5.3 实系数一元二次方程的复数根与综合应用（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦实系数一元二次方程的复数根，涵盖判别式分类、虚根公式、共轭根关系及韦达定理。通过“x²+1=0在实数与复数范围解的差异”情境导入，衔接实数根知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以情境问题激发数学眼光，通过分类推导和逻辑推理培养数学思维，结合共轭根、韦达定理应用强化数学语言表达。例题含方程求解、已知根求系数及高次方程分解，小结结构化梳理知识。助力学生提升运算求解与推理素养，教师教学更具层次性和可操作性。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第5章 复数 5.3 实系数一元二次方程的复数根与综合应用 学习目标 1．理解实系数一元二次方程在复数集中的求根公式，掌握 Δ<0 时由配方得到虚根的表示。 2．能根据判别式选择求根公式，运用共轭关系和韦达定理求另一根、系数及简单高次方程的全部根。 3．通过分类判断、公式推导、因式分解和代入验证，提升运算求解、逻辑推理和数学抽象素养，形成检查根的完整规范。 情境与问题：从 到复数根 在实数范围内，方程 x²+1=0 无解；在复数范围内，因为 i²=(−i)²=−1，它有两个虚数解 x1,2=±i。 问题：一般实系数一元二次方程在复数集中如何求根？ 答案与归纳：判别式 Δ 决定根的类型；Δ<0 时在复数集中有一对共轭虚根。 判别式与复数根的三种情形 对于实系数一元二次方程 x²+x+=0，先计算判别式 Δ=²−4。 Δ>0 两个不相等的实数根 Δ=0 两个相等的实数根 Δ<0 在复数集中有两个虚数根 判别式把“求根”分成三条清晰路径。 Δ<0时的配方推导（一） 当 Δ<0 时，先把方程 化为： 再配方得： Δ<0时的配方推导（二）与虚根公式 又由， 因此，当时，实系数方程 俩复数根可表示为： 即时练习：在复数集中求解 即时练习：在复数集中求解 答案：， 解析：Δ=，代入 Δ<0 时的复数根公式，得 ±i。 共轭根与韦达定理 当 Δ<0 时，两个虚根是一对共轭复数，并满足 韦达定理在复数集 C 中仍然成立。 例1：在复数集中求解二次方程 例1　在复数集 C 中，求解方程 。 解：Δ=。 例2：已知一个复根求另一个根和系数 例2　已知实系数一元二次方程 的一个根是 ，求它的另一个根和 、。 解：另一个根为 。 由根与系数关系：，。 =-[]=-2，。 例3：四次方程综合求解 例3　在复数集中解方程 。 解：原方程可化为 。 由 得 ，； 由 得 ，。 所以原方程的根为 2i、-2i、2、-2。 温馨提示：复数范围统一求根公式 Δ≥0： Δ<0： 课堂辨析：实数范围无解是否等于复数范围无解？ 课堂辨析：实数范围无解是否等于复数范围无解？ 答案：不是；Δ<0时实数范围无解，但在复数集中有一对共轭虚根。 解析：复数集包含实数并引入 i，负数开平方可表示为 i 的倍数。 课堂背诵（一）：共轭根关系 1．Δ<0时实系数一元二次方程的两个根有什么关系？ 答案：两个根都是虚根，且互为共轭复数。 解析：由实系数方程的共轭根性质可知。 课堂背诵（二）：韦达定理与根式来源 2．复数范围内韦达定理如何表示？ 答案：，。 答案：因为 Δ=，所以 -Δ=，负数开平方通过 i 表示。 3．Δ<0时求根公式中的根式为什么写成 ？ 师生互动：比较三类求解路径 小组比较例1、例2、例3：一个从方程求根，一个由已知复根反推，另一个用因式分解求高次方程；说明共同使用的共轭关系、韦达定理或结构分解。 【答案】实系数方程的非实根成共轭对；根和为−、根积为，可分别求另一根及系数。 【解析】先判断根的类型，再选用共轭关系和根与系数关系，最后代回检查。 课堂练习（一）：虚根公式与一般二次方程 1．在复数集中解方程 。 【答案】 【解析】移项得x²=−2，因−2=2i²，所以x=± i。 【答案】 【解析】Δ=4−40=−36<0，代入公式得x=−1±3i。 2．在复数集中解方程 。 课堂练习（二）：已知复根与四次方程 3．已知 - 是方程 的一个根，求另一根及 、。 【答案】另一根为−2−2i，p=4，q=8。 【解析】实系数方程的非实根成共轭对，根和为−4、根积为8，故p=4、q=8。 【答案】x=1，−1，i，−i。 【解析】因式分解为(x²−1)(x²+1)=0，分别得x=±1和x=±i。 4．在复数集中解方程 。 课堂小结 1．判别式分类：Δ≥0时用实根公式；Δ<0时在复数集中有两个虚根。 2．虚根公式： ，两个根互为共轭复数。 3．根与系数关系： 4．综合求解：先按方程结构选择公式或因式分解，求出全部根后代入原方程检查 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $