5.3 实系数一元二次方程的复数根与综合应用（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦实系数一元二次方程的复数根与综合应用，从实数范围无解到复数范围有解的差异切入，回顾判别式和虚数单位旧知，构建复数运算到方程求解的知识支架。 资料以分类归纳法推导Δ<0时虚根公式，结合共轭根关系和韦达定理设计典型例题与梯度练习，体现逻辑推理和运算求解素养。通过问题探究与讲练结合，帮助学生形成完整解题框架，提升教师教学效率与学生应用能力。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第5章 复数 5.3 5.3 实系数一元二次方程的复数根与综合应用 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材先从²+在实数集无解、在复数集中有虚数解的情境提出问题，随后按判别式分类，通过配方推导Δ<0时实系数一元二次方程的复数根公式，再说明两个虚根互为共轭复数并验证韦达定理在复数集中仍成立；典型例题依次呈现二次方程求根、已知复根求另一根及系数、因式分解求简单高次方程，最后用温馨提示统一两种判别式情形。 本课承接虚数单位、复数代数形式及加减乘法运算，是复数章节中由复数运算进入方程求解的综合课时；本课形成的求根公式、共轭关系和根与系数关系，为后续复习与综合应用提供基础。 学情分析 学生已学习虚数单位、复数的代数形式以及复数加减乘法，能够进行配方和一元二次方程的实数范围求解，但容易混淆实数范围无解与复数范围有解，或在负数开平方、共轭符号、分式根式和全部根的检验中出现遗漏，需要通过判别式分类、规范推导和代入验证巩固。 教学目标 1．理解实系数一元二次方程在复数集中的求根公式，掌握Δ<0时由配方得到虚根的表示。 2．能根据判别式选择求根公式，运用共轭关系和韦达定理求另一根、系数及简单高次方程的全部根。 3．通过分类判断、公式推导、因式分解和代入验证，提升运算求解、逻辑推理和数学抽象素养，形成检查根的完整规范。 教学重难点 教学重点：Δ<0时复数根公式、共轭根关系、韦达定理及复数范围内的综合求解。 教学难点：正确处理负数开平方并整理根式、共轭形式，依据方程结构求出且验证全部根。 教学方法 问题探究法、分类归纳法、公式推导法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 在实数范围内，方程无解；在复数范围内，因为，它有两个虚数解。问题：一般实系数一元二次方程在复数集中如何求根？ 回顾实数范围一元二次方程的判别式与求根公式，判断不同Δ情形。 从²+在两个数域中的差异切入，激活判别式和虚数单位旧知，形成探究复数根公式的需要。 新知讲授 一、判别式与复数根的三种情形 对于实系数一元二次方程，当≥0时有实数解；当Δ<0时有虚数解。 二、Δ<0时复数根公式 当Δ<0时，配方得到。 即时练习：在复数集中求解。 【答案】。 【解析】Δ=16−20=−，代入Δ<0时的复数根公式，得=−2±i，因此两根为−和−2−i。 三、共轭根与韦达定理 当Δ<0时，两个虚根是一对共轭复数，并满足；韦达定理在复数集中仍成立。 四、典型例题 例1 在复数集中求解方程。 解：Δ=9−16=−7<0，故。 例2 已知方程的一个根是1+2i，求另一个根和m、n。 解：另一个根为1−2i；由韦达定理得=−2，。 例3 在复数集中解方程。 解：，故根为2i、−2i、2、−2。 五、统一求根公式 在复数集C内，Δ≥0时；Δ<0时。 课堂辨析：实数范围无解是否等于复数范围无解？为什么？ 【答案】不是；Δ<0时实数范围无解，但在复数集中有一对共轭虚根。 【解析】复数集包含实数并引入i，负数开平方可表示为i的倍数。 按判别式分类推导虚根公式，再以共轭关系和韦达定理串联三类例题，最后归纳复数范围统一求根路径并即时纠错。 课堂背诵 1．Δ<0时实系数一元二次方程的两个根有什么关系？ 【答案】两个根都是虚根，且互为共轭复数。 2．复数范围内韦达定理如何表示？ 【答案】 3．Δ<0时求根公式中的根式为什么写成√(4ac−²)？ 【答案】因为Δ=²−，所以−Δ=4ac−²>0，负数开平方通过i表示。 通过关系、公式和符号来源的复述，检查学生对共轭根、韦达关系及Δ<0适用条件的准确记忆。 师生互动 小组比较例1与例2：一个从方程求根，一个由已知复根反推另一根和系数；说明两题共同使用的共轭关系与韦达定理。 【答案】实系数方程的非实根成共轭对；根和为−、根积为，可分别求另一根及系数。 【解析】先判断根的类型，再选用共轭关系和根与系数关系，最后代回检查。 让学生在方法比较中辨识共轭关系与韦达定理的共同作用，形成先判别、再求解、后验证的完整路径。 课堂练习 1．在复数集中解方程。 【答案】。 【解析】移项得²=−2，因−²，所以=±√2 i。 2．在复数集中解方程。 【答案】₁=−，₂=−1−3i。 【解析】Δ=4−40=−，代入公式得=−1±3i。 3．已知−是方程²+的一个根，求另一根及、。 【答案】另一根为−2−2i，，。 【解析】实系数方程的非实根成共轭对，根和为−4、根积为8，故、。 4．在复数集中解方程⁴−。 【答案】，−1，i，−i。 【解析】因式分解为(²−1)(²+，分别得=±1和=±i。 设置虚根公式、一般二次方程、已知复根和高次方程四类梯度题，检查公式选择、共轭关系、因式分解及根的完整性。 课堂小结 1．判别式分类：≥0时用实根公式；Δ<0时在复数集中有两个虚根。 2．虚根公式：Δ<0时，，两个根互为共轭复数。 3．根与系数关系：。 4．综合求解：先按方程结构选择公式或因式分解，求出全部根后代入原方程检查。 分点回忆判别式、虚根公式、根与系数关系和综合求解步骤，帮助学生形成可复用的完整解题框架。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课可进一步优化从实数范围无解到复数范围有解的过渡，先让学生明确判别式分类，再通过配方逐步追踪负数开平方中i的引入。课堂中应给足根式、分式和共轭符号的规范书写时间，及时收集学生在系数正负、根的顺序和全部根检验上的错误。综合题讲解可增加结构识别提示，帮助学生在求根公式、共轭关系和因式分解之间作出合理选择，并据此动态调整讲练比例。 学科网（北京）股份有限公司 $