大题专项-专题04 立体几何（B卷·能力提升）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦立体几何核心素养，以15道解答题系统覆盖线面平行、垂直证明及体积计算，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何解答题|15道，涵盖四棱锥、三棱柱等几何体及线面平行/垂直、面面垂直证明与体积计算|每题两问，第一问证明（线面平行/垂直、面面垂直），第二问体积计算，注重空间位置关系转化|从几何体概念（底面形状、棱长）到位置关系判定（线面平行用中位线/平行四边形，线面垂直用线线垂直），再到体积计算（依赖垂直关系确定高），形成“概念-原理-应用”逻辑链条|

公共基础课·二轮讲练测 9AI职教》》 编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和 最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学 「习体系，每个专题均配套讲义、课件和B卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考)《数学二轮讲练测》 专题04立体几何 (B卷·能力提升) 解答题： 1.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，点O是底面ABCD对角线的 交点，且PA=PC,PB=PD (I)求证：PO⊥平面ABCD: (2)若底面ABCD是正方形，且PA=AB=5,求四棱锥P-ABCD的体积. A4=4 2.如图，在正三棱 ABC-ABC中，平面 BC是边长为6的正三角形， N分别是C和CC的中点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9A1职教》 ()证明：直线4ML平面 BCCB A-MNB (2)求三棱锥 的体积. 3.如图所示，四棱锥G-ABCD的底面是菱形，且GC⊥平面ABCD,E,F分别为AB, AD的中点求证： F E (I)BD∥平面GEF: (2)EF⊥平面ACG 4.如图，△ABC是边长为4的正三角形，D,E分别是边AB,AC的中点，以DE为折痕把 △ADE折起，使点A到达点P的位置，且PE⊥EC,M是PB的中点 ©g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9A1职教》 D B (I)求证：DMI/平面PEC (2)求三棱锥B-PCE的体积 5.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中 点， B (I)求证PBII平面AEC; (2)设PA=AB=1,AD=6求三棱锥C-AEP的体积 6.如图在三棱柱ABC-48G巾，侧棱垂直于底面，∠ACB=9O,4C=BC=44,D是 AA 棱的中点，求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9A1职教》 C D B ①4C18C DC⊥ (2)平面 BDC 平面 7.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,∠ACB=90,点D、E在线段AC 上，且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上，且EF/IBC, D (I)证明：AC⊥平面PEF: V3 (②)若三棱锥P-4BC的体积为 BC ,求线段心的长 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD, ©g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 4PA=4MB=3MD=12.BAD=0,且4，N分别为PD,1C含 的中点 B (I)求证：MNI1平面PBC: (2)求三棱锥M-ACD的体积， 9.如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA⊥面ABCD,E,F分别是棱PB,PC的 中点求证： D A (I)EF/I平面PAD: (2)面PBD⊥面PAC. I0.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,M,N分别 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 AI职教》 是PA,PB的中点，求证： A (I)MNII平面ABCD; (2)CD⊥平面PAD 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB, 点E是PD的中点. E B (I)求证PB∥平面ACE, (2)若四面体E-ACD的体积为3，求AB的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 今A职教》泥 ABCD-ABCD 12.如图，在直四棱柱 ，底面ABCD 边长为2的菱形， ∠ADC=60° AA=3 A - D B-… A-BCD (1)求三棱锥 的体积； BD⊥AC (2)证明： 13.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC,D为AC的中点， AB=AC=BC=PC=4. D A (I)求证：BD⊥平面PAC: (2)求三棱锥P-ABC的体积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9A1职教》 14.如图，在直三棱柱 BC-ABC中，4BLAC.D,8分别为8C,48 的中点 A A B D (I)求证：AB⊥DE, (2)求证： DE/平面C1G 3)若14=5B=3,4C=4 求三棱锥4-BCE的体积 15.如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC,MB=2√5，BC=2,AC=PC=22 E,F 。PA,PC 分别是的中点.求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9AI职教》》 E (1)AC1I平面BEF; (2)求三棱锥P-ABC的体积 16.已知四棱锥P-ABCD,点O是菱形ABCD对角线的交点，PA=PC,PB=PD. D B (I)求证：PO⊥平面ABCD (2)证明：平面PAC⊥平面ABCD 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形， ©g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 丽A川职教》 ∠ABC=∠BCD=∠ADP=90° ”,且B=PB=2.PA=25,BC=CD=l,E为PA中点 ()证明：DE1I平面PBC: (2)证明：PB⊥平面ABCD, 18.如图，在四面体ABCD中，点E,F分别为线段AC,AD的中点，平面EFNM∩平面 BCD=MN∠CDA=∠CDB=90,DH LAB,垂足为H.求证： A H N B (1)EF//MN, (2)平面CDH⊥平面ABC, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 今AI职教》 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=1, 48=5,F是PD的中点，点F在按CD上 (I)求四棱锥P-ABCD的全面积： (2)求证：PE⊥AF. 20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PAL底面ABCD,且 PA=4,E为侧棱PA的中点 A D (I)求四棱锥P-ABCD的体积： (2)证明：PC/平面BDE； (3)证明：BD⊥PC, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题04 立体几何 （B卷·能力提升） 解答题： 1．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，点O是底面对角线的交点，且，.    (1)求证：平面； (2)若底面是正方形，且，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定即可求解. （2）根据棱锥的体积公式，结合勾股定理即可求解. 【详解】（1）是平行四边形对角线和的交点， 是和的中点. ，， ，. 又，平面，平面， 平面. （2）由（1）可得，是四棱锥的高. 四边形是正方形，且， ，则， 在直角三角形中，， . 2．如图，在正三棱柱中，平面是边长为6的正三角形，，点，分别是和的中点．    (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判定定理及性质即可得解. （）根据题意锥体的体积公式即可得解. 【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点， 所以， 因为是正三棱柱， 所以平面，又因为平面， 所以， 因为，且，平面． 所以平面． （2）    在正三棱柱中，平面，平面， 所以，即四边形是矩形． 因为点，分别是和的中点，平面是边长为6的正三角形，， 所以，． 所以． 因为平面， 所以点到平面（即平面）的距离等于点到平面的距离，即的长度， 因为， 所以． 3．如图所示，四棱锥的底面是菱形，且平面，，分别为，的中点.求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（）由线面平行的判定即可得解. （）由线面垂直的性质及判定即可得解. 【详解】（1）在中，因为，是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 如图所示，连接，因为四边形是菱形，所以， 由（）可知，所以， 因为平面，且平面，所以， 因为，且平面， 所以平面. 4．如图，是边长为4的正三角形，D，E分别是边AB，AC的中点，以DE为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且，M是PB的中点. （1）求证：平面PEC （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）根据线面垂直的判定定理，证得平面，结合，即可求解. 【详解】（1）如图，取的中点，连接, 因为是的中点，所以，且, 又因为分别是边的中点，所以，且， 所以，且 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）因为是正三角形，是的中点，所以， 因为，，所以平面， 因为的边长是4，，分别是、的中点，所以， 因为，所以， 由对称性知，，， 所以，所以为直角三角形， 所以. 5．如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)求证平面; (2)设，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线线平行求证线面平行. （2）分别求出三棱锥的底面积和高，再进行计算体积. 【详解】（1）连接，与相较于点，连接. 因为底面为矩形，所以点为中点，又因为点是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面.    （2）取的中点，连接.因为点是的中点，所以，且， 因为底面，所以，所以， 所以. 因为平面，所以，又因为底面为矩形，所以， 又由相较于点，所以平面，所以平面， 所以是三棱锥的高，所以三棱锥的体积.    6．如图在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，D是棱的中点，求证：    (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证线面垂直，再根据线面垂直性质证线线垂直. （2）通过边长关系证两个线线垂直，进而得到一个线面垂直，根据面面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）证明：三棱柱中侧棱底面， 底面，则， 且，即， 又因为平面，且， 所以平面， 且平面， 所以. （2）证明：设， 则，且， D是棱的中点，则， 由侧棱垂直底面可得： ， 则， 由可得：， 又因为， 所以， 且，则， 由可得：， 则由可得：， 又因为平面，且， 平面，且平面， 所以平面平面. 7．如图，三棱锥中，平面平面，，点、在线段上，且，，点在线段上，且， (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求线段的长. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理，可得平面，于是有平面，进而可得，在中，可证，根据线面垂直的判定定理，可证明结论； （2）将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，根据平面及棱锥的体积公式可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，所以. 因为，都在平面内， 所以平面； （2）在中，，，所以， 所以， 因为三棱锥的体积为， 所以， 即，解得. 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，且，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）根据题意，连接，结合三角形中位线定理和线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）如图，连接，由四边形是平行四边形，则有交于点. ，分别为，的中点，， 又平面，平面， 平面； （2），， 平行四边形为矩形， ， ，， ， 又平面，为的中点， 到平面的距离， . 9．如图，四棱锥的底面是菱形，且面分别是棱，的中点. 求证： (1)平面； (2)面面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明，再利用线面平行的判定定理证明即可. （2）先证明，，可得平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由分别是棱，的中点. 则且， 又底面是菱形，，， 又平面，平面， 平面. （2）由面，是平面的对角线， ， 四棱锥的底面是菱形， ， ，且平面， 平面， 又因为平面， 所以面面 10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，求证： (1)平面； (2)平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线与平面的平行的判定，即可求证. （2）根据直线与平面的垂直的判定，即可求证. 【详解】（1）因为M，N分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面ABCD， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为四边形是矩形，所以.         又，平面， 所以平面. 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，点是PD的中点． (1)求证平面ACE； (2)若四面体的体积为，求AB的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）先利用中位线性质证明，再由线面平行的判定定理求解即可. （2）先由线面垂直的判定定理证明EH为三棱锥的高，再由体积公式计算即可. 【详解】（1）连接BD交AC于点，连接OE， 四边形ABCD是正方形  是BD的中点， 点是PD的中点  ， 平面ACE，平面ACE， 平面ACE. （2）取AD的中点，连接EH， 点是PD的中点，，， 平面ABCD，平面ABCD， 是三棱锥的高， 设，则， ， ，. 12．如图，在直四棱柱，底面是边长为2的菱形，，. (1)求三棱锥的体积； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直四棱柱的几何特征，再由三棱锥的体积公式求值即可. （2）根据线面垂直的判定定理证明平面即可得证. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，， 所以是边长为的等边的三角形， 则，即, 又因为为直四棱柱， 所以底面，即为三棱锥的高， 所以. （2）因为是直四棱柱， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面是菱形，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 13．如图所示，在三棱锥中，平面，为的中点，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面得，又，由线面垂直的判断定理可得结论； （2）利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. （2）因为平面，所以是三棱锥的高， 因为， 所以， 所以. 14．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点.    (1)求证：. (2)求证：平面. (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)10 【分析】（1）取中点，连，，由中点性质得，根据线面垂直判定得平面，进而得； （2）取的中点，连接，，由中点性质知得，根据线线平行的判定，进而得平面； （3）转化为求三棱锥的体积即可利用三棱锥体积公式算出体积. 【详解】（1）      取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 所以， 又因为，所以，， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）取的中点，连接，， 在直三棱柱中，，、E、F分别为的中点， 所以/，，即四边形EFCD是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （3）因，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 15．如图，在三棱锥中，平面，，分别是的中点．求证：    (1)平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）利用三棱锥的体积计算公式计算即可. 【详解】（1）如图所示，在中， ∵分别是的中点， ∴ 又∵平面平面， ∴平面. （2）在中， ， ，， 因为平面，则， 所以. 16．已知四棱锥，点O是菱形对角线的交点，，．    (1)求证：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由等腰三角形的性质，可得，再根据线面垂直的判定可证明； （2）根据面面垂直的判定可证明结论. 【详解】（1）因为点O是菱形对角线的交点，所以点O是，的中点. 因为，，所以. 又，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 因为平面， 所以平面平面. 17．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】(1)取的中点，连接，通过构造平行四边形，得到线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行； (2)记中点为，连接，先证明平面，进而得到，再结合，根据线面垂直的判定定理可证明结论. 【详解】（1）取的中点，连接，如下图： 因为为中点，所以，； 又，所以； 因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）记中点为，连接，如下图： 则，又， 所以四边形为正方形，则, 从而， 所以，即； 又因为，，都在平面内， 所以平面. 又因为平面，所以. 由，可得， 又因为，都在平面内， 所以平面． 18．如图，在四面体中，点E，F分别为线段，的中点，平面平面，，，垂足为H．求证：    (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理与直线与平面平行的性质定理证明； （2）根据直线与平面垂直的判定定理可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）因为点，分别为线段，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 已知平面平面，且平面， 所以. （2）因为，即，， 且，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在棱上. (1)求四棱锥的全面积； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可证出侧面为直角三角形，直接计算侧面底面面积求和即可； （2）先证出平面，再得平面，即可得证. 【详解】（1）因为是矩形，所以. 因为平面，平面， 所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以，即. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以，即. 所以，， 所以 . （2）因为平面，平面，所以. 因为，点是的中点，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 20．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及棱锥的体积公式求解即可. （2）根据中位线的性质以及线面平行的判定定理求解即可. （3）根据线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质求解即可. 【详解】（1）因为底面， 则为四棱锥的高， 因为，正方形的边长为2， 则四棱锥的体积为； （2）连接，且，连接， 因为四边形为正方形，则为线段的中点， 又为侧棱的中点，则为△的中位线， 则，因为平面，平面， 则平面； （3）因为四边形为正方形，则， 又平面，平面， 则， 因为，平面，平面， 则平面，又平面， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $