1.3.2.1 基本不等式-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，系统梳理基本不等式（非负实数算术平均值≥几何平均值）及变形、不等式链的概念，构建从概念理解到比较大小、证明不等式的梯度进阶学习支架。 该资料采用深化学习课模式，通过“微点助解”辨析易错条件培养数学眼光，“思维建模”总结方法发展数学思维，结合基础训练与题型示例提升数学语言表达能力。课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固练习、查漏补缺。

　3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握基本不等式≤(a≥0,b≥0),掌握基本不等式的变形及应用. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. 1.基本不等式 设a≥0,b≥0,则≥,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式,其中,称为a,b的算术平均值,称为a,b的几何平均值.可表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 2.基本不等式链 设a>0,b>0,则有≤≤≤或ab≤≤,当且仅当a=b时,等号成立. |微|点|助|解| (1)基本不等式≥中,要求a,b都是正实数,否则,若a<0,b<0,如a=-2,b=-4,则会出现≥的错误结论.若a,b中有一个小于0,如a=2,b=-4,则无意义. (2)基本不等式中的a,b的取值既可以是某个具体的正数,也可以是一个代数式,但是代数式的结果应为正数. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a≥0,b≥0且a≠b,则a+b>2. (　 ) (2)6和8的几何平均值为2. (　 ) (3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. (　 ) (4)若a≠0,则a+≥2 =2. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 解析:选B　当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立. 3.设a>b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a-b<0 B.0<<1 C.< D.ab>a+b 解析:选C　∵a>b>0,由基本不等式知<一定成立. 4.(多选)当a,b∈R时,下列不等关系不成立的是 (　 ) A.≥ B.a-b≥2 C.a2+b2≥2ab D.a2-b2≥2ab 解析:选ABD　根据≥ab,≥成立的条件判断,知A、B、D错误,只有C正确. 题型(一)　对基本不等式的理解 [例1]　若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (　 ) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 解析:选D　对于A,当a=b时,应有a2+b2=2ab,故A错误;对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B、C错误;对于D,因为ab>0,所以>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故D正确. [例2]　不等式a+1≥2(a>0)中,等号成立的条件是 (　 ) A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2 解析:选C　因为a>0,根据基本不等式≤,当且仅当a=b时,等号成立,故a+1≥2中,当且仅当a=1时,等号成立. 　　|思|维|建|模| 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条件是a,b都是正数. (2)“当且仅当”的含义:当a=b时,≤的等号成立,即a=b⇒=;仅当a=b时,≥的等号成立,即=⇒a=b. 　　[针对训练] 1.下列不等式等号可以取到的是 (　 ) A.+≥2 B.x2+2+≥2 C.x2+≥2 D.|x|+3+≥2 解析:选C　对于A,因为>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即x2=-4,故等号不成立,故A不符合;对于B,因为x2+2>0,所以x2+2+≥2=2,当且仅当x2+2=,即x2=-1,故等号不成立,故B不符合;对于C,因为x2>0,所以x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±1时取等号,故C符合;对于D,因为|x|+3>0,所以|x|+3+≥2=2,当且仅当|x|+3=,即|x|=-2,故等号不成立,故D不符合. 题型(二)　利用基本不等式比较大小 [例3]　设0<a<b,则下列不等式正确的是 (　 ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 解析:选B　法一:∵0<a<b,∴a<<b,排除A、C两项. 又-a=(-)>0,即>a,排除D项,故选B. 法二:取a=2,b=8,则=4,=5, 所以a<<<b. 故选B. [例4]　已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是　　　　.  解析:因为a>2,所以a-2>0, 又因为m=a+=(a-2)++2, 所以m≥2+2=4, 当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立. 由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<4,综上可知m>n. 答案:m>n 　　|思|维|建|模| 利用基本不等式比较大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a≥0,b≥0. 　　[针对训练] 2.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最大的是 (　 ) A. B.b C.2ab D.a2+b2 解析:选B　∵ab<,∴ab<,∴2ab<. ∵>>0,∴>,∴a2+b2>.∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大. 3.已知a,b,c是两两不等的实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是　　　　　　 　. 解析:∵a,b,c互不相等,∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac.∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2>ab+bc+ac. 答案:a2+b2+c2>ab+bc+ac 题型(三)　利用基本不等式证明不等式 [例5]　已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, 求证:++>9. 证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴++=++ =3++++++=3+++>3+2+2+2=3+2+2+2=9.∴++>9. 　　[变式拓展] 　本例条件不变,求证:>8. 证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴-1=>0,-1=>0,-1=>0, ∴ =··>=8. ∴>8. 　　|思|维|建|模| 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征,进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等,使之满足使用基本不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系,条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到 　　[针对训练] 4.已知x>0,y>0,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 证明:∵x,y都是正数, ∴x+y≥2>0, x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0. ∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3, 即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3, 当且仅当x=y时,等号成立. [课时检测] 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有 (　 ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 解析:选ACD　根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0,>0. 2.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是 (　 ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t 解析:选A　∵b2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立),∴a+2b≤a+b2+1.∴t≤s. 3.下列不等式中正确的是 (　 ) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:选D　若a<0,则a+≥4不成立,故A错误;若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误;若a=4,b=16,则<,故C错误;由基本不等式可知D正确. 4.(多选)设a,b∈R,且a≠b, a+b=2,则必有 (　 ) A.ab>1 B.ab<1 C.<1 D.>1 解析:选BD　由基本不等式可得ab≤, a≠b,所以ab<1, 又1==< =(a2+b2),所以(a2+b2)>1,所以 ab<1<(a2+b2) ,所以A不符合题意,B正确,C不符合题意,D正确,故选B、D. 5.设M=,N=n3++6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为 (　 ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.不能确定 解析:选A　M-N=-n3--6=n3+++3n-n3--6=3-6,∵n>0,∴n+≥2=2,当且仅当n=1时,等号成立,∴3-6≥0,∴M≥N. 6.两个工厂生产同一种产品,其产量分别为a,b(0<a<b).为便于调控生产,分别将=1,=,=中x(x>0)的值记为A,G,H并进行分析.则A,G,H的大小关系为 (　 ) A.H<G<A B.G<H<A C.A<G<H D.A<H<G 解析:选A　由=1得x-a=b-x,解得x=,即A=;由=得x2-ax=ab-ax,解得x=,即G=;由=得bx-ab=ab-ax,解得x=,即H=≤=.又≥,∴≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.∴H<G<A. 7.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+b+≥2 B.≤ C.≥ D.(a+b)≥4 解析:选ABD　因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时,等号成立,故A一定成立.由做差比较法,-=≥0,可知≤,故B一定成立.因为a+b≥2>0, 所以≤=,当且仅当a=b时,等号成立,故C不一定成立.因为(a+b) =2++≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故D一定成立. 8.(5分)下列不等式:①a2+1>2a;②≥2;③≤2;④x2+≥1.其中正确的个数是　　　　.  解析:由基本不等式可知②④正确. 答案:2 9.(5分)不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是　　　　　.   解析:当x>2时,+(x-2)≥2=6,等号成立的条件是 =x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去). 答案:x=5 10.(5分)已知a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　　.  解析:因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0, 所以=≥,当且仅当a-b=b-c时,等号成立. 答案:≤ 11.(5分)已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是　　　　.  解析:因为a>2,所以a-2>0, 又因为m=a+=(a-2)++2,所以m≥2+2=4,当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立.由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<2<4,综上可知m>n. 答案:m>n 12.(10分)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++. 证明:∵a>0,b>0,c>0,∴≥,≥,≥.∴++≥++,即a+b+c≥++.由于a,b,c不全相等,∴等号不成立,∴a+b+c>++. 13.(10分)已知a>b>c,你能比较出4与·(a-c)的大小吗? 解:(a-c)≥4,理由如下: 因为a-c=(a-b)+(b-c), 所以[(a-b)+(b-c)]=2++, 又a>b>c,所以a-b>0,b-c>0, 所以+≥2,当且仅当=, 即b-c=a-b时,等号成立. 则2++≥4. 故(a-c)≥4. 14.(15分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)a2+b2+c2≥;(7分) (2)++≥1.(8分) 证明:(1)由a+b+c=1,得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1, 又由基本不等式可知当a,b,c均为正数时,2ab≤a2+b2,2ac≤a2+c2,2bc≤b2+c2, 当且仅当a=b=c=时,上述不等式等号均成立,所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2,即3(a2+b2+c2)≥1, 所以a2+b2+c2≥,当且仅当a=b=c=时,等号成立. (2)因为a,b,c均为正数, 所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当a=b=c=时,不等式等号均成立, 则+++b+c+a≥2a+2b+2c, 即++≥a+b+c=1,当且仅当a=b=c=时,等号成立. 所以++≥1. 学科网（北京）股份有限公司 $