专题微课 集合的综合问题-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

**基本信息** 以“题型-典例-思维建模-针对训练”为框架，系统构建集合综合问题的解题方法体系，突出从基础运算到创新应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交并补混合运算|2例+2训练|有限集用列举法/Venn图，无限集用数轴，注重边界处理|从集合基本运算到补集与交集结合，强化集合关系转化| |参数问题|1例+3变式+1训练|分类讨论空集与非空情况，数轴法直观分析包含关系|以集合包含为核心，延伸至交集非空等变式，培养推理能力| |Venn图应用|1例+1训练|构造图示转化为方程求解，实现抽象问题可视化|通过容斥原理建立元素数量关系，发展几何直观| |新定义问题|1例+1训练|紧扣定义本质，转化为交并补运算，把握性质应用|从集合运算拓展到创新情境，提升数学抽象与表达能力|

专题微课　集合的综合问题 题型(一)　集合交、并、补混合运算 [例1]　(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)= (　 ) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 解析:选D　由题意得B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},所以∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D. [例2]　已知全集U={x∈Z|-5<x≤4},A⊆U,B⊆U,且(∁UA)∩B={-2,3},(∁UB)∩A={-4,4},A∩B=∅, 求集合(∁UA)∩(∁UB). 解:全集U={x∈Z|-5<x≤4}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},A∩B=∅,则(∁UA)∩B=B={-2,3},(∁UB)∩A=A={-4,4},所以(∁UA)∩(∁UB)={-3,-1,0,1,2}. 　　|思|维|建|模| 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 　　[针对训练] 1.(2023·天津高考)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则(∁UB)∪A= (　 ) A.{1,3,5} B.{1,3} C.{1,2,4} D.{1,2,4,5} 解析:选A　法一:因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,4},所以∁UB={3,5},又A={1,3},所以(∁UB)∪A={1,3,5}.故选A. 法二:因为A={1,3},且A⊆(∁UB)∪A,所以集合(∁UB)∪A中必含有元素1,3,所以排除选项C、D;观察选项A、B,因为5∉B,所以5∈∁UB,即5∈(∁UB)∪A,故选A. 2.设全集U={x∈N+|x≤9},若∁U(A∪B)={1,3},A∩(∁UB)={2,4},则集合B= (　 ) A.{4,5,6,7,8,9} B.{2,4,5,6,7,8,9} C.{5,6,7,8} D.{5,6,7,8,9} 解析:选D　因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁U(A∪B)={1,3},得A∪B={2,4,5,6,7,8,9}. 又A∩(∁UB)={2,4},所以B={5,6,7,8,9}. 题型(二)　集合中的参数问题 [例3]　集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围. 解:①当B=∅时,B⊆A,此时m+1>2m-1,解得m<2,②当B≠∅时,为使B⊆A,m需满足 解得2≤m≤3,综上所述实数m的取值范围为{m|m≤3}. 　　[变式拓展] 1.若本例条件“B⊆A”变为“A∩B≠∅”,求实数m的取值范围. 解:先求A∩B=∅时,实数m的取值范围,再求其补集,当B=∅时,易知m<2, 当B≠∅时,为使A∩B=∅,m需满足或 解得m>4,综上知,当m<2或m>4时,A∩B=∅,所以若A∩B≠∅,则实数m的取值范围是{m|2≤m≤4}. 2.若本例条件变为“已知集合A=[2a+1,3a-5],B=[3,22]”.求能使A∩B=A成立的实数a的取值范围. 解:由A∩B=A,可知A⊆B,则解得6<a≤9,故实数a的取值范围为{a|6<a≤9}. 3.若本例条件“集合A={x|-2≤x≤5}”变为“A={x|x≤3或x>5}”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:若2m-1<m+1,即m<2时,B=∅,满足B⊆A. 若2m-1≥m+1,即m≥2时,要使B⊆A,只需或解得m=2或m>4. 综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤2或m>4}. |思|维|建|模| 解集合中参数问题的注意点及常用方法 注意点 ①不能忽视集合为∅的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论 常用方法 对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答 　　[针对训练] 3.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1,或x>16},若A⊆(A∩B),求实数a的取值范围. 解:因为A⊆(A∩B),而(A∩B)⊆A,所以A∩B=A,即A⊆B.当A=∅满足条件,此时2a+1>3a-5,即a<6.当A≠∅时,如图所示, 则或由解得a∈∅;由解得a>. 综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是. 题型(三)　Venn图的应用 [例4]　学校开运动会,某班45人,参加100 m跑的同学20人,参加200 m跑的同学20人,参加400 m跑的同学17人,既参加100 m跑又参加200 m跑的同学10人,既参加100 m跑又参加400 m跑的同学7人,既参加200 m跑又参加400 m跑的同学8人,都不参加的同学11人,则同时参加100 m,200 m,400 m跑的同学有 (　 ) A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 解析:选B　设同时参加100 m,200 m,400 m跑的同学有x人,作出Venn图如图所示, ∴3+x+2+x+2+x+10-x+7-x+8-x+x+11=45,解得x=2. 　　|思|维|建|模| 　　解决数学问题最怕的就是仅仅局限在数学上,有时适当的变通会让我们更好地解决问题.对于某些应用题,若能构造Venn图求解,可使问题变得简单明了,通过图示先将无形的东西转化成有形,再将有形的东西转化成方程去求解,使复杂的问题简单化. 　　[针对训练] 4.某社团有若干名社员,他们至少参加了A,B,C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人,参加B活动的有60人,参加C活动的有50人,数据如图所示,则图中a=　　　,b=　　　　,c=　　　　.  解析:由题意得解得 答案:9　8　10 题型(四)　集合中新定义问题 [例5]　设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A·B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A·B中元素的个数是 (　 ) A.7 B.10 C.25 D.52 解析:选B　因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示: 　y x　 -1 0 1 2 3 0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以A·B中的元素共有10个.故选B. 　　|思|维|建|模|　解决新定义问题的策略技巧 (1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在. (2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质. (3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可. 　　[针对训练] 5.(多选)若集合A具有以下性质:①集合中至少有两个元素;②若{x,y}⊆A,则xy,x+y∈A,且当x≠0时,∈A,则称集合A是“紧密集合”.以下说法正确的是 (　 ) A.整数集是“紧密集合” B.实数集是“紧密集合” C.“紧密集合”可以是有限集 D.若集合A是“紧密集合”,且x,y∈A,则x-y∈A 解析:选BC　A选项,若x=2,y=1,而∉Z,故整数集不是“紧密集合”,A错误;B选项,根据“紧密集合”的性质,实数集是“紧密集合”,B正确;C选项,集合{-1,0,1}是“紧密集合”,故“紧密集合”可以是有限集,C正确;D选项,集合A={-1,0,1}是“紧密集合”,当x=1,y=-1时,x-y=2∉A,D错误.故选B、C. [课时检测] 1.(2023·全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁UM= (　 ) A.{2,3,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 解析:选A　由题意知,∁UM={2,3,5},又N={2,5},所以N∪∁UM={2,3,5},故选A. 2.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　由题意知集合M一定含有元素a1,a2,并且不含元素a3,故M={a1,a2}或M={a1,a2,a4}. 3.已知(∁RA)∩B=∅,则下列选项中一定成立的是 (　 ) A.A∩B=A B.A∩B=B C.A∪B=B D.A∪B=R 解析:选B　作出Venn图如图所示,则B⊆A,所以A∩B=B. 4.已知集合M={x|2x+1<3},N={x|x<a},若M∩N=N,则实数a的取值范围为 (　 ) A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,1) 解析:选C　M={x|2x+1<3}={x|x<1},因为M∩N=N,所以N为M的子集,所以a≤1. 5.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B}.若集合A={1,2,3},B={0,1,2},则∁(A*B)A= (　 ) A.{0} B.{0,4} C.{0,6} D.{0,4,6} 解析:选D　因为A={1,2,3},B={0,1,2},所以A∩B={1,2},A∪B={0,1,2,3},所以当x∈A∩B,y∈A∪B时, z=0,1,2,3,4,6,所以A*B={0,1,2,3,4,6},所以∁(A*B)A={0,4,6}.故选D. 6.已知全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)等于 (　 ) A.{3} B.{4} C.{3,4} D.