．A 【分析】根据平面向量坐标形式的加法法则即可求解. 【详解】平面向量相加，就是把两个向量横、纵坐标分别相加，得到和向量坐标， 若，则， 故选：A 5．B 【分析】根据向量的模的计算公式即可求解. 【详解】已知， 则， 故选：B 6．C 【分析】根据向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】. 故选：C. 7．A 【分析】根据平面向量内积的坐标公式即可求解. 【详解】已知， 根据平面向量内积的坐标公式，， 故选：A 8．B 【分析】根据向量的内积运算即可求解. 【详解】由题意得，，夹角为， 则. 故选：B. 9．D 【分析】根据向量的数乘法则即可求解. 【详解】， 则， 故选：D 10．B 【分析】根据向量减法运算，对应坐标相减即可得出结果. 【详解】由题意得，. 故选： 11．C 【分析】根据向量内积的计算公式即可求解. 【详解】已知向量与， 则两向量的内积为：， 故选：C 12．D 【分析】根据题意，结合向量的模的定义，即可求解. 【详解】因为， 两个向量模相等只能说明长度相等，方向可能相同、相反或成其他角度. 故选项错误，选项D正确. 故选：D. 13．B 【分析】根据题意利用平面向量的运算法则即可得解. 【详解】若表示向北，表示向南， 则表示向北， 因此表示向北. 故选：. 14．A 【分析】根据向量的坐标公式计算即可得出结果. 【详解】若，， 终点坐标等于起点坐标加向量坐标，所以. 故选： 15．B 【分析】套用终点减起点公式计算即可得出结果. 【详解】. 故选： 16．D 【分析】根据向量内积的计算公式求解即可. 【详解】因为，夹角为， 所以. 故选：D. 17．(1)垂直 (2) 【分析】（1）先求两向量的内积，进而判断两向量是否垂直； （2）代入向量模长公式计算即可. 【详解】（1）已知， 则， 故与垂直； （2）已知， 则. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标公式计算即可得出结果； （2）利用相反向量的概念直接可求得结果. 【详解】（1）设，点，且， 所以 所以，解得，即 （2）. 19．(1)0 (2)互相垂直 【分析】（1）根据向量内积的坐标运算公式计算即可. （2）根据向量垂直的判定条件判断与的位置关系即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，即，所以与互相垂直. 20．4 【分析】根据平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】，，若与垂直， 则，解得. 【考点2：复数】 1.（2026年云南）已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相加，实部加实部，虚部加虚部即可得解. 【详解】复数， 则. 故选：. 2.（2025年云南）复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数， 故复数的共轭复数是. 故选：A. 3.（2024云南）已知复数满足，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算法则求出复数，再写出其共轭复数即可. 【详解】复数满足， 则， 所以 故选：C. 4.（2023云南）复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再判断所对应的点即可. 【详解】， 所以该复数在复平面内对应的点为， 所以在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 知识1 复数 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. (2)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． (3)表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． (4)复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2．复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 3．复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。 4．复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 5．共轭复数 ①定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. ②表示方法 复数的共轭复数用表示，即如果，则. 6．复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 7．复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 8．复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 9．复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 10．实系数一元二次方程的解法 在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 (1)求根公式法 ①时， ②<0时， 知识点1 复数 1．下列复数中，实部等于的是（　　） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点为（　　） A． B． C． D． 3．复数的实部是（　　） A． B． C． D． 4．等于（　　） A． B． C． D． 5．从中减去，得到（　　） A． B． C． D． 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．设，则（   ） A． B． C． D．2 8．方程的一个复数根是（　　） A． B． C． D． 9．若复数，则是（　　） A．实数 B．纯虚数 C．非实数 D．虚轴上的点 10．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 11．若，则实数分别为（　　） A． B． C． D． 12．已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 13．复数的共轭复数是__________；的共轭复数为____________. 14．复数的共轭复数为___________________. 15．______. 16．________. 17．已知复数，的共轭复数，则______． 18．指出下列复数的实部和虚部：，. 19．已知，其中为实数．求. 试卷第1页（共3页） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 1．A 【分析】在复数中，实部为a，虚部为b，据此即可选出正确答案. 【详解】A选项，在复数中，实部为，虚部为， B选项，在复数中，实部为，虚部为， C选项，在复数中，实部为，虚部为， D选项，在复数中，实部为，虚部为， 综上所述，只有A选项的实部等于. 故选：A. 2．D 【分析】根据复数的几何意义求解． 【详解】复数在复平面内对应的点为. 故选：D. 3．B 【分析】根据复数的实部的定义即可得解． 【详解】复数的实部是. 故选：B. 4．D 【分析】根据复数的乘法运算法则可得结果. 【详解】. 故选：D 5．C 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】. 故选：. 6．C 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】. 故选：. 7．D 【分析】根据共轭复数以及复数乘法运算求解即可. 【详解】复数，其共轭复数， 故. 故选：D. 8．D 【分析】利用一元二次方程的求根公式来计算方程的根即可. 【详解】将，，代入， 可得， 因为， 所以， 即方程的两个复数根为，， 所以选项ABC错误，选项D正确. 故选：D. 9．A 【分析】根据复数的概念及几何意义求解. 【详解】已知复数，实部，虚部. 因为虚部，可知是实数，不是纯虚数，故A正确，BC错误； 复数对应的点为，不在虚轴上，故D错误, 故选：A. 10．B 【分析】根据复数减法的运算法则求解． 【详解】. 故选：B. 11．D 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念求解． 【详解】若， 则， 因此， 所以且，解得. 故选：D. 12．B 【分析】根据题意，先求出共轭复数，结合复数的乘法运算及虚部的概念计算即可求解. 【详解】因为复数，所以， 所以， 所以的虚部为. 故选：B. 13． 【分析】根据共轭复数的定义即可得解. 【详解】复数可整理为，其共轭复数是； 复数的共轭复数为， 故答案为：；. 14． 【分析】根据题意，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】复数的共轭复数为. 故答案为：. 15． 【分析】根据复数加法的运算法则求解． 【详解】. 故答案为：. 16． 【分析】根据复数的代数运算可求解. 【详解】原式 . 故答案为： 17． 【分析】根据的共轭复数求出，再根据复数乘法法则计算即可. 【详解】因为的共轭复数，所以， 所以 故答案为：. 18．的实部为、虚部为；的实部为、虚部为 【分析】根据实部与虚部的定义即可得解. 【详解】，的实部为、虚部为； ，的实部为、虚部为. 19． 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念求解． 【详解】， 因为，即， 所以且，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $