大题专项-专题04 立体几何（A卷·基础巩固）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦立体几何基础巩固，以证明与计算为核心，通过多样化几何体载体系统训练空间位置关系判定与体积求解，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间位置关系证明|12题|线面平行（中位线法）、线线垂直（线面垂直性质）、面面垂直（线面垂直判定）|从具体几何体（正方体、四棱锥等）到位置关系判定定理应用，构建“直观感知-逻辑推理”链条| |体积计算|6题|利用底面积与高直接计算、等体积法转换顶点|基于几何体结构特征，结合线面垂直求高，体现“空间几何量计算依赖位置关系分析”的逻辑|

公共基础课·二轮讲练测 A职教》 编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和 最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学 「习体系，每个专题均配套讲义、课件和B卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考)《数学二轮讲练测》 专题04立体几何 (A卷·基础巩固) 解答题： 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，若E、F分别为PC、BD的中点， 求证：EF∥侧面PAD 2.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB=60的菱形，侧面 PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD若G为AD的中点，求证：BG⊥平面 PAD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 G D 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，F为对角线 AC与BD的交点，E为棱PD的中点. B (1)证明：EF/1平面PBC: (2)证明：AC⊥PB」 4.如图，在直三棱 ABC-AB,C中，己知 AC⊥BCAB=2AC=CC=1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 A (1)证明：AC⊥BC B-ABC (2)求三棱锥 的体积 5,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,且AB=1, AD=2,PA=4,E为PD的中点. E B (I)求证：PB∥平面ACE: (2)求四棱锥P-ABCD的侧面积. 6.如图所示，在直三棱柱 BC-AB,G中，AC=BC,D是AB的中点，求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课二轮讲练测 A山职教》》 C A B C ACD 平面 2)4B1 CCD 平面 7.如图所示，在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中，M,N分别是 AD CD 的中点 D B B (I)求证：MNII平面ABCD: (2)求三棱锥M-ABC的体积， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 ABCD-ABCD 8.在棱长为2的正方体 (如图)中， D B A 夕 D-ABCD (1)求四棱锥 的体积； BAC BBDD (2)求证：平面 与平面 垂直 9.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD P D B (I)求证：CD⊥平面PAD: (2)若PD=4,求三棱锥P-ABC的体积. ©g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 10.如图，在四面体 BCD中，0是BD的中点，4B=AD=5,C1=CB=CD=BD=2 D (1)证明：AO⊥平面BCD: (2)求四面体ABCD的体积， IL.如图，在三棱锥P-ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点， 且PA=PB，,AC=BC. H B (I)证明：AB⊥PC: (2)证明：平面PAB∥平面FGH. ©g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 ABC-ABC 12.已知直三棱柱 的所有楼长都相等，D,E分别为楼B,4C的中点，如 图所示 A E C B D B 求证： (A)DEI BCC B 平面 (2)平面CDE ABB A 平面 13.如图所示，正方形ABCD的边长为2，O是正方形的中心，SO⊥底面ABCD,E是 SC的中点. p D 0 (I)求证：平面SAC⊥平面BDE: (2)若直线EO与平面ABCD所成的角是30°，求四棱锥S-ABCD的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课二轮讲练测 A职教》 ABCD-ABC D 14.如图所示，正方体 的棱长为2 D A B D B (1)求正方体的表面积及对角线长 A-BCC (2)求三棱锥 的体积 15.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，E为PC中点，平面PAD⊥平面 ABCD D B (I)证明：PAI平面BDE: (2)证明：AB⊥PD ©⑨原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥底面ABCD,且 PA=PD=4,AB=4,∠BAD=30,E为CD的中点 E B (1)证明：BD⊥PE: (2)求三棱锥B-PCE的体积， 17.如图，在正三棱柱 BC-ABC中，M=,B=3,点D为BC的中点 A D AB// ACD (1)求证： 平面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 B-ACD (2)求三棱锥 的体积 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.在底面ABCD中，BCIIAD, CD L AD,AD=PA=CD=2.BC=4. D D B (I)求三棱锥A-PCD的体积： (2)求证：AC⊥平面PAB. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题04 立体几何 （A卷·基础巩固） 解答题： 1．如图，在四棱锥中，底面是正方形，若、分别为、的中点，求证：侧面.    【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理即可证明. 【详解】连接，    ∵四边形为正方形，且为的中点，即为的中点， 又∵为的中点，则， ∵平面，平面， ∴平面． 2．如图所示，是四边形所在平面外的一点，是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.若为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，连接，结合面面垂直的性质定理，即可证明结论成立. 【详解】 如图，连接， 四边形为菱形，且， 是正三角形， 为的中点， ， 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 3．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点． （1）证明：平面PBC； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）证明即可； （2）通过证明和证明平面，即可证明. 【详解】（1）底面为正方形，F为对角线AC与BD的交点， 为中点， E为棱PD的中点， ， 平面PBC，平面PBC， 平面PBC； （2）平面，平面， ， 底面为正方形，， , 平面， 平面，. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用线面垂直证明线线垂直，属于基础题. 4．如图，在直三棱柱中，已知，，. (1)证明：. (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）为直三棱柱 平面 即 即 ，是平面内的两条相交直线 平面 平面 所以即. （2）由（1）可知， 在中，，， ， ， 为直三棱柱 平面 且， . 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，且，，，E为PD的中点． (1)求证：平面ACE； (2)求四棱锥的侧面积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，可得，利用线面平行的判定定理即得； （2）由题可得平面PAB，平面PAD，进而可得四棱锥侧面均为直角三角形，然后利用面积公式计算即得. 【详解】（1）连接BD，交AC于点O，连接OE， 因为底面ABCD是矩形，所以O为BD中点． 又E为PD中点，所以 又平面ACE，平面ACE， 所以平面ACE； （2）因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，又底面ABCD是矩形，，且， 所以平面PAB，平面PAB， 所以． 同理，平面PAD， 所以． 所以侧面均为直角三角形． 因为，，， 所以．． 所以，， ，， 所以四棱锥侧面积 ． 6．如图所示，在直三棱柱中，，D是AB的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)根据线面平行的判定定理求证即可. (2)根据直线垂直平面内两条相交直线求证即可 【详解】（1）如图所示，连接.交于点.连接. 因为点是的中点.点是的中点， 所以. 因为平面,不在平面内. 所以平面. （2）因为，点是的中点. 所以. 因为是直三棱柱.所以平面. 因为平面. 所以. 所以平面. 7．如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接MN，AC，由中位线的性质可知，再由线面平行的判定得证； （2）取AD中点O，连接OM，易知平面，再由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）连接MN，AC，如图所示： 由于M，N分别是，的中点，则， 又平面，平面，所以平面； （2）取AD中点O，连接OM，如图所示： 则，， 由正方体的性质可知，平面， 则. 8．在棱长为2的正方体（如图）中，    (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面与平面垂直. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）在正方体中，因为平面，故是所求四棱锥的高，根据棱锥的体积公式可求解； （2）在正方体中，可证平面，根据面面垂直的判定可证明结论. 【详解】（1）在正方体中， 平面，且底面的面积为， 所以四棱锥的体积为 ； （2）在正方体中， 平面，平面， 所以. 在底面正方形中，， 且，在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面与平面垂直. 9．如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析. (2)6. 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判定定理及性质即可得解. （）根据题意结合棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）在正方形中，， 平面，平面， 所以， 因为平面，， 所以平面. （2）， 因为平面， 则三棱锥的体积为. 10．如图，在四面体中，是的中点，，. (1)证明：平面； (2)求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，易得，连接，结合各边的长度和勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，即可求证结论成立； （2）根据题意，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1） 因为是的中点，， 所以， 连接，因为， 所以，且是等边三角形， 所以， 又，， 所以 根据勾股定理的逆定理知， 因为，且平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知平面，且， 又， 所以. 11．如图，在三棱锥中，、、、分别是、、、的中点，且，． (1)证明：； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，由三线合一可得，，故而证明平面，于是； （2）根据中位线定理可得，，即可得到平面，同理可证平面，即可得证． 【详解】（1）连接， ，，是的中点， ，， 又平面，平面，， 平面， 又平面， ． （2），，分别是，，的中点， ，， 又平面，平面， 平面， 同理可证平面， 又，平面，平面， 平面平面． 12．已知直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，如图所示.    求证： (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理证明即可； （2）根据直三棱柱的特点，结合线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）取的中点，连接，. 在中，因为，分别为，的中点， 所以是的中位线，    所以，且. 因为，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面.因为平面， 所以. 又因为，为的中点，所以. 因为，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. 13．如图所示，正方形的边长为2，是正方形的中心，底面，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成的角是，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直即可证明面面垂直. （2）先找到直线与平面所成的角，再由四棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）连接，因为是正方形的中心，所以， 因为底面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （2）因为底面， 则是在底面上的射影， 所以与平面所成的角是， 同理，是在底面上的射影，又因为， 所以点的在底面上的射影也在上， 所以也是在底面上的射影， 因为直线与平面所成的角是， 所以， 因为是正方形的中心，所以是的中点， 因为是的中点，所以， 所以， 因为正方形的边长为2，是正方形的中心， 所以，， 在中，，， 所以， 四棱锥的体积． 14．如图所示，正方体的棱长为2. (1)求正方体的表面积及对角线长. (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)表面积，对角线长 (2) 【分析】（1）根据正方体的表面积公式和对角线公式即可解得. （2）根据三棱锥的体积公式计算即可解得. 【详解】（1）由题可知，正方体棱长为， 则正方体表面积， 对角线为. （2）由题，为正方体， 则底面，即为三棱锥的高， ，则. 15．如图，四棱锥中，ABCD为正方形，E为PC中点，平面平面ABCD．    (1)证明：平面BDE； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先连接交于，连接，根据三角形中位线性质得到，再根据线面平行的判定即可证明平面. （2）根据面面垂直的性质即可得到平面，再根据线面垂直的性质即可得到. 【详解】（1）连接交于，连接，如图所示：    因为分别为的中点，所以. 因为平面，平面，， 所以平面. （2）因为为正方形，所以. 因为平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，且为的中点. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，得到，根据平面底面，证得平面底面，得到，又由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到； （2）由（1）证得平面，得到四棱锥的高为，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为，为的中点，所以， 又因为平面底面，平面底面， 所以平面底面， 因为底面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 因为为的中点，为的中点，所以，所以， 又因为，所以平面， 又由平面，所以. （2）解：由（1）知，，且，所以平面， 即四棱锥的高为， 因为，且，所以， 又因为底面为菱形，且， 所以， 所以三棱锥的体积为. 17．如图，在正三棱柱中，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取与的交点，证，即可证得平面. （2）先求的面积，再由三棱锥的体积公式可得. 【详解】（1）连接 ,与相交于，连接，则是的中点. 又为的中点，所以，平面，平面. 所以平面．    （2）在正三棱柱中，，，点为的中点， ， . 故三棱锥的体积． 18．如图，在四棱锥中，底面.在底面中，，，，. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）利用三棱锥的等体积法，结合三棱锥的体积公式即可求解. （2）利用余弦定理结合勾股定理可证得，推导出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）因为底面.所以底面. 且，， 故. （2）证明：，，则， 且为等腰直角三角形，故， 因为，则， 由余弦定理可得，即 ，， 又平面，平面，， 又，、平面， 平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $