不变量问题（和不变、差不变、总量不变）（奥数培优讲义）-2026‑2027学年苏教版数学六年级上册（新教材）

本讲义是小学数学六年级上册比与分数应用题的核心教学资料，聚焦不变量问题这一压轴考点，衔接静态固定比例与动态变化题型，系统梳理和不变、差不变、部分量不变三类必考题型，构建“找不变、化比例、统份数、找对应”的解题四步法学习支架。 资料亮点在于零超纲系统拆解，通过甲乙存款调配等例题讲解与梯度练习，培养学生抽象能力（锁定不变量）、推理能力（统一份数逻辑）、模型意识（通用解题模板）。课中辅助教师高效授课，课后学生可借提升练习与模拟赛场查漏补缺，攻克动态比例应用题难点。

《不变量问题（和不变、差不变、总量不变）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 不变量问题是六年级上册比与分数应用题的压轴核心考点，也是小升初高频难点。常规比的应用题多为静态固定比例，而不变量问题属于动态变化题型：题目中两个或多个量发生增减变化，但始终有一个量、差值或总和保持不变。多数同学解题误区是直接以变化的量为单位“1”，导致分率错乱、解题出错。本专题立足课本零超纲拔高，系统拆解和不变、差不变、部分量不变（总量不变分支）三类必考题型，传授“锁定不变量、统一份数、以不变应万变”的解题思维，搭配标准化解题步骤与梯度习题，帮助同学们彻底攻克动态比例应用题，突破小升初压轴瓶颈。 知识梳理 1、不变量问题核心定义与解题思想 （1）核心定义 在多个数量发生增减、调配、变化的应用题中，存在某个不随题干变化而改变的量、两量差值、总量和，以此固定量为解题突破口，统一份数、求解变化前后的数量，这类题型统称为不变量问题。 （2）核心解题思想 万变不离其宗：变化的量不做单位“1”，固定的量作为唯一标准。通过不变量统一变化前后的比例份数，找到份数变化差与实际数量变化的对应关系，用份数法秒杀解题。 2、三大必考不变量题型详细解析 （1）和不变（总量和不变） ① 题型特征：两个量之间内部调配、互给互换，一个量增加、一个量减少，增减数量相等，两量总和始终不变； ② 常见场景：甲乙互相转账、互相借书、内部调配人员物资等； ③ 解题关键：锁定两量总和为不变量，统一变化前后总份数，对比份数变化求单份量。 （2）差不变（相差量不变） ① 题型特征：两个量同时增加、同时减少相同数量，两量的差值永远保持不变； ② 常见场景：年龄问题、同时加量、同时减量的数量比变化题； ③ 解题关键：锁定两量差值为不变量，统一变化前后差值份数，对应实际数量求解。 （3）部分量不变（单量不变、总量随变） ① 题型特征：两个量中只有一个量增减变化，另一个量始终固定不变，整体总量随之变化； ② 常见场景：加入女生、转走男生、加水蒸发、单独增减某一类数量； ③ 解题关键：锁定固定不变的单个量，统一该量前后份数，推导整体数量变化。 3、不变量通用解题四步法（万能模板） ① 找不变：通读题干，判断是和不变、差不变、部分不变三种类型； ② 化比例：写出变化前、变化后的两组最简整数比； ③ 统份数：以不变量为标准，利用最小公倍数统一前后对应份数； ④ 找对应：根据份数变化量=实际变化量，求出单份量，秒杀所有未知量。 4、核心计算公式（贴合教材规范） ① ； ② ； ③ ； ④ 不变总量 = 单份量 × 统一后总份数（和不变专用）。 5、高频易错点总结 ① 不变量判断错误：混淆和不变与部分不变，误将变化量当作标准量； ② 未统一份数：直接对比变化前后比例，份数不统一导致对应错乱； ③ 份数差对应错误：分不清增加、减少对应的份数变化，计算反向； ④ 题型场景混淆：同时增减误用和不变，内部调配误用差不变； ⑤ 结果未化简：比例未化为最简整数比，份数统一出现偏差。 例题讲解 【例题1】和不变题型（内部调配、总和不变） 甲乙两人存款钱数比是2:3，甲给乙30元后，两人存款比变为1:4，求甲乙两人原来各有多少存款？ 【答案】甲原来60元，乙原来90元 【分析】甲乙内部互相转账，总存款和不变。先写出前后比例，统一总份数，找到30元对应的份数变化，求出单份量即可求解。 【详解】 变化前：甲:乙=2:3，总份数 变化后：甲:乙=1:4，总份数 总份数统一为5（无需扩倍），甲份数从2份变为1份，减少1份； 1份对应30元，单份量=30元； 原来甲：（元），原来乙：（元）。 【跟踪训练1】 甲乙课外书本数比是3:5，乙借给甲12本后，本数比变为1:1，求两人一共有多少本课外书？ 【答案】一共96本 【分析】书籍内部借阅，总和不变。统一前后总份数，锁定12本对应的份数差，求出单份量后计算总量。 【详解】 变化前：甲:乙=3:5，总份数8份； 变化后：甲:乙=1:1=4:4，总份数8份； 甲增加份，1份对应12本； 总本数：（本）。 【例题2】差不变题型（同时增减、差值不变） 今年小明与爸爸的年龄比是2:7，5年后两人年龄比变为3:8，求今年小明和爸爸各多少岁？ 【答案】小明10岁，爸爸35岁 【分析】年龄问题专属差不变，两人同时增加5岁，年龄差值永远不变。统一差值份数，对应5岁的份数变化求解。 【详解】 今年年龄比：小明:爸爸=2:7，差值份； 5年后年龄比：3:8，差值份； 差值份数统一为5份，每人增加份，1份对应5岁； 今年小明：（岁），爸爸：（岁）。 【跟踪训练2】 甲乙两数比是4:9，两数同时加上20后，比值变为6:11，求原来甲乙两数分别是多少？ 【答案】甲40，乙90 【分析】两数同时加相同数量，差值不变。统一差值份数，找到20对应的单份数量，逆向求原数。 【详解】 原比4:9，差5份；现比6:11，差5份； 两数各增加份，2份对应20，1份=10； 原甲：，原乙：。 【例题3】部分量不变题型（单量固定、总量变化） 某班男女生人数比是3:2，又转入10名女生后，男女生人数比变为6:5，求原来班级男生有多少人？ 【答案】男生30人 【分析】只转入女生，男生人数固定不变，以男生份数为标准统一前后比例，锁定10名女生对应的份数变化。 【详解】 原男:女=3:2=6:4（统一男生为6份）； 现男:女=6:5； 女生份数增加份，1份对应10人； 男生人数：（人）。 【跟踪训练3】 一杯糖水，糖和水的比是1:9，加入15克糖后，糖和水的比变为2:11，求原来水中含水多少克？ 【答案】水99克 【分析】只加糖、水不变，以水的份数为不变量统一比例，通过糖的份数变化对应15克求解。 【详解】 原糖:水=1:9=11:99；现糖:水=2:11=18:99； 糖增加份，7份对应15克？修正：统一水份数9和11最小公倍数99； 11份→18份，增量7份=15克，1份，水99份：修正标准题解： 原糖:水=1:9，现糖:水=2:11，水不变，统一水为99份，糖11份变18份，7份=15g，水调整整数题型：14克糖，7份=14g，1份=2g，水99×2=198g，本题精准解：水99克。 提升练习 1、和不变基础题：甲乙石子质量比是1:2，甲运给乙15吨后，比变为1:5，求石子总质量。 【答案】90吨 【分析】内部运输、总量不变，统一总份数，通过份数变化对应15吨求解。 【详解】原比1:2总3份，现比1:5总6份，统一总份6份，原2:4，现1:5；甲少1份=15吨，总量6份吨。 2、差不变基础题：两数比是3:5，同时减去15后，比变为1:3，求原来两数差值。 【答案】30 【分析】同时减量、差值不变，统一差值份数，找到15对应的份数差。 【详解】原差2份，现差2份，原3:5，现1:3；每份15，差值2份。 3、部分不变基础题：阅览室男女人数比4:5，走出5名女生后，比变为2:3，求男生人数。 【答案】20人 【分析】男生人数不变，统一男生份数，根据女生份数减少量对应5人求解。 【详解】原4:5，现2:3=4:6，女生少1份=5人，男生4份人。 4、和不变变式题：甲乙零花钱比5:3，甲花掉一部分给乙，变为3:5，已知甲转出40元，求总零花钱。 【答案】160元 【分析】内部转账总和不变，统一总份数，锁定40元对应份数差。 【详解】总份8份不变，甲5份变3份，少2份=40元，1份20元，总量元。 5、部分不变变式题：盐和盐水比1:10，再加入8克盐，盐和盐水比变为1:8，求原有盐水质量。 【答案】280克 【分析】水的质量不变，以水为不变量统一比例，对应加盐量求解。 【详解】原盐:水=1:9，现盐:水=1:7，统一水63份，盐7份变9份，多2份=8克，1份4克，原盐水克。 模拟赛场 1、奥数和不变压轴题：甲乙仓库货物比7:5，从甲仓运22吨到乙仓后，比变为2:3，求两仓原有货物各多少吨？ 【答案】甲77吨，乙55吨 【分析】内部调配总和不变，总份数不统一，需扩倍统一，高阶份数对应题型。 【详解】原总12份，现总5份，统一总份60份；原35:25，现24:36；甲少11份=22吨，1份2吨；甲，乙。 2、奥数差不变高阶题：兄弟两人存款比5:8，两人同时存入60元后，比变为7:10，求兄弟现在存款总和。 【答案】510元 【分析】同增同减差不变，差值份数统一，精准对应增量求解，奥数高频题型。 【详解】原差3份，现差3份，原5:8，现7:10；各增2份=60，1份30；现总和17份元。 3、奥数部分不变拔高题：兴趣小组男女比3:4，加入12名男生后，男女比变为9:8，求现在小组总人数。 【答案】48人 【分析】女生人数不变，统一女生份数，突破单量不变高阶变式，思维灵活性强。 【详解】原男:女=3:4=6:8，现9:8；男生多3份=12人，1份4人；现总17份？修正：9+8=17份，，精准答案68人。 4、奥数混合不变题型：甲乙两桶油质量比4:7，从甲桶倒出一部分到乙桶后比变为2:9，总量不变，已知甲减少18千克，求总质量。 【答案】99千克 【分析】和不变经典混合变式，份数跨度大，需最小公倍数统一总份数。 【详解】原总11份，现总11份，甲4份变2份，少2份=18kg，1份9kg，总kg。 5、奥数年龄压轴题（差不变）：母女年龄比3:10，6年后年龄比变为2:5，求母女今年年龄和。 【答案】39岁 【分析】年龄差永久不变，奥数必考题型，结合份数统一、差值对应双重考点。 【详解】原差7份，现差3份，统一差21份，原9:30，现14:35；各增5份=6岁，1份1.2岁，今年和39份，39岁。 6、奥数终极综合压轴题：甲乙两数比2:3，甲增加48，乙减少48后，比变为6:5，且两数总和不变，求原甲乙两数。 【答案】原甲96，原乙144 【分析】和不变终极压轴，一增一减总量恒定，份数大幅变化，综合所有不变量解题技巧。 【详解】原总5份，现总11份，统一总份55份；原22:33，现30:25；甲增8份=48，1份6；原甲，原乙。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《不变量问题（和不变、差不变、总量不变）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 不变量问题是六年级上册比与分数应用题的压轴核心考点，也是小升初高频难点。常规比的应用题多为静态固定比例，而不变量问题属于动态变化题型：题目中两个或多个量发生增减变化，但始终有一个量、差值或总和保持不变。多数同学解题误区是直接以变化的量为单位“1”，导致分率错乱、解题出错。本专题立足课本零超纲拔高，系统拆解和不变、差不变、部分量不变（总量不变分支）三类必考题型，传授“锁定不变量、统一份数、以不变应万变”的解题思维，搭配标准化解题步骤与梯度习题，帮助同学们彻底攻克动态比例应用题，突破小升初压轴瓶颈。 知识梳理 1、不变量问题核心定义与解题思想 （1）核心定义 在多个数量发生增减、调配、变化的应用题中，存在某个不随题干变化而改变的量、两量差值、总量和，以此固定量为解题突破口，统一份数、求解变化前后的数量，这类题型统称为不变量问题。 （2）核心解题思想 万变不离其宗：变化的量不做单位“1”，固定的量作为唯一标准。通过不变量统一变化前后的比例份数，找到份数变化差与实际数量变化的对应关系，用份数法秒杀解题。 2、三大必考不变量题型详细解析 （1）和不变（总量和不变） ① 题型特征：两个量之间内部调配、互给互换，一个量增加、一个量减少，增减数量相等，两量总和始终不变； ② 常见场景：甲乙互相转账、互相借书、内部调配人员物资等； ③ 解题关键：锁定两量总和为不变量，统一变化前后总份数，对比份数变化求单份量。 （2）差不变（相差量不变） ① 题型特征：两个量同时增加、同时减少相同数量，两量的差值永远保持不变； ② 常见场景：年龄问题、同时加量、同时减量的数量比变化题； ③ 解题关键：锁定两量差值为不变量，统一变化前后差值份数，对应实际数量求解。 （3）部分量不变（单量不变、总量随变） ① 题型特征：两个量中只有一个量增减变化，另一个量始终固定不变，整体总量随之变化； ② 常见场景：加入女生、转走男生、加水蒸发、单独增减某一类数量； ③ 解题关键：锁定固定不变的单个量，统一该量前后份数，推导整体数量变化。 3、不变量通用解题四步法（万能模板） ① 找不变：通读题干，判断是和不变、差不变、部分不变三种类型； ② 化比例：写出变化前、变化后的两组最简整数比； ③ 统份数：以不变量为标准，利用最小公倍数统一前后对应份数； ④ 找对应：根据份数变化量=实际变化量，求出单份量，秒杀所有未知量。 4、核心计算公式（贴合教材规范） ① ； ② ； ③ ； ④ 不变总量 = 单份量 × 统一后总份数（和不变专用）。 5、高频易错点总结 ① 不变量判断错误：混淆和不变与部分不变，误将变化量当作标准量； ② 未统一份数：直接对比变化前后比例，份数不统一导致对应错乱； ③ 份数差对应错误：分不清增加、减少对应的份数变化，计算反向； ④ 题型场景混淆：同时增减误用和不变，内部调配误用差不变； ⑤ 结果未化简：比例未化为最简整数比，份数统一出现偏差。 例题讲解 【例题1】和不变题型（内部调配、总和不变） 甲乙两人存款钱数比是2:3，甲给乙30元后，两人存款比变为1:4，求甲乙两人原来各有多少存款？ 【跟踪训练1】 甲乙课外书本数比是3:5，乙借给甲12本后，本数比变为1:1，求两人一共有多少本课外书？ 【例题2】差不变题型（同时增减、差值不变） 今年小明与爸爸的年龄比是2:7，5年后两人年龄比变为3:8，求今年小明和爸爸各多少岁？ 【跟踪训练2】 甲乙两数比是4:9，两数同时加上20后，比值变为6:11，求原来甲乙两数分别是多少？ 【例题3】部分量不变题型（单量固定、总量变化） 某班男女生人数比是3:2，又转入10名女生后，男女生人数比变为6:5，求原来班级男生有多少人？ 【跟踪训练3】 一杯糖水，糖和水的比是1:9，加入15克糖后，糖和水的比变为2:11，求原来水中含水多少克？ 提升练习 1、和不变基础题：甲乙石子质量比是1:2，甲运给乙15吨后，比变为1:5，求石子总质量。 2、差不变基础题：两数比是3:5，同时减去15后，比变为1:3，求原来两数差值。 3、部分不变基础题：阅览室男女人数比4:5，走出5名女生后，比变为2:3，求男生人数。 4、和不变变式题：甲乙零花钱比5:3，甲花掉一部分给乙，变为3:5，已知甲转出40元，求总零花钱。 5、部分不变变式题：盐和盐水比1:10，再加入8克盐，盐和盐水比变为1:8，求原有盐水质量。 模拟赛场 1、奥数和不变压轴题：甲乙仓库货物比7:5，从甲仓运22吨到乙仓后，比变为2:3，求两仓原有货物各多少吨？ 2、奥数差不变高阶题：兄弟两人存款比5:8，两人同时存入60元后，比变为7:10，求兄弟现在存款总和。 3、奥数部分不变拔高题：兴趣小组男女比3:4，加入12名男生后，男女比变为9:8，求现在小组总人数。 4、奥数混合不变题型：甲乙两桶油质量比4:7，从甲桶倒出一部分到乙桶后比变为2:9，总量不变，已知甲减少18千克，求总质量。 5、奥数年龄压轴题（差不变）：母女年龄比3:10，6年后年龄比变为2:5，求母女今年年龄和。 6、奥数终极综合压轴题：甲乙两数比2:3，甲增加48，乙减少48后，比变为6:5，且两数总和不变，求原甲乙两数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $