专题 2：小数乘法（思维拓展）人教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 2：小数乘法 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：小数乘法算理与计算 3 考点二：积的近似数与估算 4 考点三：运算定律与简便计算 5 考点四：分段计费实际应用 6 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：积的小数位数点错 8 易错点 2：积末尾的 0 处理错误 8 易错点 3：近似数四舍五入错误 8 易错点 4：乘法分配律错用 8 易错点 5：分段计费分界点错误 8 第四部分 分层进阶专题精练 9 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 9 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 11 一、能力进阶篇解析 11 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版五年级上册第二单元《小数乘法》核心内容，以 “算理建构→计算进阶→简算优化→实践应用” 为主线，系统覆盖小数乘法算理与计算、积的近似数与估算、运算定律与简便计算、分段计费实际应用四大核心模块，渗透转化思想、估算思想、优化思想、建模思想等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从小数乘整数、小数乘小数的算理入手，掌握小数乘法的计算方法与积的小数位数规律；学会用四舍五入法求积的近似数，结合估算解决实际问题；理解整数乘法运算定律对小数同样适用，掌握简便计算技巧；延伸错中求解、近似数范围、分段逆推等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，为后续小数除法、小数四则混合运算奠定运算基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 小数乘法算理与计算 小数乘整数、小数乘小数；积的小数位数规律 转化整数法、位数对应法 小数位数点错；积末尾 0 处理不当 积的近似数与估算 四舍五入求近似数；估算判断够不够 四舍五入法、估算验证法 保留位数看错；估算脱离实际情境 运算定律与简便计算 乘法交换律、结合律、分配律推广；凑整巧算 凑整拆分法、提取公因数法 分配律错用；公因数构造错误 分段计费实际应用 出租车费、水费、电费等分段问题；反向计算用量 分段计算法、逆推还原法 分界点搞错；不足整量处理错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 转化整数法 小数乘法计算 ①小数转整数乘；②数因数小数位；③积点小数点 先按整数乘，再点小数点，几位小数点几位 四舍五入法 积的近似数 ①算准确积；②看下一位数；③四舍五入保留 保留看下位，满 5 就进 1 凑整拆分法 简便计算 ①拆数凑 25×4、125×8；②结合相乘；③算出结果 见 25 找 4，见 125 找 8，拆分凑整积不变 提取公因数法 分配律简算 ①构造相同因数；②提取公因数；③乘和差 变相同，提公因数，乘分配 分段计算法 分段计费问题 ①划分计费段；②各段算费用；③求和得总价 先分段，算各段，加起来，得总费 三、数学思维提升 1. 转化思维 核心要点：把小数乘法转化为整数乘法计算，利用积的变化规律还原结果，将新知转化为旧知解决，培养转化迁移能力。 专题示例：计算小数乘小数时，先按整数乘法算出积，再点小数点，就是转化思维的体现。 2. 估算思维 核心要点：结合实际情境对计算结果进行估算，判断结果的大致范围，解决够不够等实际问题，培养估算意识与数感。 专题示例：购物带钱问题，把单价估大判断钱够不够，就是估算思维的应用。 3. 简算优化思维 核心要点：运用运算定律对小数乘法进行简便计算，通过凑整、提取公因数等方法简化运算，培养优化意识与运算技巧。 专题示例：用乘法分配律计算复杂的小数混合运算，就是优化思维的典型应用。 4. 应用建模思维 核心要点：把分段计费等实际问题转化为数学模型，用小数乘法解决生活问题，培养建模能力与应用意识。 专题示例：出租车费、阶梯水费等问题，分段计算总费用，就是建模思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：小数乘法算理与计算 能力进阶（★★★）—— 积的小数位数对应 题目：已知，直接写出下面算式的积。 ① ② ③ 解题步骤： ① 第①题：第一个因数 1 位小数，第二个因数 1 位小数，一共 2 位小数，积从右往左数 2 位点小数点，得 35.28。 ② 第②题：第一个因数 3 位小数，第二个因数 0 位小数，一共 3 位小数，积从右往左数 3 位点小数点，得 3.528。 ③ 第③题：第一个因数 2 位小数，第二个因数 2 位小数，一共 4 位小数，积从右往左数 4 位点小数点，得 0.3528。 【答案】① 35.28；② 3.528；③ 0.3528 【知识点睛】本题考查小数乘法的算理与积的小数位数规律，对应教材核心知识点。 核心规律：小数乘法中，两个因数一共有几位小数，积就有几位小数。 算理本质：先把小数扩大成整数，按整数乘法算出积，再把积缩小到原来的几分之一，因数一共扩大多少倍，积就缩小多少倍。 易错警示：积的小数位数不够时，要在前面补 0，再点小数点。 思维拓展（★★★★）—— 错中求解（小数点看错） 题目：小马虎计算一道小数乘法时，把其中一个因数 2.5 看成了 25，结果得到的积比正确的积多了 13.5。正确的积是多少？ 解题步骤： ① 分析变化：一个因数从 2.5 变成 25，扩大了 10 倍，另一个因数不变，积也扩大 10 倍，比正确的积多了倍。 ② 正确的积 = 多出的量 ÷ 多的倍数，即。 ③ 验证：正确积 1.5，错误积 15，，符合题意。 【答案】正确的积是 1.5。 【知识点睛】本题是小数乘法错中求解的奥数题型，考查积的变化规律的深度应用。 解题核心：抓住不变的因数，根据因数的变化确定积的变化倍数，用差量 ÷ 倍数差得到正确的积。 方法总结：错看小数点，先算倍数差，差量除以倍数差，就是正确积。 易错警示：直接用 13.5 除以 10，忽略积比原来多了 9 倍不是 10 倍。 考点二：积的近似数与估算 能力进阶（★★★）—— 求积的近似数 题目：计算，得数保留两位小数。 解题步骤： ① 先计算准确积：。 ② 保留两位小数，看小数点后第三位，第三位是 8，满 5 向前进 1。 ③ 百分位 6+1=7，结果为 5.87。 【答案】5.87 【知识点睛】本题考查用四舍五入法求积的近似数，对应教材重难点。 解题要点：先算出完整的积，再根据保留的位数看下一位数字，满 5 进 1，不满 5 舍去。 注意事项：近似数末尾的 0 不能去掉，它代表精确度。 易错警示：保留两位小数只看第二位小数，不看第三位。 思维拓展（★★★★）—— 近似数的最值范围 题目：两个一位小数相乘，积保留一位小数是 10.2。这个积最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 求最大的积：近似数是四舍得到的，原数比近似数大，百分位上最大是 4，直接舍去，最大为 10.24。 ② 求最小的积：近似数是五入得到的，原数比近似数小，百分位上最小是 5，进 1 后得到 10.2，最小为 10.15。 ③ 验证：，，且都是两位小数，符合条件。 【答案】最大是 10.24，最小是 10.15。 【知识点睛】本题是近似数最值的奥数题型，考查四舍五入法的逆向应用。 解题规律：四舍得到的近似数，原数最大，末尾最大填 4；五入得到的近似数，原数最小，末尾最小填 5。 易错警示：认为最大是 10.25，忽略 10.25 保留一位小数是 10.3。 考点三：运算定律与简便计算 能力进阶（★★★）—— 乘法结合律凑整 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 拆分中间数：把 3.2 拆成，分别和 2.5、12.5 凑整。 ② 运用乘法结合律：。 ③ 计算结果：。 【答案】100 【知识点睛】本题考查乘法结合律在小数中的应用，对应教材简算重难点。 解题核心：见到 2.5 找 4，见到 12.5 找 8，把中间的数拆成两个数相乘的形式，分别凑整再相乘。 易错警示：把 3.2 拆成 3+0.2，用分配律计算，不如结合律简便。 思维拓展（★★★★）—— 构造公因数分配律 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 根据积不变规律构造公因数：一个因数缩小 10 倍，另一个因数扩大 10 倍，积不变。把转化为。 ② 提取公因数 7.8，运用乘法分配律：。 ③ 计算结果：。 【答案】78 【知识点睛】本题是乘法分配律的拓展奥数题型，考查积不变规律与分配律的综合应用。 解题方法：先根据积不变规律，把数字不同的因数转化成相同的公因数，再提取公因数进行简便计算。 技巧总结：小数点搬家，一个往左移一位，一个往右移一位，积不变，构造相同因数。 易错警示：转化时只变一个数，积发生变化，导致结果错误。 考点四：分段计费实际应用 能力进阶（★★★）—— 正向分段计费 题目：某市出租车收费标准：3 千米以内 8 元；超过 3 千米的部分，每千米 2.5 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。小明乘坐出租车行驶了 7.2 千米，应付车费多少元？ 解题步骤： ① 确定计费分段：7.2 千米不足 1 千米按 1 千米算，按 8 千米计费。 ② 计算超过 3 千米的部分：千米，超过部分费用：元。 ③ 总车费 = 起步价 + 超过部分费用，即元。 【答案】应付车费 20.5 元。 【知识点睛】本题考查分段计费的基础应用，对应教材解决问题重难点。 解题步骤：先算起步段费用，再算超出段费用，相加得到总费用；不足整千米用进一法取整。 易错警示：直接用 7.2 乘 2.5，忽略起步价；或者超过部分算成 7.2 千米。 思维拓展（★★★★）—— 反向分段计算 题目：居民阶梯水费标准：每月用水 10 吨以内（含 10 吨），每吨 2.5 元；超过 10 吨的部分，每吨 3.8 元。小明家本月缴水费 40.2 元，小明家本月用水多少吨？ 解题步骤： ① 先算 10 吨水的费用：元。 ② 总费用超过 25 元，说明用水超过 10 吨，超过部分费用：元。 ③ 超过部分吨数：吨；总用水量：吨。 验证：元，符合题意。 【答案】小明家本月用水 14 吨。 【知识点睛】本题是反向分段计费的奥数题型，考查逆推推理与分段计算的综合应用。 解题方法：先判断是否超过分界点，超过的话，用总费用减去起步段费用得到超出段费用，再除以超出段单价得到超出量，最后加起步量。 易错警示：直接用总费用除以高价，忽略起步段的低价。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：积的小数位数点错 错误示例：因数一共有两位小数，积的小数点只点一位。 正确分析：两个因数一共有几位小数，积就有几位小数，位数不够要在前面补 0。 修正方法：算完整数积后，数两个因数的小数位数之和，从积的右边往左数几位点小数点。 易错点 2：积末尾的 0 处理错误 错误示例：，认为小数部分有两个 0 就是两位小数，不去掉末尾的 0。 正确分析：小数末尾的 0 可以去掉，不改变大小，。 修正方法：点完小数点后，末尾的 0 要根据要求化简。 易错点 3：近似数四舍五入错误 错误示例：保留两位小数，只看第二位小数，不看第三位。 正确分析：保留几位小数，就看下一位上的数字，决定四舍还是五入。 修正方法：保留 n 位小数，只看第 n+1 位，和后面的数字无关。 易错点 4：乘法分配律错用 错误示例：，只乘第一个数。 正确分析：括号里的每个数都要和括号外的数相乘，再相加。 修正方法：分配律，乘分配，个个乘，再相加。 易错点 5：分段计费分界点错误 错误示例：3 千米以内 8 元，超过部分按 7.2 千米算，不进一。 正确分析：不足 1 千米按 1 千米算，要用进一法取整后再计算超过部分。 修正方法：先取整，再分段，分界点包含在起步段里。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 已知，直接写出（ ）。 2. 计算：（ ）。 3. 的积保留两位小数约是（ ）。 4. 用简便方法计算：。 5. 小区水费标准：5 吨以内 12 元，超过 5 吨的部分每吨 3 元。小明家用 8 吨水，应付水费（ ）元。 6. 在○里填 “＞”“＜” 或 “＝”：○。 7. 用简便方法计算：。 8. 一个因数扩大到原来的 10 倍，另一个因数缩小到原来的，积（ ）到原来的（ ）。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎计算一道小数乘法时，把其中一个因数 1.8 看成了 18，结果得到的积比正确的积多了 13.5。正确的积是多少？ 10. 两个两位小数相乘，积保留一位小数是 3.2。这个积最大是多少？最小是多少？ 11. 用简便方法计算：。 12. 停车场收费标准：1 小时内收费 5 元；超过 1 小时，每半小时收费 1.5 元（不足半小时按半小时算）。李叔叔停车 3.2 小时，应付停车费多少元？ 13. 计算： 14. 一根绳子对折 3 次后，每段长 0.45 米。这根绳子原来长多少米？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】0.504 解题步骤： ① 两个因数一共有 2+1=3 位小数； ② 积 504 从右往左数 3 位点小数点，得 0.504。 【知识点睛】考查积的小数位数规律。核心：因数小数位数之和等于积的小数位数。易错警示：点成 5.04。 2. 【答案】0.027 解题步骤： ① ，两个因数一共有 2+2=4 位小数； ② 从 270 右边往左数 4 位，补 0 点小数点，得 0.027。 【知识点睛】考查小数乘小数计算。核心：位数不够前面补 0。易错警示：算成 0.27。 3. 【答案】1.34 解题步骤： ① ； ② 保留两位小数看第三位，4 舍去，得 1.34。 【知识点睛】考查积的近似数。核心：四舍五入看后一位。易错警示：进 1 成 1.35。 4. 【答案】11 解题步骤： ① 把 8.8 拆成； ② 。 【知识点睛】考查乘法结合律简算。核心：1.25 凑 8。易错警示：拆成 8+0.8 也可，但结合律更直接。 5. 【答案】21 解题步骤： ① 超过部分：吨，费用元； ② 总费用：元。 【知识点睛】考查分段计费。核心：起步加超出。易错警示：直接 8×3。 6. 【答案】＜ 解题步骤： ① ； ② 。 【知识点睛】考查小数乘法积的规律。核心：一个数乘小于 1 的数，积比原数小。易错警示：认为大于 1。 7. 【答案】450 解题步骤： ① 提取公因数 4.5：； ② 。 【知识点睛】考查乘法分配律。核心：提取公因数凑整。易错警示：直接算 99 个 4.5 加 1 个。 8. 【答案】缩小； 解题步骤： ① 扩大 10 倍乘 10，缩小除以 100； ② 总体，即缩小到原来的。 【知识点睛】考查积的变化规律。核心：因数变化积同步变。易错警示：认为扩大 10 倍。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正确的积是 1.5。 解题步骤： ① 因数扩大 10 倍，积扩大 10 倍，多了 9 倍； ② 正确积：。 【知识点睛】考查错中求解。核心：差量 ÷ 倍数差 = 正确数。易错警示：除以 10。 10. 【答案】最大是 3.24，最小是 3.15。 解题步骤： ① 四舍最大，百分位 4，即 3.24； ② 五入最小，百分位 5，即 3.15。 【知识点睛】考查近似数最值。核心：四舍最大，五入最小。易错警示：最大写成 3.25。 11. 【答案】37 解题步骤： ① 转化； ② 提取公因数：。 【知识点睛】考查构造公因数简算。核心：积不变变相同因数。易错警示：转化时积变化。 12. 【答案】应付 12.5 元。 解题步骤： ① 3.2 小时按 3.5 小时算，超过 1 小时的部分是 2.5 小时，即 5 个半小时； ② 超过部分费用：元； ③ 总费用：元。 【知识点睛】考查分段计费进阶。核心：不足半小时按半小时算。易错警示：按 3 小时算。 13. 【答案】 解题步骤： ① ； ② 第一个因数 12 位小数，第二个因数 11 位小数，一共 23 位小数； ③ 100 占 3 位，前面补 20 个 0，得。 【知识点睛】考查小数乘法的位数拓展。核心：小数位数相加。易错警示：0 的个数算错。 14. 【答案】原来长 3.6 米。 解题步骤： ① 对折 3 次，一共分成段； ② 总长度：米。 【知识点睛】考查小数乘法的实际应用。核心：对折 n 次分 2ⁿ段。易错警示：算成 6 段。 1 学科网（北京）股份有限公司 $