专题5 指数函数与对数函数（B卷·能力提升）-2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦指数与对数函数核心素养，以分层题型构建从概念到应用的知识逻辑链，强化性质应用与实际建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与性质|选择1-9/12/14/15|定义域/值域/单调性/奇偶性判断|概念生成→性质推导→辨析应用| |图像与运算|选择3/5/13+解答21-22|图像识别/指数对数运算|图像特征→运算规则→符号表达| |综合应用|选择10/11/16+填空17-19+解答20|大小比较/实际建模（满意度/人口增长/药物衰减）|性质综合→实际问题→模型构建|

编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题5 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共16小题，每小题4分，满分64分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性解不等式. 【详解】不等式，即， 因为在上是增函数，所以， 故不等式的解集是. 故选：A． 2．已知函数，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数，底数，则在上为增函数， 在时，则，即， 故的取值范围是. 故选：B. 3．在同一直角坐标系中，与的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据指数函数的底数与函数单调性的关系，以及特殊点的坐标，即可得解. 【详解】在上单调递增，在上单调递减， 函数与函数都过点，故ACD错误，B正确， 故选：B. 4．函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用换元法结合指数函数及二次函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则函数在上为减函数，上为增函数， 因为，所以在上，的最小值为，无最大值， 所以函数的值域为， 故选：. 5．下列式子中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，故错误；，故错误； ，故正确；，故错误， 故选：. 6．设 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上为增函数， 所以，即， 又因为在上为增函数， 所以，即， 所以， 故选：D. 7．已知 ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上单调递增， 则，即， 因为在上单调递减， 所以，即， 因为在上为增函数， 所以， 综上所述得. 故选：B. 8．若对数函数是增函数，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性与底数的关系来确定的取值范围即可. 【详解】已知对数函数是增函数， 所以其底数需满足，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 9．下列函数中，图像经过点，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合指数函数、二次函数的单调性即可得解. 【详解】选项，函数，将点代入函数解析式中得，等式成立， 则，底数，则在上为减函数，故不符合题意； 选项，函数，将点代入函数解析式中得，等式成立， 因为，底数，所以在上为增函数，故符合题意； 选项，函数，将点代入函数解析式中得，等式不成立，不符合题意； 选项，函数，将点代入函数解析式中得，等式成立； 因为函数图像为开口向上的抛物线，所以在上先减后增，故不符合题意， 故选：. 10．是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间t（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数.若在经过3个月后评分增长到70.则满意度评分为（    ） A．60 B．61 C．62 D．63 【答案】A 【分析】根据题意，将时，代入函数解析式，求得a的值，继而求得函数解析式，将代入函数解析式，结合对数的运算，即可求解. 【详解】由题意，当时，，显然， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：A. 11．已知，，，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算以及幂函数的性质比较大小即可. 【详解】，，， 幂函数在R上为单调递增函数，且， 则，即. 故选：A. 12．下列关于函数，且，描述正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数值域为 C．当时，函数单调递增 D．函数图像过定点 【答案】C 【分析】利用对数型函数性质进行判断即可. 【详解】已知函数，则，得， 故该函数定义域为，值域为，AB选项错误； 当时，对数函数单调递增，又因为函数单调递增， 故函数，在定义域内单调递增，C选项正确； 由于函数定义域为，故不能取1，函数过定点，D选项错误. 故选：C. 13．下列不等关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小. 【详解】选项A，函数在上单调递增， 由于，所以，该选项正确； 选项B，函数在上单调递减， 由于，所以，该选项错误； 选项C，函数在上单调递减， 由于，所以，该选项错误； 选项D，函数在上单调递增， 由于，所以，该选项错误， 故选：A. 14．已知，那么的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 由，可得， 解得或， 所以的取值范围是， 故选：D. 15．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”求解即可． 【详解】令，则原函数可表示为， 由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在上单调递减； 又函数的图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 根据“同增异减”，复合函数的单调递增区间是内外层单调性相反的区间， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C. 16．函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性得出的大小关系即可得解. 【详解】函数是定义在上的偶函数，可知， 因为函数在上为增函数，所以， 因为函数在上为减函数，所以， 因为函数在上为增函数，所以， 显然，又在单调递增， 则，即， 故选：C. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 17．若函数在区间上的最大值与最小值之和为1，则实数________. 【答案】/0.5 【分析】结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】当时，在上单调递减， 因此在区间上：最大值，最小值； 由题意，化简得， 由对数定义：，即，解得. 经检验：，符合题意. 故答案为：. 18．若，则实数a的取值范围是_______ 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为指数函数，底数，所以函数在上为减函数， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为：. 19．年某县人口总数约万，如果预计人口的年平均自然增长率为，至少经过_______年该县人口总数将超过万.（附） 【答案】13 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的应用，即可求解. 【详解】由题意，设经过年，该县人口总数将超过万，则 ，即， 所以，即， 所以，所以， 因此至少经过13年人口将超过万. 故答案为：13. 三、解答题：本大题共3小题，每小题7分，满分21分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 20．一种药物在人体内每小时衰减 ，初始剂量为. (1)写出小时后体内药物含量与的函数关系式； (2)求大约多少小时后体内药物含量低于？（已知， ） 【答案】(1)， (2)约小时 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可得解. （）根据题意列出不等式，利用对数的运算法则即可得解. 【详解】（1）每小时衰减，即保留， 初始剂量为，则小时后体内药物含量为，. （2）， 因为，则， 所以大约小时后低于. 21．计算：. 【答案】4 【分析】利用指数幂及对数的运算法则计算. 【详解】 . 22．计算：． 【答案】 【分析】根据对数、指数以及三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年云南省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题5 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共16小题，每小题4分，满分64分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．在同一直角坐标系中，与的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   4．函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 5．下列式子中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．设 ，则（    ） A． B． C． D． 7．已知 ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若对数函数是增函数，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．下列函数中，图像经过点，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间t（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数.若在经过3个月后评分增长到70.则满意度评分为（    ） A．60 B．61 C．62 D．63 11．已知，，，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．下列关于函数，且，描述正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数值域为 C．当时，函数单调递增 D．函数图像过定点 13．下列不等关系正确的是（     ） A． B． C． D． 14．已知，那么的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 15．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 16．函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 17．若函数在区间上的最大值与最小值之和为1，则实数________. 18．若，则实数a的取值范围是_______ 19．年某县人口总数约万，如果预计人口的年平均自然增长率为，至少经过_______年该县人口总数将超过万.（附） 三、解答题：本大题共3小题，每小题7分，满分21分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 20．一种药物在人体内每小时衰减 ，初始剂量为. (1)写出小时后体内药物含量与的函数关系式； (2)求大约多少小时后体内药物含量低于？（已知， ） 21．计算：. 22．计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $