5.2.2 复数的乘法（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦复数乘法核心知识点，通过多项式乘法展开类比导入，搭建从旧知（多项式运算）到新知（复数乘法法则）的学习支架，承接复数代数形式及加减运算，为后续方程与综合运算奠定基础。 此资料以类比迁移与问题探究为特色，通过即时练习、典型例题及小组讨论（如比较逐项展开与共轭结构化简），培养运算求解和逻辑推理素养。讲练结合模式助力学生掌握i²=-1替换等规范步骤，提升运算能力，为教师提供清晰教学路径，高效落实教学重难点。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第5章 复数 5.2 复数的运算——5.2.2 复数的乘法 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材先由多项式乘法的展开提出复数能否进行类似运算的问题，随后定义两个复数的乘法并利用i²=-1化为的形式，继而给出乘法的交换律、结合律和分配律；典型例题呈现展开、替换和合并的规范步骤，再以共轭复数乘积说明结果为实数并等于模的平方，最后用三角形式作拓展认识。 本课承接复数的代数形式、虚数单位及加减运算，是复数代数运算的核心课时；乘法法则、运算律和共轭乘积为后续在复数集中研究方程与综合运算提供基础。 学情分析 学生已经接触复数的代数形式和加减运算，能够进行多项式展开，但容易遗漏i²=-1的替换、虚部符号或最后的整理；共轭符号和模平方的对应关系也需要通过算式对照加以巩固。 教学目标 1．理解复数乘法的定义，掌握展开后利用i²=-1化简并整理为的方法。 2．能运用乘法交换律、结合律、分配律完成复数运算，并利用共轭复数乘积求模平方。 3．通过类比、展开、化简和结果检验，提升数学抽象、运算求解和逻辑推理素养，形成规范书写习惯。 教学重难点 教学重点：复数乘法法则、i²=-1的化简、运算律及共轭复数乘积。 教学难点：展开各项后准确合并实部和虚部，并保持符号与幂次正确。 教学方法 类比迁移法、问题探究法、分步演示法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 多项式可以按分配律展开并合并同类项。例如，(3+4x)(−5+x)可逐项相乘。若z₁=+bi，z₂=c+di（），复数能否采用类似方法相乘？ 请学生回顾多项式展开的四项来源，预测复数乘积中含i²的项应如何处理。 从熟悉的多项式展开迁移到复数乘法，激活旧知并形成探究乘法法则的认知需要。 新知讲授 一、复数的乘法法则 类比多项式的乘法，定义： z₁z₂=²。 因为，所以， 。 两个复数的乘积仍然是一个复数。 即时练习：计算 。 【答案】。 二、复数乘法的运算律 对任意复数z₁、z₂、z₃，有 （1）（交换律）；（2）（结合律）；（3）（分配律）。 即时练习：判断 −i) 与 (2− 是否相等。 【答案】相等，体现乘法交换律。 三、典型例题 例2 计算：（1）−i)；（2）²。 解 （1）−−−3i²=； （2）²=²=2i。 四、共轭复数乘积与模平方 互为共轭复数的两个复数z与z̄的乘积是一个实数，这个实数是复数z的模的平方。 例3 设（，），求zz̄。 解 zz̄=−²−−²i²=²+²。 因为，所以。 课堂辨析：展开(1−时，虚部项是否会保留？ 【答案】不会，交叉项−相消，结果为5。 【解析】共轭因子相乘时虚部相消，利用i²=−1后得到实数。 依次呈现定义、i²替换、运算律、典型例题和共轭乘积，突出展开—替换—合并的规范步骤并即时反馈。 课堂背诵 1．复述复数乘法法则。 【答案】 若z₁=+bi，z₂=c+di，则。 2．复数乘法满足哪些运算律？ 【答案】交换律、结合律和对加法的分配律。 3．共轭复数乘积与模平方有什么关系？ 【答案】。 通过法则、运算律和共轭关系的复述与补全，检查学生能否准确记忆核心表述和适用条件。 师生互动 小组讨论：比较−i)的逐项展开与先观察共轭结构的计算，说明哪一步使用了i²=−1。 教材相关图示： 【答案】逐项展开得到4−−3i²，再用i²=−1化为；共轭结构可直接判断虚部交叉项相消。 【解析】两种方法都遵循同一乘法定义，前者突出通法，后者突出结构观察。 通过通法与结构化简的比较，引导学生解释每一步依据，形成可迁移的复数乘法计算路径。 课堂练习 1．计算 。 【答案】。 2．计算 。 【答案】。 3．计算 。 【答案】−4。 4．已知，求zz̄。 【答案】25。 用基础乘法、含i因子、幂运算和共轭乘积形成梯度练习，检查法则掌握并纠正符号与整理错误。 课堂小结 1. 复数乘法法则 按多项式乘法逐项相乘，并利用 (i²=−1) 化简，最后整理成 (+bi) 的形式。 2. 复数乘法运算律 复数乘法满足交换律、结合律和分配律。 3. 共轭复数的乘积 共轭复数的乘积是实数，且等于该复数模的平方。 沿着定义、规范步骤、运算律和共轭关系整理知识主线，强化可复用的计算与检验方法。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课可进一步优化多项式类比与复数乘法之间的过渡，让学生先明确四项展开的来源，再落实i²=-1的替换和实部、虚部整理。课堂练习应保留充分的独立书写时间，及时收集学生在负号、幂次和共轭符号上的典型错误。对于共轭乘积，可增加一步结果为实数的解释，帮助学生把形式计算与结构观察联系起来，并据此调整讲练比例。 学科网（北京）股份有限公司 $