4.1.2 平面的基本性质（二）（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦平面基本性质（二），核心知识点为公理3（两平面有公共点则有且只有一条公共直线）、相交平面与交线的概念、规范画法及符号表示。课堂导入通过硬纸板与桌面接触的演示，引导学生思考平面无限延展性，搭建从具体实物观察到抽象几何原理的学习支架。 其亮点在于以实物观察、图形分析提升直观想象与逻辑推理素养，如通过“硬纸板与桌面公共点”探究公理3，例2分步演示符号表示与作图。采用“找公共点→说明双重归属→确定交线”的步骤化总结，帮助学生规范表达空间关系。学生能提升空间观念与逻辑推理能力，教师可借助清晰流程与多样化练习优化教学。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.1.2 平面的基本性质（二） 学习目标 1．理解公理3，掌握相交平面、交线的概念及符号表示，能说出相交平面的规范画法。 2．能通过寻找两个平面的公共点确定交线，并完成基本的符号表示、判断、证明与空间作图任务。 3．经历实物观察、图形分析和理由说明，提升直观想象与逻辑推理素养，形成规范表达空间关系的意识。 硬纸板与桌面真的只有一个公共点吗？ 观察演示：将一块薄硬纸板平放在桌面上，再依次抬起一端、只让纸板一角支在桌面上。思考：纸板所在平面与桌面所在平面看起来只有一个公共点时，实际上是否只有这一个公共点？ 答案：不只一个公共点；继续延展后可以看到两个平面有一条公共直线。 解析：硬纸板和桌面只是平面的一部分，平面具有无限延展性，不能把有限实物的接触范围直接当作两个平面的全部公共点。 公理3：一个公共点带来一条公共直线 公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线。 ， ⇒ ， 一个公共点 → 一条经过该点的公共直线（存在且唯一） 相交平面、交线与符号表示 两个平面有公共点时，称这两个平面相交。 两个相交平面的公共直线，称为它们的交线。 平面α与平面β相交于直线l： 即时练习：公共点只有一个吗？ 判断：两个平面有一个公共点时，这两个平面只有这一个公共点。 答案：错误。 解析：由公理3，两个平面有一个公共点，就有且只有一条经过该点的公共直线，因此有无数个公共点。 相交平面的规范画法 一定要画出两个平面的交线。 平面被遮挡部分用虚线表示或不画。 交线明确、遮挡合理、空间关系清楚 例2（1）：点、直线与平面 例2（1）点A、B在直线l上，直线l在平面α内。试用符号语言表示，并画出相应图形。 答案：，。 解析：先画平面α，在其内画点A、B，连接A、B并延长，在直线上标出l。 例2（2）：两个平面相交 例2（2）平面α和平面β相交于直线l。试用符号语言表示，并画出相应图形。 答案：。 解析：先画交线l，再画两个相交平面；被遮挡部分改为虚线或不画。 画交线 → 补两个平面 → 处理遮挡部分 即时练习：公共部分能是线段吗？ 判断：两个平面可以只有一条公共线段。 答案：错误。 解析：如果两个平面有公共线段上的一个点，就由公理3得到一条完整的公共直线；公共部分不能只是一条有限线段。 由两个公共点确定交线 ① 找到两个同时属于这两个平面的不同公共点。 ② 分别说明每个点为什么属于两个平面。 ③ 由两点确定一条直线，写出两个平面的交线。 找公共点 → 说明双重归属 → 确定公共直线 即时练习：怎样写出交线？ 若，，，，且A、B为不同的点，则平面α与平面β的交线是什么？ 答案：。 解析：点A、B同时属于平面α与平面β，所以它们都在两个平面的交线上；两个不同的点确定一条直线，因此交线是直线AB。 知识检测：三条直线共面 已知直线与b平行，直线c与、b分别相交于点A、B。证明直线、b、c共面。 ① 因为，所以直线、b确定一个平面α。 ② A∈，B∈b，所以A、B都在平面α内。 ③ 直线c经过A、B，因此c在平面α内。 ④ 所以直线、b、c共面。 课堂背诵（一） 1．如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的____。 答案：公共直线。 解析：这是公理3的完整结论，关键词是“有且只有一条”和“经过该点”。 2．两个平面相交时，它们的公共直线称为两个平面的____。 答案：交线。 解析：交线是两个相交平面的公共直线。 课堂背诵（二） 3．画两个平面相交时，一定要画出它们的____，平面被遮挡部分用____表示或不画。 答案：交线；虚线。 解析：这是教材给出的相交平面规范画法。 交线接龙：先找公共点 任务：平面ABC与平面ABD的交线是什么？请说明理由。 点A同时属于平面ABC与平面ABD。 点B也同时属于这两个平面。 因此直线AB是两个平面的公共直线。 答案：。 解析：点A、B同时属于平面ABC和平面ABD，因此直线AB是两个平面的公共直线；由公理3，两个相交平面的公共直线唯一。 课堂练习（一） 1．判断：用三角板的一个顶点与桌面接触时，两个平面可以只有一个公共点。 答案：错误。 解析：两个平面有一个公共点时，就有一条经过该点的公共直线，所以一定有无数个公共点。 2．判断：若，，且，，那么。 答案：正确。 解析：A、B是两个平面的两个公共点，因此直线AB是两个平面的公共直线，也就是它们的交线。 课堂练习（二）：最多几条交线？ 3．三个平面两两相交时，最多有多少条交线？ α与β：1条交线 α与γ：1条交线 β与γ：1条交线 答案：3条。 解析：三个平面共有三对，每一对相交平面有一条交线，所以最多有3条交线。 课堂练习（三）：截切面先画哪些线？ 4．一位机械制造技术专业的学生有一个如图4-23所示的正方体零件ABCD-A1B1C1D1，点M、N分别为AA1、C1D1的中点，该同学想沿着经过D、M、N三点的平面对零件进行截切造型，为保证截切面准确经过指定的三点，需要在正方体零件相应表面上画线。该同学应该画出哪些线？ 答案：画线段DM、DN，并在前侧面画出截面与该面的交线。 截切面：由公共点补出前侧截线 ① D、M同在左侧面与截切面内，画DM。 ② D、N同在后侧面与截切面内，画DN。 ③ 延长已确定的截面交线，找前侧面的两个公共点并连接。 解析：每条截线都由截切面与零件表面的两个公共点确定。 课堂小结 1．公理3：两个平面有一个公共点，就有且只有一条经过该点的公共直线。 2．两个平面的公共直线叫作交线，记作。 3．作图时一定画出交线，被遮挡部分用虚线表示或不画。 4．确定交线：找两个公共点—说明双重归属—由两点确定直线。 公共点 → 公共直线 → 交线 → 规范作图 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $