学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（江苏南通专用，测试范围：新教材人教版九上第25～27章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程、二次函数、反比例函数核心内容，通过“苏超”足球联赛销售、智慧安检等真实情境设计问题，梯度覆盖基础运算到综合探究，培养数学建模与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程根、二次函数平移、反比例函数象限|基础概念辨析，如第4题根的判别式考查推理意识| |填空题|8/30|二次函数对称轴、最值、根与系数关系|第18题动态几何中点坐标探究，体现空间观念| |解答题|8/90|方程求解、函数解析式、实际应用（销售利润、安检等待人数）、几何综合（菱形、正方形旋转）|23题销售利润问题培养模型意识，26题正方形旋转综合题融合几何直观与创新意识|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的定义是解答本题的关键． 将已知根代入方程，即可求出参数 k 的值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即， 化简得 ， ∴， ∴． 故选：C． 2．若将抛物线向下平移5个单位，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的平移规律，涉及“上加下减，左加右减”的知识点，运用了函数图像平移的转化思想．解题关键是牢记抛物线上下平移时对解析式中常数项（或顶点纵坐标）的影响；易错点是混淆“上加下减”与“左加右减”的规律，尤其是在上下平移时错误地对自变量进行操作． 已知原抛物线解析式为，根据抛物线“上加下减”的平移规律，向下平移5个单位，只需在原解析式的基础上，给整个函数表达式减去5，即可得到平移后的抛物线解析式为，进而确定答案． 【详解】对于抛物线，它的顶点式为，向下平移5个单位后，根据“上加下减”的规律，解析式变为． 故选：B． 3．反比例函数经过点，则该反比例函数图象所在象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入函数求k值，根据k的符号判断图象象限． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴ ， ∴， ∴ 该函数图象在第一、三象限． 故选：C． 4．对于任意实数m，关于x的方程x2﹣（2m＋1）x＋m2﹣2＝0的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 【答案】C 【分析】计算一元二次方程根的判别式，并进行变形，判断符号即可求解． 【详解】解： ， ， 即m取任意实数时， 关于x的方程一定有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，计算出根的判别式并进行变形判断出符号是解题关键． 5．已知点，都在函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴，进而利用二次函数增减性得出答案是解题关键．先求得函数的对称轴为y轴，再判断，离对称轴距离，从而判断出，的大小关系． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， ，在对称轴两侧， 抛物线开口向下，且， ， 故选：A． 6．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系是，则铅球推出的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解决本题的关键在于理解铅球推出的距离与二次函数的关系． 当铅球落地时，高度，此时对应的水平距离的值就是铅球推出的距离，由此求解即可． 【详解】解：令，得到方程， 化简得到， 解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离为． 故选：B ． 7．已知实数、满足，则代数式的最小值是（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题易得，代入要求的式子，利用二次函数最值求解，需要注意的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式， 即的最小值为7， 故选：D． 8．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 若点，都在该函数图像上，则和的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 由表中对应值可得抛物线的对称轴为直线，点和点到对称轴的距离相等，据此即可解答． 【详解】解：由表格可知：时，；时，， ∴对称轴为． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴ ． 故选D． 9．如图，菱形 的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线 和 相交于点D，且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则值等于（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法、勾股定理、菱形性质的运用，数形结合和准确计算是解题的关键． 如图所示，过点C作于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和中点坐标公式求出，将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于G， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 四边形是菱形， ， D为的中点， ， D在反比例函数图象上， ， ， E的纵坐标为4， E在反比例函数图象上， E的横坐标为， ， ， ， 故选：C． 10．已知函数，当时，下列结论：①；②当时，；③当时，；④当时，，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由函数开口向下及顶点坐标，确定使的x范围，从而判断p的范围；再代入各x值，结合函数性质判断y的取值范围． 【详解】解：∵函数开口向下，顶点为， 令，得， 解得：或， ∴当时，． 已知时， ∴， 故①正确； 当时， ∵， ∴． 当（即）时，，不满足， 故②错误； 当时，∵， ∴． ∵时， ∴恒成立， 故③正确； 当时，∵， ∴． ∵时， 且时， ∴， 故④正确． ∴正确结论为①、③、④，共3个， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11．已知方程的两根为1和3，则抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数与x轴的交点横坐标与对称轴的关系，解题的关键是知道二次函数与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根．根据二次函数与一元二次方程的关系可知，抛物线与轴交点的横坐标为1和3，再利用二次函数的对称性即可求出答案． 【详解】解：方程的两根为1和3， 抛物线与轴交点的横坐标为1和3， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 12．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式求值，若是一元二次方程的两个实数根，则，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，再整体代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 故答案为： ． 13．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则常数c的取值范围是________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次函数的图象与轴有两个公共点，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， ∴有两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．将抛物线的图象向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：抛物线的图象向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 15．已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 16．已知抛物线（b，c是常数）经过点，．当时，b的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的对称轴的性质是解题的关键． 首先由A，B两点的纵坐标相等，可以得到二次函数的对称轴的表达式，进而得到m与b的关系，再解不等式即可得到b的取值范围． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 17．如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正确表示出A、B、C的坐标是解题的关键． 设，则，再利用待定系数法求得直线的解析式，与函数联立成方程组，解方程组即可求得C的坐标，然后代入三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴， 将代入，则， ∴ 则， 设直线， 则， 解得 ∴直线为， 由，解得或（舍） ∴， ∴ 故答案为：． 18．如图，点A，B的坐标分别为， ，C为坐标平面内一点，，M为线段的中点． （1）若，点M的坐标为__________ ； （2）连接当取最大值时，点M的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位线定理、点圆最值问题、坐标与图形性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合长度及度数和点B坐标，求出点C坐标，再结合点M为线段的中点及点A坐标即可求出点M的坐标； （2）根据题意，得出点C在以B为圆心，为半径的圆上，作点A关于原点的对称点D，结合中位线的性质得出，求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，过C作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，M为中点， ∴M坐标为； 故答案为：； （2）如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴C， 当最大时，即最大，而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大， ∵， ∴， ∴， ∴C坐标为， ∵，M为中点， ∴M坐标为． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得，； （2）解： 整理得， 因式分解得， 或， 解得：，． 20．如图，直线与反比例函数的图象交于两点，这两个点的横坐标分别是和． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)9 (2)或 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得A的坐标，进而利用待定系数法求解即可； （2）根据图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集是或． 21．已知一个二次函数的图像经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）先求得二次函数的顶点坐标，则可得当时，y取最小值，再结合 自变量m的范围，进而根据二次函数图像的性质求解即可； 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 根据题意得，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值， 当时，；当时，， ∴当时，n的取值范围是． 22．阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．解决下面问题： 已知关于x的一元二次方程有两个非零不等实数根、，设． (1)求的取值范围； (2)用含的代数式表示出，并求出的取值范围． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】（1）将一元二次方程化成的形式，再根据方程有两个非零不等实数根，得根的判别式且，求解即可； （2）根据材料一元二次方程的根与系数的关系，得的值及的值，代入中，即可用含n的代数式表示出，令，将代数式化成二次函数的形式，再根据二次函数的性质及的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解:将方程整理得∶， ∵方程有两个非零不等实数根， ∴且， 解得且， ∴n的取值范围是且． （2）解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ，且， 或， 令，则或， ， 当时，， 当时，， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，及利用不等式求二次函数值的范围，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，根与系数的关系及二次函数的性质是解题关键． 23．2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 (3)每件应降价10元 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程或函数表达式是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． （3）设利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可多售出件； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）解：设利润为元，由题意得，， ∵， ∴当时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 24．2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数y（人）随时间x（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，为最高点，段与x轴重合，对应）．请根据图像回答： (1)时，等待安检的球迷有多少人； (2)当时，求等待人数y与x的函数关系式； (3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 【答案】(1)65人 (2) (3)从时，球迷可以随到随检 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）观察图象，可得当时间为0时，即可得时等待检票的游客； （2）根据抛物线的顶点坐标设y与x的函数关系式为，把代入即可得； （3）根据题意，当时，即，解方程即可得． 【详解】（1）解：观察图象得，时等待检票的居民有65人； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设y与x的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴y与x的函数关系式为， （3）解：由（2）知，抛物线的解析式为， 当时，即， 解得：，（不合题意舍去）， ∴开始65分钟后，即从时，球迷可以随到随检． 25．已知二次函数其中a为实数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标 ；（用含有的a式子表示） (2)当，时，求的最小值； (3)当时，二次函数的最大值为，最小值为，令，求的取值范围． 【答案】(1) (2)y的最小值为3 (3)S的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）化成顶点式即可求解； （2）由（1）可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质可知在内，时有最小值，最小值为，结合，即可求得的最小值； （3）分4种情况讨论，利用二次函数的性质得到关于的函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：二次函数， 抛物线经的顶点坐标为． 故答案为：； （2）解：二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 在内，时有最小值，最小值为， ∴当时，随的增大而增大， 时，最小， 故的最小值为3； （3）解：当时，二次函数的最大值为，最小值为， ①当时，则，， ， ， ； ②当时，则，， ， ， ； ③当时，则，， ， ， ； ④当时，则，， ， ， ； 综上，的取值范围是． 26．如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)； ②结论：． 证明：如图 ，过点作于点． ， ， 在中，，， ， ， ，， ， 点是的中点， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ． 【分析】（1）证明，求出，再利用等腰三角形的性质求解； （2）过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点，利用旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明，得到，再证明，得到，利用等腰直角三角形的性质求得即可；过点作于点，证明，再证明垂直平分，得到，，最后利用等腰直角三角形的性质结合线段的等量代换即可得证． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 旋转角为，即， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ； 故答案为：； （2）解：如图中，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形， ， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ． ， ， ，， ． ，°， ． 在和中， ， ， ， ； 略 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 17.________________ 14. __________________ 18. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（1４分） 26．（1４分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 2．若将抛物线向下平移5个单位，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数经过点，则该反比例函数图象所在象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 4．对于任意实数m，关于x的方程x2﹣（2m＋1）x＋m2﹣2＝0的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 5．已知点，都在函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系是，则铅球推出的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知实数、满足，则代数式的最小值是（    ） A． B．1 C．3 D．7 8．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 若点，都在该函数图像上，则和的大小关系是（  ） A． B． C． D． 9．如图，菱形 的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线 和 相交于点D，且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则值等于（  ） A．2 B． C．1 D． 10．已知函数，当时，下列结论：①；②当时，；③当时，；④当时，，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11．已知方程的两根为1和3，则抛物线的对称轴为直线___________． 12．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 13．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则常数c的取值范围是________________． 14．将抛物线的图象向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为________． 15．已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 16．已知抛物线（b，c是常数）经过点，．当时，b的取值范围为________． 17．如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 18．如图，点A，B的坐标分别为， ，C为坐标平面内一点，，M为线段的中点． （1）若，点M的坐标为__________ ； （2）连接当取最大值时，点M的坐标为__________ ． 3、 解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．如图，直线与反比例函数的图象交于两点，这两个点的横坐标分别是和． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集． 21．已知一个二次函数的图像经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 22．阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．解决下面问题： 已知关于x的一元二次方程有两个非零不等实数根、，设． (1)求的取值范围； (2)用含的代数式表示出，并求出的取值范围． 23．2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 24．2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数y（人）随时间x（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，为最高点，段与x轴重合，对应）．请根据图像回答： (1)时，等待安检的球迷有多少人； (2)当时，求等待人数y与x的函数关系式； (3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 25．已知二次函数其中a为实数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标 ；（用含有的a式子表示） (2)当，时，求的最小值； (3)当时，二次函数的最大值为，最小值为，令，求的取值范围． 26．如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 C B A B D D C 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11.x=2 12.11 13.c<9 14.少=(x-1)月 15.-4≤y≤5 16.-1<b<0 17.4075 3 18 (5,3) (5,5) 三、解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 19.【详解】(1)解：(r-5)=0 x=0或x-5=0, 解得=05 …5分 (2)解：x(r+4)=8x+12 整理得x2-4x-12=0, (x-6)(x+2)=0 因式分解得 .x-6=0或x+2=0, 答案第1页（共2页） 解得：方=6x=-2 …10分 20.【详解】(1)解：把x=3代入y=2x-3,得y=2×3-3=3, 43) k 把A(3,3)代入y= 得3 解得k=9;5分 3 (2)解：观察图象，当2x<0或x>3时，一次函数图象位于反比例函数图象上方， 3 不等式的解集是2<x<0或x>3·…l0分 2L.【详解】（山解：设二次函数解折式为'=r++c c=0 a=1 a-b+c=-3 b=4 根据题意得 (a+b+c=5’解得： c=0' 少x2+4 .…5分 (2)解：y=r+4=(x+2-4 六二次函数开口向上，顶点坐标为2，-4) 对称轴为直线x=-2, .当x=-2时，y取最小值-4， 当x=-5时，y=5；当x=0时，y=0, .当-5≤m<0时，n的取值范围是-4≤n≤5.…10分 2.【详解】（山）解将方程2x+=4整理得：4r+4n-)x+=0, 答案第2页（共2页） ,方程有两个非零不等实数根， :4=[4n-l明-4x4n>0n㎡≠0 1 解得m<2且n≠0： 1 .n的取值范围是”<2且n≠0：5分 (②)解：~，5是关于*的一元二次方程r+4-+n=0。 的两个实数根， x+5=》=1-,=4 n2 4 2+2_2(x+x2_20-m_81-m .m=二+ 4 ,1 :n<2,且n0, 20 1 令1=n,则1>2或1<0 m=82-数=80--2， 当t>2时，m>16, 当t<0时，m>0, .m>0.10分 23.【详解】(1)解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为 30-刊元，平均每天可多售出4x件： 故答案为： (30-x)4x. …2分 (②)解：由题意，得：(30-40+4)=1500 解得：x=5或x=15, 答案第3页（共2页） ,为了尽快减少库存、增加盈利， ∴.x=15: 答：每件T恤衫应降价15元.…6分 (3)解：设利润为"元，由题意得，w=(30-x40+4x)=42+80x+1200=-4(x-10+1600 -4<0 ∴.当x=10时，使每天获得的利润最大， .每件应降价10元.…10分 24.【详解】(1)解：观察图象得，15：30时等待检票的居民有65人；…4分 (30,245) (2)解：，抛物线的顶点坐标为 设y与x的函数关系式为'=a(x-30)°+245 把0,6)代入得，a(0-30+245=65. 1 解得a= 5 与x的函数关系武为y=-30+245,…8分 （③)解：由（②），抛物线的解折武为少=(x-30+245, 当y=0时，即0=- x-30+245, x1=65x2=-5 解得： (不合题意舍去)， ∴.15：30开始65分钟后，即从16：35时，球迷可以随到随检.…12分 25.【详解】(1)解：二次函数y=x-2ar+a2+a=(c-a)+a, ·抛物线经的顶点坐标为(a,a) 答案第4页（共2页） 故答案为：(a,);.4分 (②)解：”=次函数y=r-2ar+a2+ 图象开口向上，对称轴为直线x=a, .当x<a时，y随x的增大而减小， a22, 在-2≤x≤1内，=1时y有最小值，最小值为=-2a+心+a=a-+ 4, 1 “当a≥2时，y=1-a+a2随x的增大而增大， :a=2时，=+小， 故y的最小值为3；…9分 (3)解：当-1≤x≤1时，二次函数的最大值为M,最小值为m, ①当≥1 M=(-1-a)2+am=(1-a)2+a 时，则 5=M+m=1-aa+0-a+a=2+2a+2=2a++3. a21, .S26: ②当01 M=(1-a)2+am=(-1-a)2+a 时，则 c+,（-+D)Z=乙+D乙+，D乙=D+(D-)+D+(D-I-)=+N=0· :a≤-1， .S22: ③当0≤a<1时，则M=(1-a)2+a,m=a, .S=M+m=(-1-a)2+a+a=a2+4a+1=(a+2)2-3 0≤a<1, .1≤S<6: 答案第5页（共2页） ④当-1<a<0时，则M=0-a)'+a,m=a, ∴.S=M+m=1-a)2+a+a=a2+1 ·.-1<a<0 1<S<2: 综上，S的取值范围是S≥1.…14分 26.【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， ∴.CD=CB,∠BCD=90° 旋转角为a=40°，即∠FCD=40°， .∠BCF=90°-40°=50° ·将线段CD绕点C逆时针旋转得到线段C℉， ..CF=CD ..CB=CF, ∠BFC=∠CBF=180°-50°)=65°： 故答案为：65°：.4分 (2)解：①如图2中，过点A作AHI‖DG,交BG的延长线于点H,AE‖BH交DG于点E,过点C作 CK⊥DG于点K, H.- (图2) AHDG AE BH ∴四边形AHGE为平行四边形， :BG⊥DF ∴.∠HGE=∠BGF=90° ∴.四边形AHGE为矩形， .∠AEG=∠HAE=∠H=90°， ∠HAB+∠BAE=90°，∠AED=90°， 答案第6页（共2页） 四边形ABCD是正方形， :AB=AD=DC=BC,∠BAD=∠ADC=90°， ∠BAE+∠DAE=90°， .∠HAB=∠EAD, 在△BAH和△DAE中， [∠H=∠AED=90° ∠HAB=∠EAD AB=AD .△BAH≌△DAE(AAS) :AH=AE, ∴四边形AHGE为正方形， .AG=2AE :AG=6, AE=2=32 CD=CF,CK⊥DG, DK=KF=IDF 2 ∠KDC+∠KCD=90°，∠KDC+∠ADE=90°， .∠ADE=∠KCD 在△DCK和△ADE中， I∠DKC=∠AED=90° ∠KCD=∠ADE CD=AD ∴.△DCK≌△ADE(AAS) ∴DK=AE, DF=2AE=6√2 ;…9分 答案第7页（共2页） ②CG-2BG+Y2Dr 2 证明：如图3，过点C作CH⊥DF于点H. D (图3) .CF=CD CFD-CDF) 在aCEB中，CE=CB,∠BCE=90°-， ∠CEB=∠CBE=180-∠BcE)=)L80°-(90°-a】=45+5a, G-18wr-c0-c3=18w-（0-0j片4s=s CD=CF,CH⊥DF, :.DH=FH=IDF 2 点E是BF的中点， :BE=EF, .CB=CF, .CG⊥BF, .CG垂直平分BF, .GB=GF,LEGF=90°-∠EFG=45°， CG-GH(GF+F)G+DF CG-8GDF 2 .…14分 答案第8页（共2页）2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 12 13. 144 15. 16. 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(10分) 24.（12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 26.(14分) F G B (图1) (图2) (图3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 2．若将抛物线向下平移5个单位，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数经过点，则该反比例函数图象所在象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 4．对于任意实数m，关于x的方程x2﹣（2m＋1）x＋m2﹣2＝0的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 5．已知点，都在函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系是，则铅球推出的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知实数、满足，则代数式的最小值是（    ） A． B．1 C．3 D．7 8．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 若点，都在该函数图像上，则和的大小关系是（  ） A． B． C． D． 9．如图，菱形 的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线 和 相交于点D，且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则值等于（  ） A．2 B． C．1 D． 10．已知函数，当时，下列结论：①；②当时，；③当时，；④当时，，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，第11-12每小题3分，第13-18题每题4分，共30分。 11．已知方程的两根为1和3，则抛物线的对称轴为直线___________． 12．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 13．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则常数c的取值范围是________________． 14．将抛物线的图象向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为________． 15．已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 16．已知抛物线（b，c是常数）经过点，．当时，b的取值范围为________． 17．如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 18．如图，点A，B的坐标分别为， ，C为坐标平面内一点，，M为线段的中点． （1）若，点M的坐标为__________ ； （2）连接当取最大值时，点M的坐标为__________ ． 3、 解答题：本题共8小题，共90分。其中：19-23每题10分，24题每题12分，25-26题每题14分。 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．如图，直线与反比例函数的图象交于两点，这两个点的横坐标分别是和． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集． 21．已知一个二次函数的图像经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 22．阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．解决下面问题： 已知关于x的一元二次方程有两个非零不等实数根、，设． (1)求的取值范围； (2)用含的代数式表示出，并求出的取值范围． 23．2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 24．2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数y（人）随时间x（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，为最高点，段与x轴重合，对应）．请根据图像回答： (1)时，等待安检的球迷有多少人； (2)当时，求等待人数y与x的函数关系式； (3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 25．已知二次函数其中a为实数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标 ；（用含有的a式子表示） (2)当，时，求的最小值； (3)当时，二次函数的最大值为，最小值为，令，求的取值范围． 26．如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $