5.2.1 复数的加法与减法（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦复数加法与减法运算，通过多项式同类项加减类比导入，引导学生猜想复数实部虚部分别运算的法则，承接复数代数形式和平面向量坐标运算知识，搭建学习支架实现知识迁移。 此资料以类比迁移与问题探究法为主，通过即时练习、课堂辨析强化减号与括号处理规范，结合向量几何意义建立代数与几何联系，提升数学抽象、直观想象和运算能力。如小组讨论比较代数计算与向量坐标结果，助学生理解双重表征，既培养学生规范运算习惯，又为教师提供清晰教学路径。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第5章 复数 5.2 复数的运算——5.2.1 复数的加法与减法 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材先由多项式的同类项加减运算提出复数能否进行类似运算的问题，随后以复数的代数形式定义加法与减法，明确和（差）的实部、虚部分别相加（减），并给出加法交换律和结合律；接着通过典型例题展示复数式的化简，最后联系平面向量坐标运算说明复数加减法的向量几何意义。 本课承接复数的代数形式、实部和虚部以及平面向量的坐标运算，是复数运算体系的起始课时；加减法则和向量对应关系为后续复数乘法及综合运算提供规范基础。 学情分析 学生已掌握多项式同类项合并和复数的代数形式，但容易在减法中漏写括号或误变虚部符号，也需要通过实部、虚部分离和向量坐标对应来巩固复数加减的双重表征。 教学目标 1．理解复数加法与减法的定义，掌握实部、虚部分别相加减的运算法则以及加法交换律、结合律。 2．能准确进行复数式的加减化简，并能说明复数加减法的向量几何意义。 3．通过类比、计算、坐标对应和条件辨析，提升数学抽象、运算求解和直观想象素养，形成规范处理减号的习惯。 教学重难点 教学重点：复数加减法则、实部虚部分别运算及其向量几何意义。 教学难点：准确处理减号和括号，并在代数式与平面向量之间进行对应。 教学方法 类比迁移法、问题探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 多项式可以进行加法、减法运算并按同类项合并。那么，复数z₁=与z₂=（，，，）是否也可以进行类似的加法、减法运算？ 请学生回顾多项式加减中实部项与含项分别合并的方法，猜想复数加减时应如何处理实部和虚部。 由熟悉的多项式同类项运算迁移到复数，激活已有经验并形成探究复数加减法则的认知需要。 新知讲授 一、复数的加法与减法 类比多项式加法，定义： 设z₁=+bi，z₂=c+di（），则；z₁−z₂=−−−d)i。 两个复数的和（差）仍然是一个复数，它的实部等于两个复数的实部相加（减），虚部等于两个复数的虚部相加（减）。 即时练习：计算。 【答案】。 【解析】实部相加得到2+1=3，虚部相加得到3−1=2。 二、加法的运算律 对任意复数z₁、z₂、z₃，有 （1）（交换律）；（2）（结合律）。 即时练习：判断是否成立。 【答案】成立，体现加法交换律。 【解析】交换两个加数后，实部和虚部的加法结果均不变。 三、向量几何意义 若z₁=，z₂=对应的向量坐标分别为(，)、(，d)，则向量的和、差坐标分别为，、(−，−d)，恰与复数和、差的实部和虚部对应。 因此，两个复数的和（差）所对应的向量就是它们各自所对应向量的和（差）。 教材图5-9展示复数对应向量的和与差： 即时练习：若z₁=，z₂=−，写出z₁+z₂对应向量的坐标。 【答案】对应向量坐标为(1，4)。 【解析】复数的实部、虚部分别对应向量的横坐标、纵坐标，因此(2，1)+(−1，3)=(1，4)。 例1 已知z₁=3i，z₂=1−i，z₃=−，计算z₁−z₂，z₁+z₂−z₃。 解 z₁−z₂=3i−(1−i)=−； z₁+z₂−z₃=−i)−(−−3i。 教师强调：减去一个复数时先写括号，再分别计算实部和虚部；含负号的虚部要连同括号一起处理。 课堂辨析：判断“−−”是否正确，并说明理由。 【答案】错误。应为。 【解析】减法中虚部也要相减，不能把减号改成加号。 按照定义、运算律、例题和向量意义的顺序组织新知，突出实部虚部分离及减号处理，并用辨析题即时检查理解。 课堂背诵 1．复述复数加法与减法的定义。 【答案】设z₁=+bi，z₂=c+di（）， 则； z₁−z₂=−−−d)i。 2．复数和（差）的实部、虚部分别怎样得到？ 【答案】实部相加（减），虚部相加（减）。 【解析】复数的实部和虚部分别进行相加或相减。 3．复数加减法的向量几何意义是什么？ 【答案】复数的和（差）所对应的向量就是各自对应向量的和（差）。 【解析】根据复数加减法的向量意义，复数和（差）对应向量的和（差）。 通过定义复述、规则提取和几何意义回忆，检查学生能否准确说出本课的核心表述与适用对象。 师生互动 小组讨论：设z₁=，z₂=−，先在复平面中标出对应点，再比较代数计算z₁+z₂与向量坐标相加的结果。 【答案】 代数计算得；对应向量坐标由(2，1)+(−1，3)=(1，4)得到，结果一致。 【解析】复数的实部、虚部正好对应向量的横、纵坐标，因此复数加法可用平行四边形法则作几何解释。 将教材图示、代数加法与平面向量坐标加法同步比较，促使学生在交流中建立两种表征的一致性并说明理由。 课堂练习 1．计算。 【答案】。 【解析】实部4+5=9，虚部3+7=10，故结果为9+10i。 2．计算。 【答案】。 【解析】先去括号，实部5−3=2，虚部0−2=−2。 3．计算。 【答案】。 【解析】分别合并实部和虚部：−3+2−1=−2，−4+1+5=2。 4．设，求̄，z−z̄。 【答案】，。 【解析】由共轭复数实部相同、虚部相反，分别相加与相减即可得到结论。 用基础计算、含括号减法和共轭复数运算形成梯度练习，检查法则掌握并及时纠正符号与括号错误。 课堂小结 1．复数的加法和减法，实部与实部对应运算，虚部与虚部对应运算，最后整理成的形式。 2．进行减法时，应先给被减复数加括号，再去括号并合并同类项，特别注意虚部前的符号变化。 3．复数的加法具有交换律和结合律，因此多个复数相加时可以适当调整运算顺序。 4．在复平面中，复数可以看作从原点出发的向量；复数相加、相减，分别对应向量的相加、相减，代数运算结果与向量坐标运算结果一致。 5．解决复数加减题时，可按“去括号—分离实部和虚部—分别计算—规范整理”的顺序进行。 沿着定义、运算律、例题和向量意义整理知识主线，强化规范计算步骤与代数几何互译方法。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课可进一步优化多项式类比与复数运算之间的过渡，避免学生只记住形式而忽略实部、虚部分离的依据。课堂中应增加对“减去一个复数”括号处理的即时反馈，并让学生先独立用坐标向量验证一道加法题，再组织交流说明两种方法为何一致。后续可根据错题类型调整基础计算与几何解释的比例，使运算规范和直观理解同步巩固。 学科网（北京）股份有限公司 $