∅ 解析:选A　因为全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},又B={1,2}, 所以∁UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},所以A∩(∁UB)={3}. 7.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁UA)≠∅,则 (　 ) A.k<0或k>3 B.2<k<3 C.0<k<3 D.-1<k<3 解析:选C　∵A={x|x≤1或x≥3},∴∁UA={x|1<x<3}.若B∩(∁UA)=∅,则k+1≤1或k≥3,即k≤0或k≥3, ∴若B∩(∁UA)≠∅,则0<k<3. 8.若集合A具有以下性质:(1)0∈A,1∈A;(2)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A.则称集合A是“好集”,给出下列说法:①集合B={-1,0,1}是“好集”;②有理数集Q是“好集”;③设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.其中,正确说法的个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选C　对于①,当x=1,y=-1时,x-y=2,故集合B不满足第2个条件,集合B不是“好集”;对于②,有理数集Q满足0∈Q,1∈Q,且满足第2个条件,即x∈Q,y∈Q时,x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,故有理数集Q是“好集”;对于③,由“好集”的定义知,x,y∈A,0∈A,∴0-y=-y∈A,∴x-(-y)=x+y∈A. 9.(5分)设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∪(∁UB)=　　　　.  解析:∵U=R,B={x|x>1},∴∁UB={x|x≤1}.又∵A={x|x>0},∴A∪(∁UB)={x|x>0}∪{x|x≤1}=R. 答案:R 10.(5分)对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B=　　　　.  解析:A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},所以A*B={x|-3≤x<0或x>3}. 答案:{x|-3≤x<0或x>3} 11.(5分)已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A(∁RB),则a的取值范围是　　　　　　　　.  解析:由题意得∁RB={x|x≤1或x≥2}≠∅.因为A(∁RB),所以分A=∅和A≠∅两种情况讨论.若A=∅,此时有2a-2≥a,所以a≥2;若A≠∅,则有或所以a≤1.综上所述,a≤1或a≥2. 答案:{a|a≤1或a≥2} 12.(10分)已知全集U={x|-10≤x≤10},A={x|-1≤x≤10},B={x|-5≤x<5}. (1)求∁UA;(2分) (2)求(∁UB)∩A;(4分) (3)求∁U(A∪B).(4分) 解:(1)由U={x|-10≤x≤10},A={x|-1≤x≤10}, 得∁UA={-10≤x<-1}. (2)因为U={x|-10≤x≤10},B={x|-5≤x<5}, 所以∁UB={x|-10≤x<-5或5≤x≤10}, 所以(∁UB)∩A={x|5≤x≤10}. (3)因为A∪B={x|-5≤x≤10}, 所以∁U(A∪B)={x|-10≤x<-5}. 13.(10分)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2<x<5}. (1)求A∩B与(∁RA)∪B;(3分) (2)设集合P={x|a<x<a+2},若P⊆(A∪B),求实数a的取值范围.(7分) 解:(1)由集合A={x|1<x<3},B={x|2<x<5},可得A∩B={x|2<x<3}.又由∁RA={x|x≤1或x≥3},得(∁RA)∪B={x|x≤1或x>2}. (2)由集合A={x|1<x<3},B={x|2<x<5},可得A∪B={x|1<x<5}. 由集合P={x|a<x<a+2}且P⊆(A∪B),可得解得1≤a≤3. 故实数a的取值范围为[1,3]. 14.(10分)给定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,a-b∈A,则称集合A为闭集合. (1)判断集合A1={-4,-2,0,2,4},B={x|x=3k,k∈Z}是否为闭集合,并给出证明;(3分) (2)若集合C,D为闭集合,则C∪D是否一定为闭集合?请说明理由;(3分) (3)若集合C,D为闭集合,且CR,DR,证明:(C∪D)R.(4分) 解:(1)因为4∈A1,2∈A1,4+2=6∉A1,所以A1不是闭集合.任取x,y∈B,设x=3m,y=3n,m,n∈Z,则x+y=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z,所以x+y∈B,同理,x-y∈B,故B为闭集合. (2)结论:不一定. 不妨令C={x|x=2k,k∈Z},D={x|x=3k,k∈Z},则由(1)可知, D为闭集合,同理可证C为闭集合.因为2,3∈C∪D,2+3=5∉C∪D,因此,C∪D不一定是闭集合.所以若集合C,D为闭集合,则C∪D不一定为闭集合. (3)证明:不妨假设C∪D=R,则由CR,可得存在a∈R且a∉C,故a∈D.同理,存在b∈R且b∉D,故b∈C.因为a+b∈R=C∪D,所以a+b∈C或a+b∈D.若a+b∈C,则由C为闭集合且b∈C,得a=(a+b)-b∈C,与a∉C矛盾.若a+b∈D,则由D为闭集合且a∈D,得b=(a+b)-a∈D,与b∉D矛盾, 综上,C∪D=R不成立,故(C∪D)R. 学科网（北京）股份有限公司 $