28.3-4 相似多边形和位似多边形（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦相似多边形和位似多边形核心知识点，系统梳理相似多边形的定义、性质与判定，进而延伸到位似多边形的性质、与相似的关系、平面直角坐标系中的坐标规律及作图步骤，构建从概念理解到性质应用再到综合实践的学习支架。 该资料通过辨析题（如判断矩形是否相似）培养抽象能力与几何直观（数学眼光），借助位似作图步骤和坐标规律推理提升推理意识（数学思维），综合实践题（如菱形翻折与位似）强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后通过基础到创新练习帮助学生查漏补缺。

第二十七章 相似三角形 28.3-4 相似多边形和位似多边形 课标要点 1. 理解相似多边形、相似比定义，掌握相似多边形的性质与判定； 2. 理解位似多边形的概念，分清相似与位似的关系； 3. 掌握平面直角坐标系中原点位似图形的坐标变化规律； 4. 会利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 学习重难点 重点： 理解并掌握相似多边形、位似多边形的定义、性质、判定； 难点： 利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 知识点 相似多边形的辨析 1. 定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。两个相似多边形的对应边的比值叫作相似比。 2. 性质 相似多边形对应角相等，对应边成比例。 特别提醒 核心点：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例 随学随练 1. 下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 【详解】解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 2. 命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及相似多边形的定义、矩形的性质，根据相似多边形的定义，判断对应角是否相等且对应边是否成比例． 【详解】解：任意两个矩形的对应角都相等（均为直角），但对应边不一定成比例，例如一个矩形长为2、宽为3，另一个矩形长为4、宽为5，对应边比分别为和，因此不相似，故该命题是假命题． 故答案为：假． 知识点 位似多边形 1. 基本性质 ①两个位似图形一定相似； ②所有对应顶点连线交于同一顶点O（位似中心）； ③对应边互相平行； 2. 位似与相似的关系 相似包含着位似，但相似不一定是位似。 3. 平面直角坐标系中的位似规律（以原点为位似中心） ①两图形在原点同侧，位似比k为正；两图形在原点异侧，位似比k为负； ②当|k|>1时，利用位似放大；当|k|<1时，利用位似缩小； ③坐标规律： 原图形上点的坐标（x，y），相似比为k⇒位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 4. 位似图形的画图步骤 ①普通位似图形 首先，连接位似中心和原图各顶点并延长作射线； 然后，在射线上按位似比截取对应顶点； 最后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 ②以坐标原点为位似中心的位似图形 首先，按位似比计算各新顶点的坐标； 然后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 随学随练 1. 下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 2．综合实践 (1)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (2)若（1）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 【答案】 (1)或， (2)是位似三角形，位似中心为点 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的定义．理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据菱形性质可得，垂直平分线，由此求出点，再根据与相似可得对应关系为，由此得出对应相等比，继而求出，得出点Q的坐标， （32）根据定义判断它们的对应边平行（或共线）且对应顶点所在的直线相交于一点，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接交轴于点，交轴于点； ∵ 四边形恰为菱形， ∴，垂直平分线， ∵点B的坐标为，， ∴点、的横坐标为， 又∵点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是． ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴直线垂直平分， ∴， 如图，当在第一象限时，与相似，即， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 当在第四象限时，即点为关于轴对称点， 综上所述：点为或， （2）和为位似三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、、在同一直线上，、、在同一直线上， ∴与是位似三角形，位似中心的坐标为点． 题型相似多边形的辨析 ▌例1下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． ▌对点练1. 如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． ▌对点练2. 下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题； ④任意的圆都相似，是真命题； 故答案为：③④． ▌对点练3. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 题型 相似多边形的性质与判定 ▌例1定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵四边形是梯形，， 又∵， ∴， ∴，，，， ∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形和都是等腰梯形， ∴，， 如图，作交于G，作交于H， 则四边形和 都是平行四边形， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据等比性质可得，即， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先证四边形和四边形的四个角都是直角，从而可得四边形和四边形都是矩形，再证这两个矩形的四组对应边成比例即可得证． （2）由四边形是梯形，，，可得，从而可得梯形和的四个角对应相等．梯形是等腰梯形可推出梯形和都是等腰梯形，则，．作交于G，作交于H，则可得则四边形和 都是平行四边形，进而得，从而可得，结合和等比性质可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练1. 如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． ▌对点练2. 在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【答案】8 【分析】原矩形的长宽之比为，根据相似多边形的性质可知，留下的矩形长宽之比也为，据此即可求解． 【详解】解：原矩形的长宽之比为， ∵留下的矩形与矩形相似， ∴留下的矩形长宽之比为， 由图可知，留下的矩形的长为， ∴留下的矩形的宽为， ∴留下的矩形的面积为． ▌对点练3. 如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 题型 位似多边形的辨析 ▌例1下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． ▌对点练1. 下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． ▌对点练2. 下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． ▌对点练3. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 题型 位似图形的画图 ▌例1 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图）特别提醒 画图时一定要注意位似比2与1：2的区别。 以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； 【答案】如图，即为所求 ▌对点练1. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)点为位似中心，在网格中画，使与的位似比为2（新图与原图的相似比为2）； (2)求的边上的高长． 【答案】(1) 如图所示：即为所作， (2)边上的高长为2 【分析】本题考查了作图—位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据位似变换的性质作图即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵与的位似比为2， ∴，且相似比为2， ∵边上的高为1， ∴边上的高长为2． ▌对点练2. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将以点为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)使用无刻度的直尺作外接圆的圆心（无需写做法，但要保留清晰的作图痕迹）． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示点为所求： 【分析】本题考查了位似变换和三角形外接圆圆心的作法，解题的关键是理解位似的性质以及外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点； （1）以点为位似中心，放大2倍意味着对应点到位似中心的距离是原距离的2倍，分别得到，即可； （2）根据三角形的外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，利用网格特性，找到，，的中点，并作其垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆圆心． 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练3. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)以点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为2，并直接写出的顶点坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求. (2) 如图，即为所求. ，，. 【分析】本题考查的是画中心对称图形，画位似图形. （1）分别确定点关于点成中心对称的对应点，再顺次连接即可. （2）分别确定点的位似对应点，再顺次连接，再根据其位置写出点的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 题型 原点位似图形的坐标特征 ▌例1 如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； ▌对点练1.在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标为原对应点坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心，把按相似比为放大得到，点的坐标为， 的坐标为或， 即或． ▌对点练2.如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． ▌对点练3. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； (3)请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，的坐标为 (3)作图见解析，位似中心M的坐标为 【分析】本题考查了图形的平移变换、位似变换及位似中心的确定，求一次函数的解析式． （1）根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标，再描点作图即可； （2）以原点为位似中心，相似比且在y轴右侧，通过原坐标乘以2得到对应点坐标； （3）连接对应点连线，其交点即为位似中心，通过计算确定位似中心的坐标． 【详解】（1）解：根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标， 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 将向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 描点连接得． （2）解：以原点O为位似中心，相似比且在y轴右侧，的对应点坐标为． 描点连接得（见上图）， 故点的坐标为． （3）解：作射线、、，交点即为位似中心M（见上图）． 设直线的解析式为， 将和代入解析式， 得到方程组：， 解方程组得，代入得， 因此，直线的解析式为， ∵，，故直线为， 联立求解得． ∴位似中心M的坐标为． 题型6 相似、位似图形的计算与推理 ▌例1 【问题情境】 两张透明的菱形纸片，按如图1的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，对角线和重合，点是对角线的中点，，，，． 【操作探究】 如图2将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②请直接写出四边形的面积． 【答案】①四边形是菱形， 理由：四边形和四边形是菱形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是菱形． ② 【分析】先由菱形对边平行，证出四边形是平行四边形，再通过证明 推出，从而判定菱形； ②先运用勾股定理求出的长度，再运用菱形的性质证明，结合相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，即可作答． 【详解】（1）解：①略； ②连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 则 ∴菱形的面积为， ∴， 由①得四边形是菱形． ∴， 菱形的面积 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴菱形的面积． ▌对点练1.如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 【答案】(1)如图所示即为所作， (2)如图所示点即为所作， 【分析】（1）根据位似的定义解题； （2）通过构造相似三角形解题即可． 【详解】（1）解：图中，， ，， ∴， 又∵， ∴，且相似比为， 图略； （2）解：图中，，且， ∴， ∴， 图略． ▌对点练2. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为．    (1)请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． (2)若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． (3)连接 则与四边形的面积比为________． 【答案】(1) 如图，即为所求．    (2) (3) 【分析】（1）由题意得，与的相似比为，结合位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质：相似三角形的高的比等于相似比，可得答案． （3）结合位似的性质以及相似三角形的判定可得，相似比为，则可得与的面积比为，进而可得答案． 本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：与的相似比为，中边上的高为， 中边上的高为． 故答案为：． （3）解：与关于点位似，相似比为， ． ， ，相似比为， 与的面积比为， 与四边形的面积比为． 故答案为：． ▌对点练3. 综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 (1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； 【答案】(1)①证明：∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N，连接． ∴， ∴四边形是矩形； ②； (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质及矩形的判定证明即可；②根据题意得出，再由相似多边形的性质求解即可； （2）在直角三角形里，利用（1）②中的结果及三角函数算出，从而得到旋转角； 【详解】（1）①证明：∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N，连接． ∴， ∴四边形是矩形； 解：②∵矩形，对折，折痕分别交于点M，N， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴即， ∴； （2）解：当恰好经过点时， 由（1）②得， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ， ， ． 基础通关 1．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 2．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 4．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质可得，相似比为，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为． 5．平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据图形与位似中心的位置关系，结合原图形与新图形的位似比为3，坐标对应乘以求解即可． 【详解】解：将点的坐标乘以或可得：点的对应点的坐标为或． 7．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 8．如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】略 9．如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 由平移的性质可得四边形是矩形，，，由此可证得，，于是可得，，进而可得，于是可证得矩形矩形，由题意可得，于是得解． 【详解】解：由平移的性质可得： 四边形是矩形，，， ，， ，， ， 矩形矩形， 由题意可得：， ，即：． 10．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出的重心G，并写出重心G的坐标； (2)以原点O为位似中心，将按位似比将放大得到并画出其图形； (3)填空：的面积为_________． 【答案】(1)图见解析，重心G的坐标为 (2)图见解析 (3)12 【分析】本题考查平面直角坐标系中的几何变换与计算，掌握重心的定义、位似变换以及利用网格算不规则三角形的面积是解题的关键． （1）三角形的重心是是三条中线的交点，三角形重心的坐标公式：三角形重心的横坐标是三个顶点横坐标之和的平均数，纵坐标是三个顶点纵坐标之和的平均数； （2）以原点O为位似中心，位似比为k（此处为2）的变换，对应点的坐标变为原来的k倍； （3）网格中不规则三角形面积的计算：通常采用“割补法”或“铅垂法”（即构造外接矩形，用矩形面积减去周围直角三角形面积的方法）进行计算． 【详解】（1）解：如图，连接三条边的中线交于点G，设重心G的坐标为， 则 ， ； （2）解：由A，B，C的坐标分别为，，可得： 以原点O为位似中心，按位似比放大得到的坐标分别为，，，如图，在平面直角坐标系中顺次连接这三个点即可得到； （3）解：方法一：利用位似图形的面积等于位似比的平方， ， ； 方法二：直接计算， ． 素养提升 1．下列说法正确的是（   ） A．任意两个菱形都相似 B．对角线相等的四边形是矩形 C．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的判定，矩形的性质，菱形的性质，平行投影．逐项判断：A菱形角不一定相等，故不都相似；B对角线相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是矩形；C菱形面积应为对角线乘积的一半，计算得而非；D太阳光下相似三角形原理成立，身高与影长比相等． 【详解】解：A：∵菱形的对应角不一定相等，∴任意两个菱形不一定相似，故A错误． B：∵等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，∴B错误． C：∵菱形的面积公式为，∴，故C错误． D：∵太阳光线平行，形成相似三角形，∴身高与影长之比相等，故D正确． 故选：D． 2．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 3．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 4．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O， ∴， ∵， ∴，即． 6．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 7．如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是_______．（用a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等． 8．如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）. 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，相似多边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似图形的判定与性质是解题的关键． 根据已知条件可得，然后可证得，利用相似三角形的性质可得，同理可得，于是可求得；根据已知条件，易证得四边形四边形，且相似比为，可推出，同理可得，，发现并总结出一般规律，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 为的中点， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 取中点，作，，得到四边形， 易证得四边形四边形，且相似比为， ， ， 同理可得：， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 【答案】(1)3 (2)如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． 10．根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据是边长为1的小正方形的对角线，根据相似比为2，延长到，使得为边长是2的小正方形的对角线，类似地可画出，以此画出三角形即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求解即可； （3）根据，得，利用相似的性质证明即可． 【详解】（1）略； （2）解：，且， ∴； （3）解：根据平行线间的距离处处相等，得到， 根据， ∴， ∴， ∴； 迁移创新 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于y轴对称的； (2)以原点O为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2，并写出点的坐标； (3)仅利用无刻度直尺在线段上找一点P，使得． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求，； (3)如图所示，点即为所求 ． 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点连线得到即可； （2）把A、B、C的坐标都乘以得到的坐标，然后描点连线即可； （3）如图先找到三点，得到，，， 进而，再延长与交于点，进而可得到． 【详解】略 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，是正三角形，正方形的顶点E，F在边上，顶点N在边上． (1)在正三角形三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大；（不写画法，但要保留画图痕迹） (2)若，求（1）中所画正方形的边长． 【答案】(1) 如图，正方形为所作； (2) 【分析】（1）连接交于点，再作于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，顺次连接，则四边形为所作； （2）设正方形的边长为x，利用等边三角形的性质、直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为x，则， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 即正方形的边长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 相似三角形 28.3-4 相似多边形和位似多边形 课标要点 1. 理解相似多边形、相似比定义，掌握相似多边形的性质与判定； 2. 理解位似多边形的概念，分清相似与位似的关系； 3. 掌握平面直角坐标系中原点位似图形的坐标变化规律； 4. 会利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 学习重难点 重点： 理解并掌握相似多边形、位似多边形的定义、性质、判定； 难点： 利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 知识点 相似多边形的辨析 1. 定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。两个相似多边形的对应边的比值叫作相似比。 2. 性质 相似多边形对应角相等，对应边成比例。 特别提醒 核心点：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例 随学随练 1. 下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 2. 命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 知识点 位似多边形 1. 基本性质 ①两个位似图形一定相似； ②所有对应顶点连线交于同一顶点O（位似中心）； ③对应边互相平行； 2. 位似与相似的关系 相似包含着位似，但相似不一定是位似。 3. 平面直角坐标系中的位似规律（以原点为位似中心） ①两图形在原点同侧，位似比k为正；两图形在原点异侧，位似比k为负； ②当|k|>1时，利用位似放大；当|k|<1时，利用位似缩小； ③坐标规律： 原图形上点的坐标（x，y），相似比为k⇒位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 4. 位似图形的画图步骤 ①普通位似图形 首先，连接位似中心和原图各顶点并延长作射线； 然后，在射线上按位似比截取对应顶点； 最后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 ②以坐标原点为位似中心的位似图形 首先，按位似比计算各新顶点的坐标； 然后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 随学随练 1. 下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 2．综合实践 (1)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (2)若（1）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 题型相似多边形的辨析 ▌例1下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 ▌对点练1. 如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ ▌对点练2. 下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） ▌对点练3. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 题型 相似多边形的性质与判定 ▌例1定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． ▌对点练1. 如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    ▌对点练2. 在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． ▌对点练3. 如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 题型 位似多边形的辨析 ▌例1下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ ▌对点练1. 下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练2. 下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练3. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 题型 位似图形的画图 ▌例1 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图）特别提醒 画图时一定要注意位似比2与1：2的区别。 以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； ▌对点练1. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)点为位似中心，在网格中画，使与的位似比为2（新图与原图的相似比为2）； (2)求的边上的高长． ▌对点练2. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将以点为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)使用无刻度的直尺作外接圆的圆心（无需写做法，但要保留清晰的作图痕迹）． ▌对点练3. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)以点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为2，并直接写出的顶点坐标． 题型 原点位似图形的坐标特征 ▌例1 如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1.在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． ▌对点练2.如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． ▌对点练3. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； (3)请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 题型6 相似、位似图形的计算与推理 ▌例1 【问题情境】 两张透明的菱形纸片，按如图1的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，对角线和重合，点是对角线的中点，，，，． 【操作探究】 如图2将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②请直接写出四边形的面积． ▌对点练1.如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． ▌对点练2. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为．    (1)请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． (2)若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． (3)连接 则与四边形的面积比为________． ▌对点练3. 综合与探究： 我们在现实生活中经常用到纸，它是一种长和宽的比是一个定值的矩形，该种类型的纸也被称为标准纸．如图1是一张A4纸（矩形），对折后展开，折痕分别交于点M，N，连接． 【操作判断】 (1)①四边形都是矩形，请你对四边形是矩形进行证明； ②已知矩形和矩形相似，则纸长和宽的比为________； 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是________； 基础通关 1．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 2．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 4．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 5．平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 7．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 8．如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 9．如图，将两张全等的纸和沿对角线所在的直线平移，当重叠部分的面积是纸面积的一半时，求的值． 10．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出的重心G，并写出重心G的坐标； (2)以原点O为位似中心，将按位似比将放大得到并画出其图形； (3)填空：的面积为_________． 素养提升 1．下列说法正确的是（   ） A．任意两个菱形都相似 B．对角线相等的四边形是矩形 C．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 2．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 3．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 4．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 6．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 7．如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是_______．（用a的代数式表示）． 8．如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）. 9．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 10．根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 迁移创新 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于y轴对称的； (2)以原点O为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2，并写出点的坐标； (3)仅利用无刻度直尺在线段上找一点P，使得． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，是正三角形，正方形的顶点E，F在边上，顶点N在边上． (1)在正三角形三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大；（不写画法，但要保留画图痕迹） (2)若，求（1）中所画正方形的边长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $