5.1.2 复平面、模与共轭复数（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦复平面、模与共轭复数核心知识点，通过实数数轴表示迁移，激活复数实部虚部旧知，建立复数与有序实数对、平面点的联系，搭建从已知到未知的学习支架。 此资料以问题探究、动态描点等方法为特色，通过复数与点、向量的对应培养几何直观，模的距离意义和共轭复数对称关系发展数学抽象与逻辑推理，即时训练与分层练习结合，助力学生规范表达，提升教师教学反馈效率。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第五章 复数 5.1.2 复平面、模与共轭复数 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材先由复数与有序实数对、平面直角坐标系点的一一对应引出复平面，再依次建立实轴、虚轴、点与向量的表示，随后给出复数的模及其距离意义，并通过关于实轴对称的点引出共轭复数，最后用模的不等式说明复数对应点的轨迹。 本课承接5.1.1中复数的代数形式、实部和虚部，为后续复数运算及综合应用提供几何表征和规范工具。 学情分析 学生已能用表示复数并区分实部、虚部，但对复数、对应点和向量的三种表征尚不稳定，容易混淆复数本身与复数的模，也需要通过对称图形和轨迹条件加强规范表达。 教学目标 1．理解复数与复平面内点、向量的一一对应，掌握实轴、虚轴、复数的模和共轭复数的概念。 2．能在代数形式、点坐标和向量之间准确互化，求复数的模与共轭复数，并判断模条件对应的点的轨迹。 3．通过描点、比较和对称观察，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养，形成规范的几何表达。 教学重难点 教学重点：复数的几何意义、模的距离意义、共轭复数及其对称关系。 教学难点：在代数形式、点坐标和向量之间准确互化，并由模条件识别点的轨迹。 教学方法 问题探究法、动态描点法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 任意实数可以用数轴上的点表示，那么复数能否用平面上的点表示？请结合复数的实部和虚部说明。 由复数相等的定义，复数与有序实数对一一对应，有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应。 从实数的数轴表示迁移到复数的平面表示，激活实部、虚部知识并形成学习复平面的需要。 新知讲授 一、复数的几何意义 教材图5-2：复数z=+bi与点Z(，b)的对应关系。 由复数相等的定义，复数与有序实数对之间是一一对应的；有序实数对与平面直角坐标系中的点也是一一对应的。因此，复数集里的复数与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。 图中横轴是轴，表示实部，称为实轴；纵轴是轴（除去原点），表示虚部，称为虚轴。实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数。 教材图5-3：点Z(，b)与向量的对应关系。 由于复数与点一一对应，点与向量也一一对应。因此，复数z=+bi既可以用点Z(，b)表示，也可以用向量表示，这就是复数的几何意义。 即时训练：指出复数在复平面内对应点的坐标 【答案】 【解析】 由复数与点、向量的一一对应关系直接确定。 二、复数的模 一般地，向量的长度称为复数z=+bi的模，记作或，即，其中。显然，复数的模就是它在复平面中所对应的点到原点的距离。如果b=0，那么复数z=+bi是一个实数，它的模等于实数的绝对值||。 即时训练：求复数的模。 【答案】 【解析】 按模的定义计算，模等于对应点到原点的距离。 三、共轭复数 一般地，如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数互为共轭复数。复数z的共轭复数用表示，即如果z=+bi，那么。由例4可知，两个共轭复数z和z̄的模相等，表示两个共轭复数z和z̄的点关于实轴对称。特别地，实数的共轭复数是本身。 即时训练：写出的共轭复数，并说明两对应点关系。 【答案】 共轭复数为；两点关于实轴对称。 【解析】 共轭复数实部相同、虚部互为相反数，对应点关于实轴对称。 四、复数对应点的轨迹 当模等于常数时，对应点在以原点为圆心的圆上；模的不等式可转化为圆的内部、外部或圆环。 即时训练：指出满足2≤≤3的点的集合图形。 【答案】 答案见题目对应的定义与图形关系。 【解析】 将模条件解释为距离条件，即可得到圆环轨迹。 以原点为圆心、半径2和3所围成的圆环。 例3 在复平面内，画出表示复数3−i、4、2i的点和向量。 【答案】 3−i对应点A(3，−1)，向量为；4对应点B(4，0)，向量为；2i对应点C(0，2)，向量为。 【解析】 复数z=+bi对应点Z(，b)，从原点指向该点的向量就是它的向量表示。 例4 已知复数z₁=4+3i，z₂=4−3i；求对应点、向量和模，并比较模的大小。 【答案】 z₁、z₂对应点分别为Z₁(4，3)、Z₂(4，−3)，向量分别为和；。 【解析】 由模的定义，，；两点关于实轴对称。 例5 设复数z在复平面内对应的点为Z，讨论|z|=3与2≤|z|≤3的点集图形。 【答案】 时，点Z的集合是以原点O为圆心、3为半径的圆；时，点Z的集合是以原点O为圆心、半径2和3所围成的圆环。 【解析】 表示点Z到原点O的距离。距离等于3得到圆周；距离在2与3之间并包含边界，得到两圆之间的圆环。 教材图5-7：例5中圆环轨迹。 先呈现教材图、图建立坐标轴和向量背景，再逐点讲授模、共轭与轨迹；每个知识点后紧跟即时训练，并补入例3—例5图示。 课堂背诵 1．复数与复平面上的点、向量分别是什么关系？ 【答案】 复数与复平面上的点一一对应，也可以用以原点为起点的向量表示。 【解析】 由复数相等定义及点、向量的一一对应关系可得。 2．复数的模和共轭复数的图形关系是什么？ 【答案】 复数的模是对应点到原点的距离；共轭复数的模相等，对应点关于实轴对称。 【解析】 模由向量长度定义，共轭复数实部相同、虚部相反，所以对应点关于实轴对称。 通过两道定向复述题提取本课核心定义和几何关系，及时纠正把复数与模混为一谈的表述。 师生互动 例4后想一想：点Z₁和Z₂有什么位置关系？ 【答案】 两点关于实轴对称。 【解析】 ₁与₂的实部相等、虚部互为相反数，因此对应点关于实轴对称。 例5探究：条件=3与2≤≤3分别对应什么图形？ 【答案】 前者是以原点为圆心、3为半径的圆；后者是以原点为圆心、半径2和3所围成的圆环。 【解析】 模表示对应点到原点的距离；等号给出圆周，双侧不等式给出两个圆之间的圆环区域。 教师归纳：先把模条件解释为距离条件，再根据等号或不等号判断圆、圆内或圆外。 围绕教材例4和例5组织对称关系、距离条件与轨迹判断，要求学生先作图再用定义说明理由。 课堂练习 1．在复平面内画出表示下列复数的点和向量：、4、。 【答案】 3−i对应A(3，−1)，4对应B(4，0)，2i对应C(0，2)，向量分别为、、。 【解析】 复数对应点(，)，从原点指向该点的向量就是它的向量表示。 2．求复数的模。 【答案】 【解析】 由模的定义，模等于实部平方与虚部平方和的平方根，因此结果为5。 3．写出复数的共轭复数，并说明对应点的位置关系。 【答案】 共轭复数为；两点关于实轴对称。 【解析】 共轭复数保持实部不变、使虚部变为相反数，所以对应点关于实轴对称。 4．指出满足的点的集合图形。 【答案】 以原点为圆心、2为半径的圆。 【解析】 是对应点到原点的距离，距离恒为2的点组成该圆。 5．设复数z在复平面内对应点Z，说明条件对应的图形。 【答案】 以原点为圆心、半径2和3所围成的圆环。 【解析】 对应点到原点的距离介于2和3之间，因此位于两圆之间并包含边界。 以五道独立课堂练习综合检查描点、求模、求共轭及轨迹判断，课堂即时训练与独立练习分开，便于分层反馈。 课堂小结 1．复数的几何意义：复数与复平面上的点一一对应，也可以用以原点为起点的向量表示。 2．复数的模：向量的长度称为复数z=+bi的模，模等于对应点到原点的距离。 3．共轭复数：实部相等、虚部互为相反数；对应点关于实轴对称，模相等。 4．复数点的轨迹：模等式对应圆，模不等式对应圆的内部、外部或圆环。 按复数几何意义、模、共轭复数和轨迹四个知识点分点总结，帮助学生形成清晰的知识结构和迁移路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课需要继续优化点、向量和复数三种表征之间的切换节奏，尤其关注学生由代数式读出坐标、由模条件判断轨迹时的理由表达。后续可增加一组逐步变化的描点任务，让学生先独立判断再用图形验证；对共轭复数则通过实部不变、虚部变号的对照表减少记忆负担，并根据课堂练习的错误类型调整讲练比例和反馈方式。 学科网（北京）股份有限公司 $