湖南常德市临澧县第一中学2026届高三下学期5月适应性考试数学试卷

临澧一中2026届高三数学适应性考试试卷（参考答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 C B A C D B A B ACD ABD ACD （答案不唯一） 2 15．（1）因为，所以，所以， 3分 因为，，，所以，所以，即； 6分 （2）因为，，所以， ，，， 8分 所以， 9分 又，所以， 10分 又，所以，所以，． 13分 16．（1）取的中点为，连接，，则平面为平面， 2分 因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 4分 又，，平面，平面， 所以平面，平面为平面， 6分 （2）在三棱柱中，，因为，所以， 在中，因为，所以，由（1）得，所以， 所以，所以，所以，，两两互相垂直， 9分 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系，则，，，， 10分 ，，， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 12分 ， 13分 设与平面所成角为，则， 14分 所以与平面所成角的正弦值为． 15分 17．（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则，，，， 则． 5分 （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布，则， 6分 ，， ，， 的分布列为： 10分 ，， 11分 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广． 15分 18．（1）抛物线的准线方程为，根据抛物线定义，，所以， 因此，的方程为，将代入抛物线方程：，又，故； 4分 （2）证明：①设，，则的重心为， 由题意知，，则， 所以直线的斜率为定值； 8分 ②因为直线的斜率不为零，所以设直线的方程为．设，， 联立，得，所以， 10分 设为的中点，则，， 即， 11分 直线与轴交点，，则中点， 12分 由于，所以，所以， 直线的斜率：， 直线：，得 令，代入方程，解得，因此，直线经过定点， 因为，于，所以在以为直径的定圆上． 17分 19．（1），则， 1分 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数． 所以的递增区间为，递减区间为； 4分 （2）证明：由，解得， 5分 又因为，则，所以切线为， 6分 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 可知在为增函数，在为减函数，故， 所以； 9分 （3）证明：由（1）可知， ①若，则， ，不合题意，所以， ②若，则， ③若，，又因为在为减函数，所以，所以． 综上所述，． 12分 又因为，由，所以， 即，即， 设，所以， ， 设，因为在单调递增，又因为，所以， 所以，即在为增函数， 又因为，所以，即． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2026届高三数学适应性考试试卷 时量：120分钟总分：150分 2026.05.15 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则（ ） A． B． C．2 D． 2．已知是等差数列的前项和，若，则的公差为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．随机变量的分布列为，．若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知，，在上的投影向量为，则（ ） A． B． C．0 D．1 6．某工厂的产量（单位：件）与资本投入（单位：万元）、劳动投入（单位：人）满足柯布—道格拉斯生产函数（其中，，为常数）．在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升，资本投入需增加，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ） （参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知为椭圆上的动点，，为圆上的两个动点，若的最大值为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．某校有学生3000人，其中男生1800人，女生1200人．为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生250人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（ ） A． B．样本中男生阅读时间的中位数低于40分钟 C．样本中阅读时间在40分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D．用样本估计总体，全校学生中阅读时间在60分钟以上的约有780人 10．已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A． B． C．是奇函数 D． 11．已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，若，则（ ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．写出一个同时满足下列性质①②③的函数_________． ①定义域为；②；③． 13．已知角终边经过点，则_________． 14．在梯形中，，，为上一点，，将沿所在直线翻折成（如图所示）．上一点满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求证：； （2）若，的面积为，求． 16．（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，，过点，的平面与直线垂直． （1）作出截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由； （2）已知，求与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． （1）求和的值； （2），为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 19．（本小题满分17分）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设在处的切线为，求证：． （3）当时，设，且满足，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $