4.1.2 平面的基本性质（二）（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦平面基本性质（二），核心为公理3及相交平面、交线的概念与作图。导入通过硬纸板与桌面接触变化，从有限实物到无限平面，引导学生探究公共点集合，衔接已学平面性质，搭建认知支架。 该资料以直观想象和逻辑推理为核心，通过硬纸板延展演示、交线接龙活动强化空间观念与推理意识。结合机械制造专业的正方体截面实例，用问题探究法提升应用能力。帮助学生规范空间表达，为教师提供分层练习与针对性反馈，高效突破重难点。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.1.2 平面的基本性质（二） 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材从硬纸板与桌面的位置变化切入，引导学生由一个公共点继续追问公共点的集合，继而给出公理3以及相交平面、交线的概念和符号表示，再通过画图提示、教材例题与空间模型练习形成“找公共点—确定交线—规范作图”的学习主线。 学生已有点、直线、平面的表示及平面基本性质的基础，本课进一步发展空间想象和逻辑推理能力，并为处理直线、平面的位置关系及截面问题奠定基础。 学情分析 学生能够借助生活物体感知两个面相交，也已会用字母表示点、直线和平面，但容易把有限纸板误作无限平面，或只凭图形直观判断交线。教学中需让学生反复说明一个点为什么同时属于两个平面，再用公理3确定交线；作图时还要关注遮挡线、延长线和空间关系的规范表达。 教学目标 1．理解公理3，掌握相交平面、交线的概念及符号表示，能说出相交平面的规范画法。 2．能通过寻找两个平面的公共点确定交线，并完成基本的符号表示、判断、证明与空间作图任务。 3．经历实物观察、图形分析和理由说明，提升直观想象与逻辑推理素养，形成规范表达空间关系的意识。 教学重难点 教学重点：公理3、相交平面与交线的概念，以及由公共点确定公共直线的方法。 教学难点：在空间图形和截面问题中寻找两个公共点，并说明点同时属于两个平面后确定交线。 教学方法 实物演示法、问题探究法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察演示：将一块薄硬纸板平放在桌面上，再依次抬起一端、只让纸板一角支在桌面上。思考：纸板所在平面与桌面所在平面看起来只有一个公共点时，实际上是否只有这一个公共点？ 学生根据平面的无限延展性作出猜想，教师继续向下延展纸板所在平面，追问这些公共点会组成怎样的图形。 【答案】 不只一个公共点；继续延展后可以看到两个平面有一条公共直线。 【解析】 硬纸板和桌面只是平面的一部分，平面具有无限延展性，不能把有限实物的接触范围直接当作两个平面的全部公共点。 教材图4-13 借助硬纸板与桌面的直观变化制造认知冲突，引导学生从有限接触现象转向无限平面的公共点研究。 新知讲授 一、公理3与交线 公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线。 此时，称两个平面相交，并把公共直线称为两个平面的交线。当平面α与平面β相交于直线l时，记作α∩β=l。 如图4-14所示，若，则存在唯一的直线，使得。 教材图4-14 【即时练习1】判断：两个平面有一个公共点时，这两个平面只有这一个公共点。 【答案】 错误。 【解析】 由公理3，两个平面有一个公共点，就有且只有一条经过该点的公共直线，因此有无数个公共点。 二、相交平面的画法 画两个平面相交时，一定要画出它们的交线，平面被遮挡部分用虚线表示或不画。 例2 试用符号语言表示下列语句，并画出相应的图形。 （1）点A、B在直线l上，直线l在平面α内； （2）平面α和平面β相交于直线l。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）先画平行四边形表示平面α，在其内画点A、B，连接A、B并延长，在直线上标出l。（2）先画线段AB表示交线l；过A画两条不同的相交线段，再过B画对应的平行且等长线段，连接对应端点得到两个相交平面，将被遮挡部分改为虚线或不画。 教材图4-15 教材图4-16、图4-17 【即时练习2】判断：两个平面可以只有一条公共线段。 【答案】 错误。 【解析】 如果两个平面有公共线段上的一个点，就由公理3得到一条完整的公共直线；公共部分不能只是一条有限线段。 三、由公共点确定交线 确定两个平面的交线时，可先找出两个同时属于这两个平面的不同公共点，再由两点确定一条直线。说明某点在交线上，必须说明该点同时属于两个平面。 【即时练习3】若，A∈β，，B∈β，且A、B为不同的点，则平面α与平面β的交线是什么？ 【答案】 。 【解析】 点A、B同时属于平面α与平面β，所以它们都在两个平面的交线上；两个不同的点确定一条直线，因此交线是直线AB。 【知识检测】已知直线与平行，直线与、分别相交于点A、B。证明直线、、共面。 【答案】 直线、、共面。 【解析】 因为∥，所以直线、确定一个平面，记为平面α。点A在直线上，点B在直线上，所以A、B都在平面α内。又直线经过A、B，由平面的基本性质可知在平面α内。因此直线、、共面。 按公理、概念、符号、画法和交线确定方法递进讲授，通过教材例题与即时练习形成完整的空间推理链条。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的____。 【答案】 公共直线。 【解析】 这是公理3的完整结论，关键词是“有且只有一条”和“经过该点”。 2．两个平面相交时，它们的公共直线称为两个平面的____。 【答案】 交线。 【解析】 交线是两个相交平面的公共直线。 3．画两个平面相交时，一定要画出它们的____，平面被遮挡部分用____表示或不画。 【答案】 交线；虚线。 【解析】 这是教材给出的相交平面规范画法。 利用关键词挖空和规范画法复述，检查学生对公理3、交线概念及作图要求的准确记忆。 师生互动 交线接龙活动：教师给出两个平面中的已知线段或延长线，学生依次回答“找到哪个公共点—该点为什么属于两个平面—还需找哪个公共点—怎样确定交线”。 任务：平面ABC与平面ABD的交线是什么？请说明理由。 【答案】 。 【解析】 点A、B同时属于平面ABC和平面ABD，因此直线AB是两个平面的公共直线；由公理3，两个相交平面的公共直线唯一。 教师归纳：确定交线时，先找两个不同的公共点；说明公共点时，要分别指出它属于哪两个平面；再由两点确定直线并写出交线。 通过公共点理由接龙和同伴补充，诊断学生能否把图形直观转化为逐步、规范的空间关系说明。 课堂练习 1．判断：用三角板的一个顶点与桌面接触时，两个平面可以只有一个公共点。 【答案】 错误。 【解析】 两个平面有一个公共点时，就有一条经过该点的公共直线，所以一定有无数个公共点。 2．判断：若，A∈β，且，B∈β，那么α∩β=AB。 【答案】 正确。 【解析】 A、B是两个平面的两个公共点，因此直线AB是两个平面的公共直线，也就是它们的交线。 3．三个平面两两相交时，最多有多少条交线？ 【答案】 3条。 【解析】 三个平面共有三对，每一对相交平面有一条交线，所以最多有3条交线。 4． 一位机械制造技术专业的学生有一个如图4-23所示的正方体零件ABCD-A1B1C1D1，点M、N分别为AA1、C1D1的中点，该同学想沿着经过D、M、N三点的平面对零件进行截切造型，为保证截切面准确经过指定的三点，需要在正方体零件相应表面上画线。该同学应该画出哪些线？ 【答案】 画线段DM、DN，并在前侧面画出截面与该面的交线。 【解析】 点D、M同在左侧面和截切面内，所以两平面的交线经过D、M，应画DM；点D、N同在后侧面和截切面内，所以应画DN。再延长已确定的截面交线寻找截切面与前侧面的两个公共点，连接这两个公共点即可得到前侧面的截线。 用判断、计数和截面作图任务分层检测公理运用、交线确定与空间作图能力，并集中反馈理由缺失问题。 课堂小结 学生回答：两个平面相交时，怎样从公共点确定交线？规范作图时应注意什么？ 【答案】 先找两个同时属于两个平面的不同公共点，再由两点确定交线；画相交平面时一定画出交线，被遮挡部分用虚线表示或不画。 【解析】 公理3保证两个有公共点的平面存在唯一公共直线；两个公共点可帮助确定这条直线。说明点在交线上时，要先说明它同时属于两个平面。 围绕公共点、交线和规范画法整理判断路径，使学生形成可复述并能迁移到空间作图中的方法结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中应进一步控制实物演示与概念讲解的时间，把更多机会留给学生完整说明公共点为什么同时属于两个平面。例2的相交平面画法步骤较多，可分步呈现并及时检查虚实线和交线是否准确。学生在截面题中可能只凭直观连线，后续应强化“找两个公共点—确定交线”的口头表达与板演。还需根据判断题和作图题的反馈调整练习梯度，对符号表示不规范、理由缺失和延长线位置不清等问题进行针对性纠正，使直观想象与逻辑推理更好衔接。 学科网（北京）股份有限公司 $