5.1.2 复平面、模与共轭复数（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦复数的复平面表示、模与共轭复数，通过数系扩充引入，以“复数能否用平面上的点表示？”问题衔接实数数轴表示，搭建从代数形式到几何意义的学习支架。 其亮点是结合即时训练（如求3-4i的模）、例题探究（如模条件轨迹），发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养。课堂小结系统梳理四大核心内容，助力学生规范几何表达，教师可借助结构化资源提升教学效率。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第5章 复数 5.1.2 复平面、模与共轭复数 学习目标 1．理解复数与复平面内点、向量的一一对应，掌握实轴、虚轴、复数的模和共轭复数的概念。 2．能在代数形式、点坐标和向量之间准确互化，求复数的模与共轭复数，并判断模条件对应的点的轨迹。 3．通过描点、比较和对称观察，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养，形成规范的几何表达。 第5章 复数：数系扩充的新一步 数系随着解方程的需要不断扩充。 本章将在实数系基础上引入复数，认识其表示、运算与几何意义。 本课从代数形式走向复平面，建立点、向量与复数的统一表征。 复数能否用平面上的点表示？ 任意实数可以用数轴上的点表示，那么复数能否用平面上的点表示？请结合复数的实部和虚部说明。 答案：由复数相等的定义，复数与有序实数对一一对应，有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应。 解析：由复数与有序实数对、平面点的一一对应关系得到。 复数的几何意义：点与向量 复数 与点 (，) 一一对应。 横轴为实轴，纵轴（除原点）为虚轴；点与向量也一一对应。 复数 既可表示为点 (，)，也可表示为从原点出发的向量。 即时训练：指出对应点坐标 即时训练：指出复数3−在复平面内对应点的坐标 答案：(3，−1)。 解析：由复数与点的一一对应关系直接确定。 复数的模及距离意义 复数 的模是向量 的长度： 。 几何意义：|| 等于对应点 到原点 的距离。 当 时。 即时训练：求复数的模 即时训练：求复数3−4i的模。 答案： 解析：按模的定义计算，模等于对应点到原点的距离。 共轭复数与实轴对称 若 则共轭复数 ̄=−bi。 共轭复数实部相同、虚部互为相反数，对应点关于实轴对称，且模相等。 复数对应点的轨迹 模等于常数：对应点在以原点为圆心的圆上。 模的不等式：对应点落在圆内、圆外或圆环。 先把模条件解释为距离条件，再根据等号或不等号判断轨迹。 即时训练：写出共轭复数 即时训练：写出2−5i的共轭复数，并说明两对应点关系。 答案：共轭复数为；两点关于实轴对称。 解析：共轭复数实部相同、虚部互为相反数，对应点关于实轴对称。 即时训练：模条件对应的图形 即时训练：指出满足的点的集合图形。 答案：以原点为圆心、半径2和3所围成的圆环。 解析：将模条件解释为距离条件，即可得到圆环轨迹。 例3：复数、点和向量的互化 例3 在复平面内，画出表示复数3−、4、2i的点和向量。 【答案】 3−i对应点A(3，−1)，向量为；4对应点B(4，0)，向量为；2i对应点C(0，2)，向量为。 【解析】 复数z=+bi对应点Z(，b)，从原点指向该点的向量就是它的向量表示。 例4：共轭复数的点、向量和模 例4 已知复数z₁=4+3i，z₂=4−3i；求对应点、向量和模，并比较模的大小。 【答案】 z₁、z₂对应点分别为Z₁(4，3)、Z₂(4，−3)，向量分别为OZ₁和OZ₂；z1=z2=5。 【解析】 由模的定义，z₁==5，z₂==5；两点关于实轴对称。 课堂背诵（一） 1．复数与复平面上的点、向量分别是什么关系？ 答案：复数与复平面上的点一一对应，也可以用以原点为起点的向量表示。 解析：由复数相等定义及点、向量的一一对应关系可得。 例5：模条件与点集轨迹 例5探究：条件与分别对应什么图形？ 答案：前者是以原点为圆心、3为半径的圆；后者是以原点为圆心、半径2和3所围成的圆环。 解析：模表示对应点到原点的距离；等号给出圆周，双侧不等式给出两个圆之间的圆环区域。 教师归纳：先把模条件解释为距离条件，再根据等号或不等号判断圆、圆内或圆外。 课堂背诵（二） 2．复数的模和共轭复数的图形关系是什么？ 答案：复数的模是对应点到原点的距离；共轭复数的模相等，对应点关于实轴对称。 解析：模由向量长度定义，共轭复数实部相同、虚部相反，所以对应点关于实轴对称。 师生互动：对称关系 例4后想一想：点₁和₂有什么位置关系？ 答案：两点关于实轴对称。 解析：₁=与₂=4−3i的实部相等、虚部互为相反数，因此对应点关于实轴对称。 师生互动：轨迹判断 例5探究：条件与分别对应什么图形？ 答案：前者是以原点为圆心、3为半径的圆；后者是以原点为圆心、半径2和3所围成的圆环。 解析：模表示对应点到原点的距离；等号给出圆周，双侧不等式给出两个圆之间的圆环区域。 教师归纳：先把模条件解释为距离条件，再根据等号或不等号判断圆、圆内或圆外。 课堂练习（一） 1．在复平面内画出表示下列复数的点和向量：3−、4、2i。 答案：3−对应(3，−1)，4对应(4，0)，2i对应(0，2)，向量分别为、、。 解析：复数对应点(，)，从原点指向该点的向量就是它的向量表示。 课堂练习（二） 2．求复数的模。 答案： 解析：由模的定义，模等于实部平方与虚部平方和的平方根，因此结果为5。 课堂小结 1．复数的几何意义：复数与复平面上的点一一对应，也可以用以原点为起点的向量表示。 2．复数的模：向量的长度称为复数z=+bi的模，模等于对应点到原点的距离。 3．共轭复数：实部相等、虚部互为相反数；对应点关于实轴对称，模相等。 4．复数点的轨迹：模等式对应圆，模不等式对应圆的内部、外部或圆环。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $