5.1.1 虚数单位、复数及其分类（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学教案聚焦“虚数单位、复数及其分类”核心知识点，通过回顾数系从自然数到实数的扩充历程，以方程x²=-1在实数范围内无解为问题背景引入虚数单位i，搭建实数系到复数系的认知支架，衔接前后知识脉络。 此教案以问题探究法为主线，结合即时练习辨析虚部（如-4+3i虚部为3）、集合关系图梳理复数分类，培养数学抽象与逻辑推理素养。通过例2用复数相等条件建立方程组求参数，落实数学运算能力，帮助学生准确理解概念，教师可通过易错点设计有效突破教学难点。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第5章 复数 5.1.1 虚数单位、复数及其分类 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材从数系随解方程需要不断扩充的过程入手，以一元二次方程在实数范围内无解为问题背景，引入满足平方等于-1的虚数单位，随后建立复数的代数形式，依次说明实部、虚部、复数分类和复数集，并通过集合关系图、例题和课内练习落实概念辨析；在此基础上给出复数相等的条件，并将其用于求实数参数。 本课承接实数和一元二次方程等知识，完成从实数系到复数系的首次扩充，是第5章学习的概念基础，也为后续用平面上的点和向量表示复数、研究复数运算以及在复数范围内求解实系数一元二次方程奠定基础。 学情分析 学生已经认识自然数、整数、有理数和实数的扩充过程，能够求一元一次方程的解并判断简单一元二次方程在实数范围内是否有解。初学复数时，学生容易把虚部误写成含虚数单位的项，也容易只看实部是否为0来判断纯虚数，或忽略复数相等要求实部与虚部分别相等。教学中应借助方程问题、集合关系图、分类对照和参数练习，使学生在比较与纠错中形成规范表达。 教学目标 1．理解虚数单位、复数的代数形式、实部与虚部，掌握实数、虚数、纯虚数的分类条件和复数相等的条件。 2．能根据复数的实部与虚部完成分类，能运用复数相等的条件建立实数方程组并求解参数。 3．通过数系扩充、集合关系观察、条件比较和规范运算，体会数学概念形成的必要性，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算素养。 教学重难点 教学重点：虚数单位、复数的代数形式、实部与虚部、复数分类及复数相等的条件。 教学难点：准确理解虚部是实数而不是bi，并依据、是否为0判断复数类别，运用实部与虚部分别相等求参数。 教学方法 问题探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 回顾数系的扩充：为了使某些原来无解的方程有解，人们先后引入负数和分数，并逐步形成实数系。 依照引入负数，使方程有解的方法，是否可以引入一个数使方程有解呢？ 学生观察并思考：在实数范围内，一个实数的平方不可能等于-1，因此需要扩充现有数系。 【答案】 可以引入一个平方等于-1的新数，使方程有解。 【解析】 若新数的平方等于-1，把它代入方程，左边等于0。这个新数不在实数集中，所以需要在实数系的基础上继续扩充数系。 教师归纳：本课从方程求解的需要出发，引入虚数单位，进而认识复数、复数的分类以及复数相等的条件。 借助章首背景和实数范围内无解的方程制造认知需要，引导学生理解引入虚数单位的必要性。 新知讲授 一、虚数单位与复数的概念 读一读：i是瑞士数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary（想象的，假设的）一词的首字母。 假设有一个数是方程的解，那么这个数的平方应该等于-1。这个数不在实数集内。为此，人们引入了一个新的数，记作，称为虚数单位，满足。 既然是一个数，那么它与实数就可以进行运算。实数与的乘积写成，实数与的和写成。把形如的数称为复数，其中称为复数的实部，称为复数的虚部。 辨析：复数的虚部是实数，不是bi；写实部和虚部时，要先把复数整理为的形式。 【即时练习1】指出复数-的实部和虚部。 【答案】 实部是-4，虚部是3。 【解析】 复数已经写成的形式，对应，，所以虚部是3而不是3i。 【即时练习2】把整理为复数的代数形式，并指出实部和虚部。 【答案】 复数为，实部是3，虚部是2。 【解析】 由，原式等于。 二、复数的分类与集合关系 当时，复数就是实数；当时，复数称为虚数；当时，复数称为纯虚数。 复数通常用小写英文字母、等来表示。全体复数构成的集合称为复数集，用表示，即。 观察图，说明复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系。 教材图5-1 例1　指出下列复数的实部和虚部，并判断这些复数是实数还是虚数。若是虚数，判断其是否为纯虚数。 （1）；（2）；（3）。 【答案】 （1）实部是2，虚部是0，是实数；（2）实部是3，虚部是-1，是虚数，不是纯虚数；（3）实部是0，虚部是5，是虚数，而且是纯虚数。 【解析】 先把每个数写成的形式，再读出和；当时是实数，当不等于0时是虚数，当且不等于0时才是纯虚数。 【即时练习3】判断0是实数、虚数还是纯虚数。 【答案】 0是实数，不是虚数，也不是纯虚数。 【解析】 0可写成，此时虚部为0，符合实数的条件；纯虚数要求虚部不为0。 【即时练习4】复数属于哪一类？ 【答案】 它是虚数，也是纯虚数。 【解析】 它的实部为0、虚部为-7，虚部不为0，符合纯虚数的两个条件。 三、复数相等的条件 如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就称这两个复数相等。即，如果都是实数，那么。 特别地，。 温馨提示：从两个复数相等的定义可知，复数与有序实数对(，)之间是一一对应的。 例2　求满足下列条件的实数和。 （1）； （2）。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）根据实部与虚部分别相等，得到，解得。 （2）复数等于0时，实部与虚部都等于0，因此，解得。 【即时练习5】若，求实数、。 【答案】 。 【解析】 由复数相等，得到，分别解得。 【即时练习6】判断：两个复数的实部相等，这两个复数就相等。 【答案】 错误。 【解析】 两个复数相等要求实部相等且虚部也相等，两个条件缺一不可。 依照虚数单位、复数概念、分类条件和相等条件的依赖顺序展开，通过教材例题与即时辨析突破易错点。 课堂背诵 完成挖空并准确复述。 1．把形如的数称为复数，其中称为复数的____，称为复数的____。 【答案】 实部；虚部。 【解析】 虚部是实数，不是含虚数单位的项bi。 2．复数是实数的条件是____；是虚数的条件是____；是纯虚数的条件是____。 【答案】 ；不等于0；且不等于0。 【解析】 判断纯虚数必须同时核对实部为0和虚部不为0。 3．两个复数相等，当且仅当它们的____与____分别相等。 【答案】 实部；虚部。 【解析】 复数相等可以转化为两个实数等式。 用关键词挖空集中检查概念、分类条件和相等条件的准确记忆，及时纠正虚部与纯虚数的常见误解。 师生互动 同桌合作完成分类对照，并说明判断依据。 （1）；（2）；（3）；（4）。 学生先将各数整理为的形式，再依次核对虚部是否为0、实部是否为0。 【答案】 （1）虚数但不是纯虚数；（2）纯虚数；（3），是实数；（4）是实数。 【解析】 分类前应先化为的形式。虚部为0时是实数；虚部不为0时是虚数；实部为0且虚部不为0时才是纯虚数。 教师归纳：判断复数类别不能只看是否出现字母i，应先化简，再检查、两个实数条件。 通过合作分类、理由说明和易错对象纠正，诊断学生是否真正掌握先化简、再核对两个条件的判断路径。 课堂练习 1．写出复数的实部和虚部。 【答案】 实部是-2，虚部是。 【解析】 复数已经写成的形式，直接读取和即可；虚部不含虚数单位i。 2．判断下列各数是实数、虚数还是纯虚数：，，。 【答案】 依次为实数、纯虚数、实数。 【解析】 由，第一个数为-1，第三个数为8；第二个数实部为0，虚部不为0。 3．求满足的实数、。 【答案】 。 【解析】 复数等于0时，实部和虚部都等于0。因此，解得。 4．求满足的实数、。 【答案】 。 【解析】 把看作，由复数相等得到，解得。 5．求为何实数时，复数是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。 【答案】 （1）；（2）；（3）不存在满足条件的实数。 【解析】 实数要求虚部为0，即；虚数要求虚部不为0；纯虚数还要求实部，但此时虚部也为0，因此不存在满足条件的实数。 用教材练习中的读数、化简分类、复数相等和参数分类组成梯度检测，检查学生对核心条件的综合运用。 课堂小结 围绕三个问题概括本课：为什么要引入虚数单位？怎样判断复数的类别？两个复数相等时怎样求参数？ 【答案】 为解决方程在实数范围内无解的问题，引入满足的虚数单位。复数写成后，根据、是否为0判断类别；两个复数相等时，把问题转化为实部与虚部分别相等。 【解析】 本课的判断路径是先化简为复数的代数形式，再读出实部和虚部，随后按分类条件或相等条件处理；易错点是把bi当作虚部，或判断纯虚数时遗漏虚部不为0。 通过原因、分类和相等条件三条主线整理概念结构，形成先化简、再读数、后判断或列式的操作路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中可进一步压缩章首背景介绍，把更多时间留给虚部辨析、纯虚数双条件和复数相等的规范书写。学生可能在看到字母i时直接判为虚数，也可能把bi整体说成虚部，后续可增加先化简再分类的短题和错误示例。例2讲解应突出实部、虚部分别对应，避免只给方程组不说明来源。图可先让学生口述集合关系再展示结论。若参数分类题失分较多，可用、是否为0的对照表帮助学生逐项核对，并根据课堂作答调整练习梯度。 学科网（北京）股份有限公司 $